辽宁省锦州市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

2022~2023学年度第一学期期末考试

高一数学

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A. B. C. D.

2.已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

3.甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（    ）

A. B. C. D.

4.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ）

A. B. C. D.

5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为.已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（    ）

A. B. C. D.

6.已知向量，，且，则为（    ）

A. B. C. D.

7.分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件相互独立的是（    ）

A.3枚硬币都正面朝上  B.有正面朝上的，也有反面朝上的

C.恰好有1枚反面朝上  D.至多有2枚正面朝上

8.若，则（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，则下列不等式中成立的是（    ）

A. B. C. D.

10.为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

则下列结论正确的是（    ）

A.图中的值是0.16

B.估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元

C.估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元

D.估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20%

11.关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ）

A. B.0 C.1 D.5

12.已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是（    ）

A. B. C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______.

14.某厂生产A，B两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本，并分别计算所抽取的A，B两种产品的样本可充电次数的均值及方差，结果如下：

则由20个产品组成的总样本的平均数为______；方差为______.（第一空2分，第二空3分）

15.实数，满足，则的最小值是______.

16.函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，，都有，则不等式的解集为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

已知函数的定义域为集合，集合.

（1）若，求；

（2）“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.

18.（本题满分12分）

为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；

（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

19.（本题满分12分）

已知函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断在上的单调性，并证明；

（3）求关于的不等式的解集.

20.（本题满分12分）

在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.

（1）若，试用，和实数表示；

（2）试用，表示；

（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.

21.（本题满分12分）

某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数且），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：

已知第10天该商品的日销售收入为72元.

（1）求的值；

（2）给出以下两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；

（3）求该商品的日销售收入（单位：元）的最小值.

22.（本题满分12分）

函数，且，函数.

（1）求的解析式；

（2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围；

（3）设的反函数为，，，若对任意的，均存在，满足，求实数的取值范围.

2022~2023学年度第一学期期末考试

高一数学（参考答案及评分标准）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1~4. BDAB 5~8. DABC

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.AD 10.BD 11.ABD 12.ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.或 14.204，28（第一空2分，第二空3分）

15.  16.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分10分）

解：（1）由题意集合，……2分

当时，，……3分

所以……5分

（2）“”是“”的充分不必要条件，则，……7分

因为，，

所以，……9分

所以实数的取值范围是. ……10分

18.（本题满分12分）

解：设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，

“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，

则，，，相互独立，且，，，，

（1）设“甲在比赛中恰好赢一轮”

则（注：没化简扣一分）……3分

（2）因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，

所以，……5分

，……7分

因为，所以派甲参赛获胜的概率更大. ……8分

（3）设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，

于是“两人中至少有一人赢得比赛”，

由（2）知，，

所以，……9分

，……10分

所以. ……12分

评卷说明：1.没有设事件、合理表达事件之间关系、必要的文字叙述扣2-3分.

2.其他方法参考评分标准给分.

19.（本题满分12分）

解：（1）由函数是奇函数

所以即，……2分

化简可得，解得. ……4分

评卷说明：用特殊值带入求，需检验，没有检验扣一分.

（2）在上任取两个实数，，设

则……6分

因为，所以，所以，，，

所以，……7分所以在上单调递增. ……8分

（3）由得，

由得，所以……9分

又在上单调递增，……10分

即，则，……11分

所以原不等式解集为……12分

20.（本题满分12分）

解：（1）由题意，所以，

①……3分

（2）设，由，，

②……5分

由①、②得，，

所以，解得，……7分所以；……8分

（3）由，得，所以，……9分

所以，……11分因为与有公共点，所以，，三点共线. ……12分

评卷说明：没写与有公共点不扣分

21.（本题满分12分）

解：（1）依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，则，即，解得，所以的值是2. ……2分

（2）由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型，…3分

从表中任取两组值，不妨令，解得，……4分

即，显然表中其它各组值均满足这个函数，

所以该函数的解析式为. ……5分

（3）由（1）知，，，，

由（2）知，，

于是得，……7分

当，时，. ……8分

当且仅当，即时，等号成立……9分

当，时，是减函数，……10分

所以当时，取得最小值，. ……11分

综上，该商品的日销售收入的最小值为64元. ……12分

22.（本题满分12分）

解：（1）因为，且，所以

所以，，从而；……2分

（2）由（1）知，

所以方程可化为：，即，……3分

于是问题转化为，的图象与直线有交点，

令，则，则，可化为，，

当时，，……4分当时，，……5分

所以实数的取值范围是；……6分

（3）由题意可知函数的反函数，……7分

，，

令，则，，……8分

对称轴方程为，

①若，即时，当时，，

此时，在上为减函数，，

由可得，不合题意，舍去；……9分

②若，即时，当时，，

此时，在上的最大值，

由和可得；……10分

③若，即时，当时，，

此时，在上为增函数，，

由和可得；……11分

综合①②③可得，即实数的取值范围是. ……12分