黑龙江省齐齐哈尔市2021年中考数学真题（含详解）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市2021年中考数学真题（含详解），共27页。试卷主要包含了考试时间120分钟，全卷共三道大题，总分120分等内容，欢迎下载使用。
二零二一年齐齐哈尔市初中学业考试
数学试卷
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1. 实数2021的相反数是（ ）
A. 2021 B. C. D.
【答案】B
【详解】
【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：2021的相反数是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查相反数的定义，正确掌握其概念是解题关键．
2. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，
B．是轴对称图形但不是中心对称图形，
C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，
D．既是轴对称图形也是中心对称图形．
故选D．
【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】
【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．
【详解】A、，正确，故该选项符合题意；
B、,错误，故该选项不合题意；
C、，错误，故该选项不合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．
4. 喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数平均数是6，则这组数据的中位数（ ）
A 5 B. 5.5 C. 6 D. 7
【答案】C
【详解】
【分析】根据平均数的定义，先求出x，再将数据从小到大排序，找出最中间的数，即为中位数．
【详解】根据题意得：
，
解得： ，
排序得：，
故中位数为：6，
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数和中位数，掌握平均数和中位数的概念是解题关键．
5. 把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
【详解】解：∵∠1＝47°，
∴∠3＝90°−∠1＝90°−47°＝43°，
∴∠4＝180°−43°＝137°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝137°．
故选：D．

【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
6. 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油．则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
【分析】由题意可将行程分为3段：停车休息前、停车休息中、停车休息后．根据停车前和停车后，油箱中油量随时间的增加而减少；停车休息中，时间增加但油箱中的油量不变．表示在函数图象上即可．
【详解】解：∵某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，
∴休息前油箱中的油量随时间增加而减少，休息时油量不发生变化．
∵再次出发油量继续减小，到乙地后发现油箱中还剩4升油，
∴只有符合要求．
故选：．
【点睛】本题考查了用图象法表示函数关系，明确三段行程油量随时间增加发生的变化情况是解题的关键．
7. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ）

A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
【答案】A
【详解】
【分析】根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最多的个数．
【详解】解：根据题意得：

则搭成该几何体的小正方体最多是1＋1＋1＋2＋2＝7（个）．
故选：A．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键．
8. 五张不透明的卡片，正面分别写有实数，，，，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
【分析】通过有理数和无理数的概念判断，然后利用概率计算公式计算即可．
【详解】有理数有：，，；
无理数有：，5.06006000600006……；
则取到的卡片正面的数是无理数的概率是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数、无理数的概念和简单概率计算，先判断后计算概率即可．
9. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和消精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
【答案】B
【详解】
【分析】设购买口罩包，酒精湿巾包，根据总价单价数量，即可列出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设购买口罩包，酒精湿巾包，
依据题意得：

均为正整数，
或或或
小明共有4种购买方案．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
10. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）


A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【详解】
【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．
【详解】解：∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
∴当x=1时，，
故结论①正确；
根据函数图像可知，
当，即，
对称轴为，即，
根据抛物线开口向上，得，
∴，
∴，
即，
故结论②正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为，
对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，
故结论③正确；
根据函数图像可知：，
故结论④错误；
当时，，
∴当时，，
即，
故结论⑤错误，
综上：①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 0007(毫米2)，这个数用科学记数法表示为__________．
【答案】7×10－7
【详解】
【详解】：科学记数法—表示较小的数．
分析：科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．本题0.000 000 7＜1时，n为负数．
解：0.000 000 7=7×10-7．
故答案为7×10-7．
12. 如图，，，要使，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）

【答案】或或（只需写出一个条件即可，正确即得分）
【详解】
【分析】根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可．
【详解】解：如图所所示，

∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．
∴∠BAC=∠EAD．
（1）当∠B=∠E时，


（2）当∠C=∠D时，


（3）当AB=AE时，


故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键．
13. 一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．
【答案】9．
【详解】
【详解】试题分析：求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长：
∵圆锥的底面周长为：2π×6=12π，
∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.
设圆锥的母线长为R，
∴，解得R=9cm．
：圆锥的计算．
14. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．
【答案】且
【详解】
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
∵x为正数，
∴，解得，
∵，
∴，即，
∴m的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键．
15. 若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
【答案】2.4或
【详解】
【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
【详解】若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16. 如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B， ，连接OA，OB，若的面积为6，则_________．


【答案】
【详解】
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，利用AB=3BC得到S△ABO=3S△OBC=6，所以-=2，解得=-4，再利用-=6+2得=-16，然后计算+的值．
【详解】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=（x＜0）图象交于点B，
而＜0，＜0，
∴S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，
∵AB=3BC，
∴S△ABO=3S△OBC=6，
即-=2，解得=-4，
∵-=6+2，解得=-16，
∴+=-16-4=-20．
故答案为：-20．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
17. 如图，抛物线的详解式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________．

【答案】
【详解】
【分析】根据待定系数法分别求出直线、、、……的详解式，即可求得、P2、P3……的坐标，得出规律，从而求得点Pn的坐标．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴直线的详解式为，
∵，
∴，
∴，
设的详解式为，
∴，解得，
所以直线详解式为，
解，求得，
∵，
设的详解式为，
∴，
∴，
∴，
解求得，
设的详解式为，
∴，
∴，
∴，
．．．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数详解式，根据一次函数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18. （1）计算：．
（2）因式分解：．
【答案】（1）；（2）
【详解】
【分析】（1）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：原式


（2）解：原式

【点睛】本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取公因式等是解题的关键．
19. 解方程：．
【答案】，
【详解】
【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．
20. 某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是__________；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，_________，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是__________；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目学生大约有多少人？
【答案】（1）300；（2）见详解；（3）35，18°；（4）180人
【详解】
【分析】（1）从条形统计图中可得喜欢B类节目的人数为60人，从扇形统计图中可得此部分人数占调查人数的20%，可求出调查人数；
（2）总人数减去喜爱A,B ,D,E类电视节目的人数，可得喜爱C类节目的人数，从而补全条形统计图；
（3）根据百分比=所占人数÷总人数，可得m的值，节目类型E对应的扇形圆心角的度数等于360°乘以节目类型E的百分比；
（4）利用样本估计总体的思想，用1800乘以样本中喜欢新闻类节目的学生的百分比即可求得该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生人数．
【详解】（1）由条形统计图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图可得此部分人数占调查总人数的20%，
故本次抽样调查的样本容量是：（人）；
故答案为：300；
（2）喜爱C类节目的人数为：
（人），
补全统计图如下：

（3），
故m=35，
节目类型E对应的扇形圆心角的度数为：
，
故答案为：35,18；
（4）该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：
（人）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．

（1）求证：AC平分；
（2）若，．求OB的长．
【答案】（1）见详解；（2）8
【详解】
【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O的切线，，可证，可证；
（2）连接BC，由AB是⊙O的直径，可得，由， 可得，可求，由勾股定理求，即可．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AC平分，

（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵，，，
∴，即，
∴，
在Rt△ACE中，
∴，
又∵，，即，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查圆的切线性质，等腰三角形性质，直径所对圆周角是直角，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
22. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）请写出甲的骑行速度为　 　米/分，点M的坐标为　 　；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
【答案】（1）240，（6，1200）；（2）y=﹣240x+2640；（3）经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
【详解】
【分析】(1)根据函数图象得出AB两地的距离,由行程问题的数量关系由路程时间=速度就可以求出结论;
(2)先由行程问题的数量关系求出M、N的坐标,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由待定系数法就可以求出结论;
(3) 设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，可得乙的速度：1200÷20=60（米/分），分别分①当0＜x≤3时②当3＜x＜﹣1时③当＜x≤6时④当x=6时⑤当x＞6时5种情况讨论可得经过多长时间两人距C地的路程相等.
【详解】（1）由题意得：甲的骑行速度为： =240（米/分），
240×（11﹣1）÷2=1200（米），
则点M的坐标为（6，1200），
故答案为240，（6，1200）；
（2）设MN的详解式为：y=kx+b（k≠0），
∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴，
解得，
∴直线MN的详解式为：y=﹣240x+2640；
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=﹣240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20=60（米/分），

如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，
∴BC=1200﹣1020=180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x=180﹣60x，
x=＞3，
此种情况不符合题意；
②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，
∴1020﹣240x=60x﹣180，
x=4，
③当＜x≤6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴240x﹣1020=60x﹣180，
x=＜，
此种情况不符合题意；
④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180=180（米），
即x=6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]=60x﹣180，x=6，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180=60x﹣180，
x=8，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地路程相等．
【点睛】本题考查了待定系数法一次函数的详解式的运用,一次函数与二元一次方程组的关系的运用,行程问题的数量关系的运用,注意由图像得出有用的信息及分类讨论思想在解题时的应用..
23. 综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．


（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．

（4）求证：．
【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）见详解
【详解】
【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：, ，则，为等腰三角形；
（2）如图：将顺时针旋转，证明全等，即可得出结论；
（3）证明即可得出结论；
（4）根据半角模型，将顺时针旋转，连接，可得，通过得出，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）由翻折的性质可知：
为正方形
，
为等腰三角形




（2）如图：将顺时针旋转，

由旋转的性质可得：，
由（1）中结论可得
为正方形，



在和中





（3）为正方形对角线

，

，



（4）如图：将顺时针旋转，连接，

由（2）中的结论可证


根据旋转的性质可得：，

在中有

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键．
24. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的详解式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或．
【详解】
【分析】（1）先根据对称轴可得的值，再根据可得点的坐标，代入抛物线的详解式即可得；
（2）利用抛物线的详解式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得；
（3）过点作轴的垂线，交于点，先利用待定系数法求出直线的详解式，再设点的坐标为，从而可得和的坐标，然后根据可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；
（4）设点的坐标为，分①当为矩形的边时，②当为矩形的边时，③当为矩形的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的详解式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，
，
，
，且点在轴负半轴上，
，
将点代入得：，解得，
则抛物线的详解式为；
（2）化成顶点式为，
则顶点的坐标为，
当时，，即，
则抛物线上两点之间的距离是，
故答案为：；
（3）如图，过点作轴的垂线，交于点，

，抛物线的对称轴为，
，
设直线的详解式为，
将点代入得：，解得，
则直线的详解式为，
设点的坐标为，则，，
，
，
，
由二次函数的性质得：在内，当时，取最大值，最大值为，
即面积的最大值为；
（4）设点的坐标为，
由题意，分以下三种情况：
①当为矩形的边时，则，
设直线的详解式为，
将点代入得：，
则直线的详解式为，
将点代入得：，即，
将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，
，即；
②当为矩形的边时，则，
同（4）①的方法可得：点的坐标为；
③当为矩形的对角线时，则，
，
即，
解得或，
或，
当点的坐标为时，
则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，即；
同理可得：当点的坐标为时，点的坐标为，
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数详解式、矩形的性质等知识点，较难的是题（4），正确分三种情况讨论是解题关键．