中考数学一轮知识复习和巩固练习考点19 四边形综合复习（基础巩固） (含详解)

考向19   四边形综合复习

【知识梳理】

考点一、四边形的相关概念

1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；
　　            (2)推论：多边形的外角和是360°；
　              (3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；
　　            (4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.
4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360°.

考点二、特殊的四边形

1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质

2. 平行四边形及特殊的平行四边形的判定

方法指导：

面积公式：S菱形 =ab=ch（a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h为c边上的高）.

S平行四边形 =ah(a为平行四边形的边，h为a上的高）.

考点三、梯形

1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
　　(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.
　　(2)不平行的两边叫做梯形的腰.
　　(3)梯形的四个角都叫做底角.
2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.
3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
4.等腰梯形的性质：

　 (1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.
5.等腰梯形的判定方法：
　　(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；
　　(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
　　(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.
6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
7.面积公式： S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).

考点四、平面图形

1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.

2.平面图形镶嵌的条件：
(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.
(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：
①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；

②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.

【专项训练】

一、选择题

1．下列说法中，正确的是(     )．
　　A．等腰梯形的对角线互相垂直 　　　B．菱形的对角线相等
　　C．矩形的对角线互相垂直　　　　　 D．正方形的对角线互相垂直且相等

2．如图，在中，于且是一元二次方程x2+x-2=0的根，则的周长为（    ）.
　　A． 4+　　　B．4+ 　　　C．8+ 　　　　D．2+
　　　　　　　　　　　　　　　　　

3.如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（    ）.
　　A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　 D．
　　　　　　　

4.下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）.

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

5.下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（　　）

A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形

C．正三角形和正六边形 D．正五边形和正十边形

6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝15°，则∠A′BD的度数为（     ）．

　A. 15°  B. 20°  C. 25°  D. 30°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

二、填空题

7.若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是______度.

8. 矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为_________平方单位．

9.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为          ．

10.如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，…，依次进行下去，则点的坐标是__________________.

11.如图，若△ABC的边AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和的最大值为________.

12.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE的长为          ．

三、解答题

13. 如图，过正方形ABCD的顶点作，且作，又．
　　求证：．

14. 如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求∠CBD的度数．

15.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长；

（2）求证：AM=DF+ME．

16.已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．

（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；
    （2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
    （3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
 

答案与解析

一．选择题

1．【答案】D．

2．【答案】B.

【解析】解方程x2+x-2=0得：x1=-2，x2=1，
∵AE=EB=EC=a，a是一元二次方程x2+x-2=0的一个根，
∴a=1，
即AE=BE=CE=1，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴由勾股定理得：AB=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=，AD=BC=1+1=2，
∴平行四边形ABCD的周长是2（2+）=4+2，故选B．

3．【答案】A.

4．【答案】B．

【解析】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；

②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；

③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；

④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B．

5．【答案】B.

【解析】A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，3×60°+2×90°=360°，故能铺满，不合题意；

B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；

C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满，不合题意；

D、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能铺满，不合题意．

故选：B．

6．【答案】D.

【解析】∵梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，
∴∠C=90°，∵∠A′BC=15°，
∴∠DA′B=∠A′BC+∠C=15°+90°=105°，
由折叠的性质可得：∠A=∠DA′B=105°，∠ABD=∠A′BD，
∵AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠A=75°，∴∠A′BD=30°．

二．填空题

7．【答案】30.

8．【答案】64.

9．【答案】20.

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，

∵OE⊥BD，∴BE=DE，

∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，

∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．

故答案为：20．

10．【答案】 .

11.【答案】9.

【解析】把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置，根据旋转的性质和正方形的性质有A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，得到S△CHF=S△BCH'=S△ABC，同理：S△BDG=S△AEM=S△ABC，所以S阴影部分面积=3S△ABC=3×AB×AC×sin∠BAC，即当AB⊥AC时，

S△ABC最大值为：×2×3=3，即可得到三个阴影部分的面积之和的最大值．

12．【答案】1.

【解析】∵△ABC等腰直角三角形

∴AC=BC，

∵△ABD是等边三角形

∴BD=AD

∴△ADC≌△BDC

∴∠BCD=（360°﹣90°）÷2=135°

又∵∠CBD=60°﹣45°=15°

∴∠CDB=180°﹣135°﹣15°=30°，∠BDE=60°﹣30°=30°

∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD

∴△BCD≌△BED

∴BE=CB=×sin45°=1

∴BE=1．

三.综合题

13．【解析】提示：易证菱形AEFC，∠AEB=∠ACF,

设正方形边长为1，则，，

做CG⊥AC,BG∥AC，即得等腰Rt△CBG,
　　　　　　　等腰Rt△CBG中，故∠CFG=30°
　　　　　　　∴ ∠ACF=30°，∠FCB=15°
　　　　　　　∴ 

14．【解析】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），

∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；

又∵AM丄BC（已知），

∴AM⊥AD；

∵CN丄AD（已知），

∴AM∥CN，

∴AE∥CF；

又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），

∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，

 则AC与EF互相垂直平分，

∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），

∴AC与BD互相垂直平分，

∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），

∴AB=BC（菱形的邻边相等）；

∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），

∴△ABM≌△CAM，

∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），

∴△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°，∠CBD=30°.

15.【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠ACD，

∵∠1=∠2，

∴∠ACD=∠2，

∴MC=MD，

∵ME⊥CD，

∴CD=2CE，

∵CE=1，

∴CD=2，

∴BC=CD=2；

（2）证明：如图，

∵F为边BC的中点，

∴BF=CF=BC，

∴CF=CE，

在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，

∴∠ACB=∠ACD，

在△CEM和△CFM中，

∵，

∴△CEM≌△CFM（SAS），

∴ME=MF，

延长AB交DF于点G，

∵AB∥CD，

∴∠G=∠2，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠G，

∴AM=MG，

在△CDF和△BGF中，

∵，

∴△CDF≌△BGF（AAS），

∴GF=DF，

由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．

16.【解析】（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．
（2）解：（1）中的结论成立．
①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又　PC=PC，
∴△PDC≌△PBC，∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
②：由①，得△PDC≌△PBC，
∴∠PDC=∠PBC．（7分）
又∵PE=PD，∴∠PDE=∠PED．
∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，
∴∠EPB=360°-（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，
∴PE⊥PB．
（3）解：如图所示：

结论：①PE=PB，②PE⊥PB．