2023年中考数学一轮大单元复习2.2方程（组）应用类型过关练(含答案)

这是一份2023年中考数学一轮大单元复习2.2方程（组）应用类型过关练(含答案)，共81页。

2.2方程（组）应用类型过关练

考点1：营销问题
1）一元一次方程中的营销问题
例．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）某水果批发市场香蕉的价格如表：
购买香蕉数量（千克）
不超过20千克
超过20千克但不超过40千克
40千克以上
每千克单价
6元
a元
4元
商贩甲欲购买香蕉36千克，批发商告诉他：“就给你称45千克吧，钱数是一样的”
(1)你能求出表中a的值吗？
(2)商贩乙分两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问：他第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
【答案】(1)5
(2)第一次购买14千克，第二次购买36千克

【分析】（1）根据购买36千克和45千克钱数是一样的列方程即可求得答案；
（2）设第一次购买x千克，则第二次购买千克．根据x的取值范围分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：依题意，得：，
解得：．
答：表中a的值为5．
（2）设第一次购买x千克，则第二次购买千克．
①当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
②当时，，
解得：；
③当时，，不成立．
综上所述：第一次购买14千克，第二次购买36千克
知识点训练
1．（2022秋·山东烟台·六年级统考期末）新华商店店庆促销，有一种新型书包，原价每个元，第一次降价打八折，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为70元．则所列方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用经过两次降价后的售价=原价×折扣，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）一商店按标价的九折出售了一台料理机，仍可获利，已知标价为元，则料理机的进价是（   ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】设料理机的进价是元，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设料理机的进价是元，
由题意得，，
解得，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系式，列出方程．
3．（2022秋·湖北武汉·七年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）在“十一”黄金周期间，某超市推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内时不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以下时，一律享受9折优惠；
③一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受8折优惠．小郑在本超市购物分别付款80元、261元，如果小郑改在本超市一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（　　）
A．232元 B．296元或325元 C．296元 D．288元或316元
【答案】B
【分析】由可得出第一次购买的商品价值为80元，由可得出第二次购买的商品价值可能小于300元也可能大于300元，设第二次购买的商品价值为x元，根据应付款=商品价值×折扣率即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由此即可求出两次购买的商品总价值，再用其即可得出若在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，应付款金额．
【详解】解：∵（元），，
∴第一次购买的商品价值为80元．
∵（元），（元），，
∴第二次购买的商品价值可能小于300元也可能大于300元．
设第二次购买的商品价值为x元，
当时，有，
解得：；
当时，有，
解得：．
故原价为元或元
后更改为一次性购买，此时付款为元或元
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系应付款=商品价值×折扣率确定第二次购买的商品价值可能小于300元也可能大于300元是解题的关键．
4．（2022秋·四川达州·七年级校考期末）解答题：某超市第一次用6200元购进了甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品的件数的4倍少40件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）

甲
乙
进价（元/件）
20
25
售价（元/件）
25
35

(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润．
【答案】(1)超市第一次购进甲种商品60件，乙种商品200件；
(2)2300元．

【分析】（1）根据题意可知等量关系：第一次购进甲种商品费用＋第一次购进乙种商品费用等于6200元，根据此等量关系列出方程即可；
（2）用单件商品的利润乘以商品数量计算出总利润即可．
【详解】（1）解：设该超市第一次购进甲种商品 件， 则购进乙种商品件，
根据题意得: ，
解得: ，
，
答: 该超市第一次购进甲种商品 60 件, 乙种商品 200 件；
（2）解：


(元)．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得2300元利润．
【点睛】本题考查列一元一次方程解决实际问题，能够根据题意找出等量关系是解决本题的关键．
5．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）一商店在某一时间以每件80元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏本，卖这两件衣服总的盈亏情况是______元．（填盈利或者亏损多少元）
【答案】盈利10元
【分析】已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏．
【详解】解：设盈利60%的那件衣服的进价是x元，
根据进价与得润的和等于售价列得方程：，
解得：，
类似地，设另一件亏损衣服的进价为y元，它的商品利润是元，
列方程，
解得：．
那么这两件衣服的进价是元，而两件衣服的售价为元．
∴元，
所以，这两件衣服盈利10元．
故答案为：盈利10元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．本题需注意利润率是相对于进价说的，进价+利润=售价．
6．（2023秋·山东济宁·六年级济宁市第十五中学校考期末）某商场销售的一款笔记本电脑，按进价提高30%标价，在一次促销活动中，按标价的9折销售，同时顾客在该商场还可领取50元的购物券，这样每台电脑仍可盈利14.5%．求这款电脑每台的进价．
【答案】2000元
【分析】设每台电脑的进价为x元，根据售价进价进价利润率列方程求解即可．
【详解】解：设每台电脑的进价为x元．
根据题意得：，
解得：，
答：这款电脑每台的进价为2000元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握公式售价进价进价利润率．
2）二元一次方程组中的营销问题
例．（2022秋·山西运城·八年级运城力行中学校考期末）某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【答案】(1)购进A型服装45件，购进B型服装30件
(2)服装店比按标价出售少收入1410元
【分析】（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用少收入的钱数=每件A型服装少挣的钱数×销售数量+每件B型服装少挣的钱数×销售数量，即可求出结论．
【详解】（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：
答：购进A型服装45件，购进B型服装30件；
（2）

=450+960
（元）．
答：服装店比按标价出售少收入1410元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
知识点训练
1．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）某饮料批发商店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元．经调查发现，若该款饮料的批发价每降低0.1元，则每天可多售出100瓶．为了使每天获得的利润更多，该饮料批发商店决定降价x元销售．
(1)当x为多少元时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400元？
(2)若按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润能达500元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
【答案】(1)当x为或元时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400元
(2)按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到500元
【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可；
（2）由（1）所得的算式，使得总利润等于500列式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可列方程：
即，
∴，，
答：当x为或元时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400元．
（2）解：令得，
即：，
，
此方程无实数根．
∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到500元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当时，方程无实数根”．
2．（2022秋·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）在新冠病毒防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪
第一次



第二次




(1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)公司决定酒精消毒液以每件元出售，测温枪以每件元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的倍，求该公司销售完上述件商品获得的最大利润．
【答案】(1)酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元
(2)最大利润元

【分析】（1）根据表格信息，设酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元，列方程即可求解；
（2）两种商品共件，设测温枪有件，则酒精消毒液有件，根据（1）中的进价，设利润为，由此可列出方程求解．
【详解】（1）解：设酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元，
∴，解方程组得，，
∴酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元．
（2）解：两种商品共件，设测温枪有件，则酒精消毒液有件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的倍，
∴，即，
利润为，
∵，随的值增大而增大，且有，
∴当时，有最大值，最大值为：元，
∴该公司销售完上述件商品获得的最大利润元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组解实际问，一次函数解最大利润问题，理解题目意思，找出数量关系立方程是解题的关键．
3．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/千克）
2.4
2
零售价/（元/千克）
3.6
2.8

(1)此蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子各有多少千克？（用二元一次方程组解决问题）
(2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚___________元钱．
【答案】(1)黄瓜25千克，茄子15千克
(2)42

【分析】（1）设设批发黄瓜，茄子，根据黄瓜的批发价是2.4元，茄子批发价是2元，共花了90元，列出二元一次方程组计算求解；
（2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数．
【详解】（1）解：设批发黄瓜，茄子．
根据题意得方程组，解得
∴此蔬菜经营户批发的黄瓜25千克，茄子15千克；
（2）


（元）
答：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚42元钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，根据等量关系，列出方程组．
4．（2022秋·重庆九龙坡·九年级重庆市杨家坪中学校考期末）五一期间，璧山区丁家街道天天农家乐的草莓和枇杷相继成熟，为了吸引更多游客走进乡村，体验采摘乐趣，天天农家乐推出采摘草莓和采摘枇杷两种方式：采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元．
(1)求采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是多少元？
(2)根据去年采摘情况表明，平均每天采摘草莓30公斤，采摘枇杷20公斤．天天农家乐决定今年采摘枇杷的价格保持不变，采摘草莓的价格下调，采摘草莓的费用每降价3元，采摘草莓的数量会增加2公斤．天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，请问采摘草莓每公斤应降价多少元？
【答案】(1)采摘1公斤草莓的费用是35元，采摘1公斤枇杷的费用是20元
(2)采摘草莓每公斤应降价6元

【分析】（1）设采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是，元，根据题意列出方程组即可解得．
（2）根据单价乘以销量等于收益列出方程即可解得．
【详解】（1）设采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是，元，根据题意得，
，
解得：
答：采摘1公斤草莓的费用是35元，采摘1公斤枇杷的费用是20元．
（2）设采摘草莓每公斤应降价元，根据题意，得：
，
解得，（舍），
∴．
答：采摘草莓每公斤应降价6元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）某商场上周购进年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共个，共花去元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、售价如下表：

进价（元/个）
售价（元/个）
冰墩墩


雪容融



(1)求冰墩墩、雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个？
(2)上周五售出这两种吉祥物毛绒玩具，共获得利元．那么这一天售出的冰墩墩、雪容融这两种毛绒玩具分别是多少个？
【答案】(1)购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个
(2)售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个或售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个

【分析】（1）设购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个，根据数量关系列方程即可求解；
（2）由（1）可知毛绒玩具的价格，设售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个，由此列方程即可求解．
【详解】（1）解：设购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个，
依题意得：，解得：．
∴购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个．
（2）解：设售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个，
依题意得：，
∴．
又∵，均为正整数，
∴或．
∴售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个或售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组与销售问题的综合，理解题意中的数量关系列方程是解题的关键．
6．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）为喜迎元旦，某超市推出A类礼盒和B类礼盒，每个A类礼盒的成本为120元，每个B类礼盒的成本为160元，每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同．
(1)求每个A类礼盒的售价；
(2)该超市购进A类礼盒800个和B类礼盒1000个，进行促销活动．超市规定，每人每次最多购买A类礼盒1个或B类礼盒1个，每个A类礼盒直接参与店内“每满100元减a元”的活动，每个B类礼盒在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减a元”的活动．活动结束时，所有礼盒全部售卖完．若该超市获得的利润为48800元，求a的值．
【答案】(1)每个A类礼盒的售价为160元
(2)14

【分析】（1）设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元，根据“每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由每个B类礼盒售价的九折大于200元，可得出每个B类礼盒的活动价为元，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
【详解】（1）解：设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A类礼盒的售价为160元．
（2）解：∵（元），，
∴每个B类礼盒的活动价为元．
根据题意得：，
解得：．
答：a的值为14．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
7．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）小明和小亮两人各带20元钱同时到一家文具店购买同一型号的中性笔和笔记本，这种中性笔每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.2元．小明要买3支中性笔和4本笔记本，需花费19元；小亮要买7支中性笔和3本笔记本，需花费19元．
(1)求笔记本的单价和单独购买一支中性笔的价格；
(2)小明和小亮都还想再买一件单价为1.5元的小工艺品，他们利用所带的钱，能否做到既买全了想要的文具，又都能买到一件小工艺品？请通过计算说明．
【答案】(1)单独购买一支中性笔的价格是元，笔记本的单价是元
(2)能，说明见解析

【分析】（1）根据题意，设单独购买一支中性笔的价格是元，笔记本的单价是元，依题意列出方程组，解方程组即可得出结果；
（2）计算出两人合在一起买的费用，比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设单独购买一支中性笔的价格是元，笔记本的单价是元，
根据题意，可得：，
解得：，
∴单独购买一支中性笔的价格是元，笔记本的单价是元；
（2）解：能，说明如下：
∵若两人各自购买，则要买到想买的文具，小明要花费19元，小亮花费19元，因每人有20元，
又∵一件小工艺品的单价为1.5元，
∴两人都将无法再买小工艺品；
∵若两人合在一起买文具，则买文具所需费用为：（元），
又∵两人共有40元，（元），（元），，
∴两人应该合在一起买文具，才能既买全了想要的文具，又都能买到一件小工艺品．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，准确找到题目中的等量关系、列出方程是解本题的关键．
3）一元二次方程中的营销问题
例．（2022秋·山西太原·九年级校联考阶段练习）某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，　 　，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？
解：设……
根据题意，得
……
根据上面所列方程，完成下列任务：
(1)数学问题中括号处短缺的条件是 　 　；
(2)所列方程中未知数x的实际意义是 　 　；
(3)请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程．
【答案】(1)单价每降低2元时，月销售量可增加40件
(2)单价降低了x元
(3)68元
【分析】（1）根据所列方程，可得出题干中缺失的条件；
（2）根据所列方程，可找出未知数x的实际意义；
（3）利用月销售总利润＝每件的销售利润×月销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合要让顾客得到更大的实惠，可确定x的值，再将其代入中，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据所列方程，可知问题中括号处短缺的条件是：单价每降低2元时，月销售量可增加40件．
故答案为：单价每降低2元时，月销售量可增加40件．
（2）根据所列方程，可知所列方程中未知数x的实际意义是单价降低了x元．
故答案为：单价降低了x元；
（3）根据题意，得，
整理，得，
解之，得，，
又∵要让顾客得到更大的实惠，
∴，
∴．
答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到7920元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
知识点训练
1．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）水果店花1500元进了一批水果，按的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折的折扣相同，问每次打几折？若设：每次打折，则根据题意，可列方程为：___________．
【答案】
【分析】利用，即可得出关于的一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为______元．
【答案】55
【分析】设每件工艺品售价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售这种工艺品获得的利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合销售单价不得超过65元，即可得出结论．
【详解】解：设每件工艺品售价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又销售单价不得超过65元，
，
每件工艺品售价应为55元．
故答案为：55．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2021春·山东淄博·九年级校考期中）我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，若销售价为元，每天可售出件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，扩大销售量同时让消费者获得更大的实惠，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利元？该专卖店要想平均每天盈利元，可能吗？请说明理由．
【答案】每件童装降价元，不可能做到平均每天盈利元
【分析】设降价x元，根据平均每天赢利元列方程求解；假设平均每天赢利元，列方程，判断方程实数根的情况，即可解决问题．
【详解】解：设降价x元，由题意得：
即
解得：（不合降价题意，舍去），；
当时，
即：，
此时：
此方程无实数解，
故不可能做到平均每天盈利元．
答：每件童装降价元，不可能做到平均每天盈利元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．
4．（重庆市江津区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）拉伊卜是2022年卡塔尔世界杯吉样物，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，每个大拉伊卜售价比小拉伊卜售价贵30元且销售30个小拉伊卜玩偶的销售额和21个大拉伊卜玩偶的销售额相同．
(1)求每个小、大拉伊卜玩偶的售价分别为多少元？
(2)世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶400个，大拉伊卜玩偶200个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为48000元，求的值．
【答案】(1)每个小拉伊卜的售价为70元，大拉伊卜的售价为100元
(2)的值为10

【分析】（1）设每个小拉伊卜玩偶的售价为x元，则可表示每个大拉伊卜玩偶的售价，由等量关系可得关于x的一元一次方程，解方程即可；
（2）根据等量关系：大拉伊卜第二周的销售额+小拉伊卜第二周的销售额=48000，得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每个小拉伊卜玩偶的售价为x元，则每个大拉伊卜玩偶的售价为元.
由题意得：，
解得：，       
则，
答：每个小拉伊卜的售价为70元，大拉伊卜的售价为100元。
（2）由题意得：，  
化简得：，  
解得：（舍去），，   
答：a的值为10．
【点睛】本题考查了一元一次方程与一元二次方程的应用，关键是明确题意，找到等量关系并正确列出方程．
5．（2022秋·河南郑州·九年级统考期中）2022年10月郑州市遭遇新一轮疫情，为保障民生问题，郑州市市场监督管理局发布提醒告诫函要求：在疫情防控期间不允许哄抬物价．疫情前，经营水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤.通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为了响应政府号召，且保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是______斤（用含x的代数式表示）.
(2)若要每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？
【答案】(1)；
(2)3元．

【分析】（1）销售量=原来销售量-下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．
【详解】（1）解：将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是斤；
故答案为：；
（2）根据题意得：，
解得：或，
∵每天至少售出260斤，
∴．
（元）．
答：若要每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至3元．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键．
6．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为x元/件（）．
(1)用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为______件
(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元．求该商品的售价．
【答案】(1)
(2)该商品的售价为30元

【分析】（1）由该商品的售价结合售价每降低1元就会多售出2件，即可得出每天售出该工艺品的件数；
（2）根据总利润=每件工艺品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：∵该商品的售价为x元/件，且当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，
∴每天能售出该工艺品的件数为件．
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得，（不合题意，舍去），
答：该商品的售价为30元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2022秋·九年级单元测试）某商场用12000元购进大、小书包各200个，每个小书包比大书包的进价少20元．在销售过程中发现，小书包每天的销量（单位：个）与其销售单价（单位：元）有如下关系：
，大书包每天的销量（单位：个）与其销售单价（单位：元）有如下关系：
，其中，均为整数．商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率）
(1)求两种书包的进价；
(2)当小书包的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的总利润相同．
【答案】(1)大书包的进价为40元/个，小书包的进价为20元/个
(2)当小书包的销售单价为28元时，两种书包每天销售的总利润相同

【分析】（1）设每个大书包的进价为元，则每个小书包的进价为元，根据用12000元购进大、小书包各200个列方程，解方程即可；
（2）根据两种书包每天销售的总利润相同和每个小书包和每个大书包的利润率相同列出方程即可；
【详解】（1）解：设大书包的进价为元/个，则小书包的进价为元/个，
，
解得，
，
答：大书包的进价为40元/个，小书包的进价为20元/个；
（2）商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，
，
，
两种书包每天销售的总利润相同，
，
，
解得，，
销售单价均高于进价，
不合题意，
，
答：当小书包的销售单价为28元时，两种书包每天销售的总利润相同．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．
4）分式方程中的营销问题
例．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）在学习“分式方程应用”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程．
12．3分式方程
例：疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以免受新型冠状病毒的感染．某药店用4000元购进了一批一次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的数量比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批多0．5元，求购进的第一批医用口罩有多少包?
小明：       小亮：

根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明同学所列方程中表示______；
列方程所依据的等量关系是______．
小亮同学所列方程中表示______；
列方程所依据的等量关系是______．
(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．
【答案】(1)购进的第一批医用口罩有x包；第二次进价第一次进价；第一批口罩的单价为元；第二批口罩数量第一批口罩数量；
(2)购进的第一批医用口罩有包．
【分析】（1）根据可得小明同学以单价为等式，即可知道代表什么，由可得小亮同学以数量为等量关系式，即可知道表示什么，即可得到答案；
（2）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验即可得到答案．
【详解】（1）解：由可得，
小明同学选择的是以单价为等式，
∴x代表：购进的第一批医用口罩有x包，
等量关系式为：第二次进价第一次进价，
由可得，
小亮同学以数量为等量关系式，
∴表示：第一批口罩的单价为元，
等量关系式为：第二批口罩数量第一批口罩数量，
故答案为：购进的第一批医用口罩有x包；第二次进价第一次进价；第一批口罩的单价为元；第二批口罩数量第一批口罩数量；
（2）解：设购进的第一批医用口罩有x包，由题意可得，
，
解得：
答：购进的第一批医用口罩有包．
【点睛】本题考查分式方程解决销售问题，解题的关键是找到等量关系式．
知识点训练
1．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）某学校准备采购一批化学实验器材A和B．经查询，如果按照标价购买两种实验器材，当购买实验器材B的数量是实验器材A数量的2倍时，购买实验器材A共需要4000元，购买实验器材B共需要6000元，且一套实验器材A比一套实验器材B单价贵100元．
(1)求一套实验器材A，一套实验器材B的标价分别是多少元？
(2)学校计划购买相同数量的实验器材B和实验器材A．商家告知，因为周年庆，实验器材B的单价在标价的基础上降价元，实验器材A单价在标价的基础降价100元，该校决定增加采购数量，实际购买实验器材B和实验器材A的数量在原计划基础上分别增加了和，结果在结算时发现，两种实验器材的总价相等，求m的值．
【答案】(1)一套实验器材A，一套实验器材B的标价分别是400元和300元
(2)
【分析】（1）设一套实验器材B的标价为元，则：一套实验器材A的标价为元，根据题意，列出分式方程，进行求解即可；
（2）设学校原计划采购实验器材B和实验器材A的数量均为，利用总价等于单件乘以数量，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设一套实验器材B的标价为元，则：一套实验器材A的标价为元，由题意，得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解；
∴，
∴一套实验器材A，一套实验器材B的标价分别是400元和300元．
（2）解：设学校原计划采购实验器材B和实验器材A的数量均为，由题意，得：，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）某超市用2000元购进普罗旺斯西红柿，面市后供不应求，超市又用5000元购进第二批这种西红柿，所购数量是第一批进货量的2倍，但进货单价涨了0.5元．设第一批西红柿的进货单价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设第一批西红柿的进货单价为x元，则第二批西红柿的进货单价是元，根据“用5000元购进第二批这种西红柿，所购数量是第一批进货量的2倍”列出方程，即可求解．
【详解】解：设第一批西红柿的进货单价为x元，则第二批西红柿的进货单价是元，
依题意有：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
3．（2023秋·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）奶枣是当下网红食品之一．某商家用6000元购进若干袋奶枣，很快售完，该店又用9600元钱购进第二批这种奶枣，所进的数量是第一批1.5倍，每袋奶枣的进价比第一批每袋奶枣的进价多2元，求购进的第一批奶枣有多少袋？

【答案】200
【分析】设购进得第一批奶枣有x袋，根据题意列出方程并解答即可．
【详解】解：设购进得第一批奶枣有x袋，由题意得
解得
经检验：是原方程的解并符合实际意义
故购进的第一批奶枣有200袋
【点睛】此题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解题关键．
4．（2023秋·广东广州·八年级广东华侨中学校考期末）某传媒公司计划购买A，B两种型号的演出服．已知A型演出服比B型演出服每套多30元，且用1200元购买A型演出服的套数与用960元购买B型演出服的套数相同．
(1)求A，B两种型号的演出服每套分别是多少元？
(2)该公司计划采购A，B两种型号的演出服共20套，要求所用费用不得少于2800元，则至少购进A型演出服多少套？
【答案】(1)A型演出服每套150元，B型演出服每套120元
(2)至少购进A型演出服14套

【分析】（1）根据题意可知等量关系：用1200元购买A型演出服的套数用960元购买B型演出服的套数，根据等量关系列出方程求解即可．
（2）根据题意可知不等关系为：A型演出服的费用＋B型演出费用，由此列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设B型演出服每套x元，则A型演出服每套元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
当时，，
即A型演出服每套150元，B型演出服每套120元．
（2）解：设购进A型演出服a套，则购进B型演出服套，
根据题意，得，
解得，
是整数，
的最小值是14．
即至少购进A型演出服14套．
【点睛】本题考查用分式方程解决实际问题，用不等式解决实际问题，能够根据题意分析出等量关系与不等关系是解题的关键．
5．（2023秋·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期末）已知商品的单价比商品少60元，且用3600元购买商品的数量比购买商品的数量多5件．
(1)求，两种商品的单价；
(2)甲、乙两家商场以同样的价格出售，两种商品．甲商场的优惠方案是：购买商品享受七折优惠，商品无优惠；乙商场的优惠方案是：每购买10件商品，赠送1件商品．现需到同一家商场购买40件商品和件商品（为10的倍数），求到哪个商场购买更优惠．
【答案】(1)A商品的单价为180元，商品的单价为240元
(2)当时，选择乙商场更优惠；当时，甲乙商场花费一样；当时，选择甲商场更优惠

【分析】（1）设商品单价为元，则商品单价为元，然后根据题意列分式方程求解；
（2）分别求得甲乙两个商场的总价，然后通过列方程和不等式计算作出比较．
【详解】（1）解：设商品单价为元，则商品单价为元，由题意可得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
经检验是原分式方程的解，且符合实际，
元，
商品的单价为180元，商品的单价为240元；
（2）解：设在商场花费为元，在商场的花费为元，由题意可得：
，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，选择乙商场更优惠；当时，甲乙商场花费一样；当时，选择甲商场更优惠．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一次函数的应用，找准题目间的等量关系正确列出关系式求解是关键．
6．（2022·广东广州·校考二模）荔枝是岭州四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．某水果超市用4000元购进一批荔枝，面市后供不应求．超市又用1万元购进第二批这种荔枝，所购数量是第一批的2倍，因每斤进价贵了2元．
(1)第一批荔枝每斤进价为多少元？
(2)超市销售两批荔枝售价相同，两批全部售完后要求获利不少于4000元，则每斤售价至少为多少元？
【答案】(1)第一批荔枝每斤进价为8元
(2)每斤售价至少为12元

【分析】（1 ）设第一批荔枝每斤进价为x元，则第二批荔枝每斤进价为元，根据“所购数量是第一批的2倍”，列出分式方程，解方程即可求解．
（2 ）设售价为y元，再根据盈利＝销售价﹣成本价，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）设第一批荔枝每斤进价为x元，则第二批荔枝每斤进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
答：第一批荔枝每斤进价为8元．
（2）设每斤售价为y元，
依题意可得：，
解得：，
答：每斤售价至少为12元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（ 1）找准等量关系，正确列出分式方程；（ 2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）2020年是极不平凡的一年，全国980多万绝对贫困人口按时脱贫．某校在扶贫中计划选购甲、乙两种化肥帮扶贫困户，已知甲种化肥的单价比乙种化肥的单价高10元，且用500元单独购买甲种化肥与用450元单独购买乙种化肥的数量相同．
(1)求甲、乙两种化肥的单价各是多少元？
(2)如果该校计划购买甲、乙两种化肥共55袋，总费用不少于5000元且不超过5050元，请通过计算得出共有几种选购方案？选择哪种方案更省钱？
【答案】(1)甲种化肥的单价为100元，乙种化肥的单价为90元
(2)共有6种方案．选择购进甲种化肥5袋，乙种化肥50袋方案更省钱

【分析】（1）设甲种化肥的单价为x元，则乙种化肥的单价为元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设甲种化肥购买y袋，乙种化肥购买袋，根据题意列出不等式得出共有6种方案．设总费用为w元，则，由一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲种化肥的单价为x元，则乙种化肥的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种化肥的单价为100元，乙种化肥的单价为90元；
（2）设甲种化肥购买y袋，乙种化肥购买袋，
由题意得，
解得，
y可取5、6、7、8、9、10，
∴共有6种方案．
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，总费用最少为5000元．
此时，购进甲种化肥5袋，乙种化肥50袋．
【点睛】题目主要考查分式方程，不等式组及一次函数的应用，理解题意，列出相应的方程及不等式是解题关键．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）茶叶作为云南最具有代表性的农业产业作物之一，“云茶”驰名海外．近日，中科院刘仲华院士表示世界茶源在云商．某茶叶店用12000元购进了云南普洱茶叶若干盒，又用6000元购进了云南滇红茶叶若干盒．所购进的云南普洱茶叶比云南滇红茶叶多10盒，且每盒云南普洱茶叶进价是每盒云南滇红茶叶进价的1.5倍．
(1)云南普洱茶叶、云南滇红茶叶每盒进价分别为多少元？
(2)在第一次所购茶叶全部售馨后，第二次又购进云南普洱茶叶、云南滇红茶叶两种茶叶共100盒，且云南滇红茶叶的盒数多于云南普洱茶叶的盒数，其中云南滇红茶叶每盒售价为250元，云南普洱茶叶每盒售价为400元，为保证第二次所购茶叶销售利润不低于7300元，请你列举出所有可能的采购方案．
【答案】(1)云南普洱茶叶、云南滇红茶叶每盒进价分别为300元和200元
(2)共有四种方案：①普洱茶46盒，滇红茶54盒；②普洱茶47盒，滇红茶53盒；③普洱茶48盒，滇红茶52盒；④普洱茶49盒，滇红茶51盒

【分析】（1）设滇红茶叶每盒进价为x元，则普洱茶叶每盒进价为元，再根据“所购进的云南普洱茶叶比云南滇红茶叶多10盒”列关于x的分式方程即可，解之即可得出结论；
（2）设第二次购进普洱茶y盒，则购进滇红茶盒，根据“云南滇红茶叶的盒数多于云南普洱茶叶的盒数及第二次所购茶叶销售利润不低于7300”列出不等式，解之即可得到取值范围，再根据取正整数，可得所有可能情况．
【详解】（1）设滇红茶叶每盒进价为x元，则普洱茶叶每盒进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，并符合题意，
，
答：云南普洱茶叶、云南滇红茶叶每盒进价分别为300元和200元．
（2）设第二次购进普洱茶y盒，则购进滇红茶盒，
由题意得：，
解得：，
∵滇红茶叶的盒数多于普洱茶叶的盒数，
∴，
∴，
∴，
∴当；
当；
当；
当；
答：共有四种方案：①普洱茶46盒，滇红茶54盒；②普洱茶47盒，滇红茶53盒；③普洱茶48盒，滇红茶52盒；④普洱茶49盒，滇红茶51盒．
【点睛】本题考查分式方程实际应用题，根据等量关系列方程是解题的关键．
9．（2022秋·八年级课时练习）元旦期间，某水果店预测冰糖桔销量很好，用1600元购进一批冰糖桔，上市后果然供不应求，又用6000元购进同类冰糖桔，第二批冰糖桔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
(1)第一批冰糖桔进货单价多少元？
(2)若二次购进冰糖桔按同一价格销售，两批全部售完后，获利为1200元，那么销售单价为多少元？
【答案】(1)8元
(2)11元

【分析】（1）设第一批冰糖桔单价为x元，则第二批冰糖桔单价为元，根据题意，列出方程求解即可．
（2）设销售单价为m元，根据“两批全部售完后，获利为1200元”列方程求解即可．
【详解】（1）解：设第一批冰糖桔单价为x元，则第二批冰糖桔单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
答：第一批冰糖桔进货单价为8元．
（2）当时 ，，
设销售单价为m元，根据题意得：，    
解得：．
答：销售单价为11元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确理解题意，熟练掌握分式方程的应用及其解法是解题的关键．
考点2：行程问题
1）一元一次方程中的行程问题
例．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）、两地相距千米，一列慢车从地出发，每小时走千米，一列快车从地出发，每小时走千米．
(1)两车同时出发相向而行，小时相遇，可列方程____________；
(2)两车同时出发相背而行，小时后两车相距千米，可列方程____________；
(3)慢车出发1小时后快车从地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？
【答案】(1)
(2)
(3)快车出发小时后追上慢车
【分析】（1）直接利用行驶总路程，即可得出等式；
（2）直接利用两车距离，即可得出等式；
（3）设快车出发小时后追上慢车，利用追上时路程、速度与时间的关系列出方程求解．
【详解】（1）解：由题意可得：；
故答案为：；
（2）解：由题意可得：，
故答案为：；
（3）解：设快车出发小时后追上慢车，根据题意可得：

解得：，
答：快车出发小时后追上慢车．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
知识点训练
1．（2023秋·天津和平·八年级天津市汇文中学校考期末）一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题有两个等量关系： ①平时逆水航行时间：顺水航行时间； ②雨天逆水航行时间+顺水航行时间，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，再列方程，解方程即可．
【详解】解：设甲、乙两港相距，水流速度平时速度为． 根据平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，得：
∴，即，
解得：，经检验，符合题意且符合实际应用，
∵某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．
∴，
解得：．
答：甲，乙两港相距．
故选D．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，注意找好两个未知量之间的关键．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？
译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x日与乙相逢，可列方程．（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设甲经过x日与乙相逢，根据“甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲经过x日与乙相逢，根据题意得：
，
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
3．（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第九中学校考期末）A、B 两地相距 18 千米．甲、乙两人分别从 A、B 两地出发，相向而行，在途中的 C 地相遇，相遇时甲骑行的时间比乙骑行时间的 3 倍还多 4 分钟．甲骑车的速度是每分钟 360 米，乙骑车的速度是每分钟 300 米，求乙骑行的时间是多少分钟？
【答案】乙骑行的时间是12分钟
【分析】设乙骑行的时间是x分钟，则甲骑行的时间是分钟，根据路程=速度×时间列出方程求解即可．
【详解】解：设乙骑行的时间是x分钟，则甲骑行的时间是分钟，
由题意得，
∴，
解得，
答：乙骑行的时间是12分钟．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
4．（2023秋·河北唐山·七年级唐山市第十二中学校考期末）列一元一次方程解决问题
小张骑自行车以的速度去上学，后，小张的妈妈发现小张忘了带书，就以的速度追小张．已知小张家离学校相距．问：小张的妈妈能否在小张到校前追上小张，如果追上，此时离学校多远？如果追不上，小张到校后多长时间后，小张的妈妈才能到学校？
【答案】小张的妈妈能在小张到校前追赶上小张，此时离小张家
【分析】设小张的妈妈后追上小张，根据题意列出方程，解方程求得,然后根据判断小张是否到学校，进行分析即可求解．
【详解】解：设小张的妈妈后追上小张，根据题意得，
，
解得：，
∵
∴小张的妈妈能在小张到校前追赶上小张，此时离小张家，
答：小张的妈妈能在小张到校前追赶上小张，此时离小张家．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
5．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）列方程解应用题
(1)两根粗细不同但高度相同的蜡烛，第一根4小时燃尽，第二根3小时燃尽，若两根同时点燃后，经过几小时后，第一根蜡烛的高度是第二根蜡烛的高度的两倍？
(2)A，B两地相距160千米，一辆货车提前半小时从A地开往B地后，一辆客车也从A地开往B地，已知货车的速度60千米/小时，客车的速度80千米/小时，问经过多少小时后两车相距10千米？
【答案】(1)点燃小时后第一支蜡烛的高度是第二支蜡烛的2倍；
(2)经过1小时或2小时两车相距10千米

【分析】（1）把蜡烛的长度看作单位“1”，设此时已经点了小时，依据题意粗蜡烛剩余的长度=细蜡烛剩余的长度解答；
（2）分相遇前和相遇后两种情况分别求解可得．
【详解】（1）解：（1）设点燃小时后第一支蜡烛的高度是第二支蜡烛的2倍，
由题意得：，
解得：．
答：点燃小时后第一支蜡烛的高度是第二支蜡烛的2倍；
（2）解：设经过小时，两车相距100千米，
两车相遇前：，解得；
两车相遇后：，解得；
答：经过1小时或2小时两车相距10千米．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
369．（2022秋·湖北恩施·七年级统考期末）一列动车匀速行驶，经过某长度为1600 m的大桥用时30 s，桥头一监测仪监测到该动车通过监测仪正前方所用时间为6 s．

(1)求该动车的长度；
(2)该动车通过大桥的速度是多少km/h？
【答案】(1)该动车的长度为；
(2)该动车通过大桥的速度是．

【分析】（1）动车的长度为，根据动车通过监测仪正前方所用时间为，以及动车经过某长度为1600m的大桥用时30s，列方程，解方程即可求解；
（2）把代入即可求解．
【详解】（1）解：该动车通过监测仪正前方所用时间为，
设动车的长度为，则动车的速度①，
该动车经过某长度为1600m的大桥用时30s，
则动车速度②，
由①②得
解得；
答：该动车的长度为；
（2）解：把代入得，
．
答：该动车通过大桥的速度是．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理清题中的数量关系并正确分析，是解题的关键．
2）二元一次方程组中的行程问题
例．（2022·全国·九年级专题练习）随着旅游业的多元化发展，自驾游呈现蓬勃发展的态势，相距50千米的A、B两家人相约开车自驾游，若两车同时出发相向面行，先会合后再一同前往旅游地，则出发20分钟相遇；若两车同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，则出发5小时A车可追上B车．
(1)求A、B两车的平均速度分别为多少千米/时；
(2)两家人决定同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，A车要想在出发后2小时内追上B车，求A车的平均速度要在原速上至少提高多少千米/时？
【答案】(1)车的平均速度为80千米/时，车的平均速度为70千米/时
(2)车的平均速度要在原速上至少提高15千米/时

【分析】（1）设车的平均速度为千米/时，车的平均速度为千米/时，根据两种方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）设车的平均速度在原速上提高千米/时，则车提高速度后的平均速度为千米/时，根据“车要想在出发后2小时内追上车”建立不等式，解不等式求出的取值范围，由此即可得．
【详解】（1）解：设车的平均速度为千米/时，车的平均速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
答：车的平均速度为80千米/时，车的平均速度为70千米/时．
（2）解：设车的平均速度在原速上提高千米/时，则车提高速度后的平均速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
答：车的平均速度要在原速上至少提高15千米/时．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
知识点训练
1．（2022·江苏宿迁·模拟预测）小红家离学校米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了分钟，假设小红上坡路的平均速度是千米时，下坡路的平均速度是千米时，若设小红上坡用了分钟，下坡用分钟，根据题意可列方程组为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】两个等量关系为：上坡用的时间下坡用的时间；上坡用的时间上坡的速度下坡用的时间下坡速度，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设小红上坡用了分钟，下坡用分钟，根据题意得：
．
故选：B．
【点睛】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键,同时要注意统一单位．
2．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）甲乙两人练习跑步，若乙先跑10m，则甲5s就可以追上乙；若乙先跑2s，则甲4s就可以追上乙，若设甲的速度x m/s，乙的速度y m/s，则（    ）
A．x=4，y=6 B．x=6，y=4 C．x=3，y=5 D．x=5，y=3
【答案】B
【分析】根据题意：乙先跑10m，则甲5s就可以追上乙；乙先跑2s，则甲4s就可以追上乙，若设甲的速度x m/s，乙的速度y m/s，结合“甲跑的路程等于乙跑的路程”，即可联立方程组，解出即可．
【详解】解：∵甲的速度x m/s，乙的速度y m/s，
根据题意，可得，
解得：．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，解本题的关键在正确找出等量关系．
3．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x秒后两车间的距离为y米，y关于x的函数关系如图所示，则乙车的速度是_____米/秒．

【答案】25
【分析】根据前100秒时间的路程之差得，再根据后20秒时间两车的路程之和得，然后再联立解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设甲车的速度是a米/秒，乙车的速度为b米/秒，
由题意，得，
解得：．
乙车的速度是25米/秒；
故答案为：25．
【点睛】此题考查了一次函数、二元一次方程组的应用，准确找出图中隐含的等量关系并列出二元一次方程组是解答此题的关键．
4．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人分别到达Q地后停止．已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图像如图所示．请解决以下问题：

(1)由图像可知，甲比乙迟出发___________h，解释图像中点B与点C的实际意义；
(2)求甲、乙两人的速度．
【答案】(1)1，点B表示：乙出发小时，甲乙相遇；点C表示：乙出发5小时，甲乙相距35千米
(2)甲的速度40千米/时，乙的速度25千米/时

【分析】（1）根据图象中的信息即可得到结论；
（2）根据题意和函数图象中的数据列方程组可以求解；
【详解】（1）由函数图象可知：甲比乙迟出发h；
点B：乙行驶小时，甲乙两人相遇；
点C：乙行驶小时是，甲乙两人相距千米；
（2）设甲的速度为km/h，设乙的速度为km/h，由题意得：
，
解得；
答：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h．
【点睛】本题考查函数图象的信息应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期末）周末，小明和爸爸沿同一条道路慢跑到红梅公园，两人从家中同时出发，爸爸先以125米/分钟的速度慢跑一段时间，休息了5分钟，再以米/分钟的速度慢跑到红梅公园，小明始终以同一速度慢跑，两人慢跑的路程（米）与时间（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：

(1) ______，______，______；
(2)若小明的速度是80米/分，求小明在途中与爸爸第二次相遇时行驶的路程．
【答案】(1)8；13；100
(2)1200米

【分析】（1）根据时间路程速度，即可求出的值，结合休息时间为5分钟，即可得出的值，再根据速度路程时间，即可求出的值；
（2）利用待定系数法求出直线的函数解析式，联立两函数解析式成立方程组，通过解方程组求出交点的坐标即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
（分钟），
（分钟），
（米/分钟），
故答案为：8；13；100；
（2）解：根据题意可得：
小明从家到公园的时间为：（分钟），
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，把代入得，
，
解得：，
所以直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
把代入得，
，
解得：，
所以直线的解析式为：，
由解得，
所以小明在途中与爸爸第二次相遇时行驶的路程是1200米，
故答案为：1200米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，路程、速度与时间的关系的应用以及解二元一次方程组，解题的关键是根据数量关系，列式计算，利用待定系数法求出直线的函数解析式．
6．（2022春·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）A市到B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．
【答案】飞机的速度为，风速为
【分析】设飞机的速度为，风速为，根据路程=速度×时间列出方程组求解即可．
【详解】解；设飞机的速度为，风速为，
由题意得，
解得，
∴飞机的速度为，风速为，
答；飞机的速度为，风速为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．
7．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）桥长 1000米，现有一列匀速行驶的货车从桥上通过，测得货车从上桥到完全过桥共用了 60秒，而整个货车在桥上的时间是 40秒，求货车的长度和速度．
【答案】货车的长度为200米，速度为20米/秒
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即整列火车过桥通过的路程=桥长+车长，整列火车在桥上通过的路程=桥长车长，根据这两个等量关系可列出方程组．
【详解】设货车的长度为米和速度米/秒，
由题意得：，
解得：，
答：货车的长度为200米，速度为20米/秒．
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．弄清桥长、车长以及整列火车过桥通过的路程，整列火车在桥上通过的路程之间的关系．
8．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）为了参加国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行了专项训练．在某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度．
【答案】自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度为2千米
【分析】设自行车路段的长度为米，长跑路段的长度为米，根据“李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5千米，共用时15分钟，”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设自行车路段的长度为米，长跑路段的长度为米，根据题意得：
，解得：．
答：自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度为2千米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
9．（2022秋·全国·七年级专题练习）小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈.
求：
(1)若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？
(2)若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？
(3)哥哥的速度是小明的多少倍？
(4)哥哥追上小明时，小明跑了 　　圈（直接写出答案）
【答案】(1)（米）；
(2)小明的速度为3米秒；
(3)哥哥速度是小明速度的2倍；
(4)
【分析】（1）根据总长度＝（哥哥的速度＋小明的速度）×时间，求解即可；
（2）根据条件列出等量关系：哥哥所跑路程－小明所跑路程＝环形跑道的周长，列方程求解即可；
（3）等量关系为：他们沿相反方向出发：哥哥所跑路程＋小所跑路程＝环形跑道周长；同向时：哥哥所跑路程－小明所跑路程＝环形跑道周长，据此列出方程组求解；
（4）由（3）中求出的哥哥的速度与小明的速度的比为1:2，可知在时间相同时，他们所行的路程也为2:1．如果设小明跑了x，那么哥哥跑了2x圈，根据哥哥比小明多跑了20圈列式解答即可．
【详解】（1）解：（米；
（2）设小明的速度为米秒，
由题意得，，
解得：，
答：小明的速度为3米秒；
（3）设哥哥的速度是米秒，小明的速度是米秒.环形跑道的周长为米.
由题意得，，
整理得，，
即.
答：哥哥速度是小明速度的2倍；
（4）设小明跑了圈，那么哥哥跑了圈.
根据题意，得，
解得，.
故经过了25分钟小明跑了20圈
【点睛】本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
3）一元二次方程中的行程问题
例．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．

注：步数×平均步长＝距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x的值；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．
【答案】（1）①，② ；（2）的值为0.1；（3）王老师这的平均步长为0.5米/步．
【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；
（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；
（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．
【详解】（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）；
②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）；
故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）；
（2）根据题意得，
解得（舍去），.
则的值为0.1.
（3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000，
500÷（24000−23000）＝0.5（m）．
答：王老师这500米的平均步长为0.5米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．
知识点训练
1．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ）
A．36 B．26 C．24 D．10
【答案】C
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴．
故乙走的步数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2019春·浙江·八年级统考阶段练习）如图，甲、乙两点分别从直径的两端点，出发以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为.则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是______.

【答案】
【分析】由题意可知乙的运动路程为，甲、乙第一次相遇时一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，利用总路程等于甲的路程加乙的路程列方程即可.
【详解】如下图所示：红色线为甲走的路程，蓝色线为乙走的路程，虚线位置是第一次相遇时，箭头位置是第二次相遇时，

由图可知：甲、乙第一次相遇时，一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，故甲、乙行驶的总路程为：
∵乙以的速度匀速运动
∴乙的运动路程为，
根据总路程等于甲的路程加乙的路程列方程
∴
解得：（不符合实际，舍去）
故答案为
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用：行程问题，解决此题的关键是找到图中的等量关系是列出方程.
3．（2022秋·江西南昌·九年级统考期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：？）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒

【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21．

（1）甲运动4后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
【答案】（1）甲运动4后的路程是14；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3．
【分析】（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可；
（2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可．
【详解】(1)当时，
（），
答：甲运动4后的路程是14；
（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21，甲走过的路程为，乙走过的路程为4，
则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆．
4）分式方程中的行程问题
例．（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距千米，第一组步行的速度是第二组的倍，并且比第二组早小时到达乙地．
(1)求第二组的步行速度．
(2)返回时，第二小组为了加快速度，准备进行提速，现有两种方案：
方案1：前半程速度为，后半程速度为；
方案2：全程速度均为；（方案中速度单位均为千米/小时）
其中和是不相等的正数，请比较哪种方案平均速度更快，并说明你的理由．
【答案】(1)千米/小时
(2)方案2的平均速度更快，理由见解析
【分析】(1)根据第二组的速度可得出第一组的速度，依据“时间=路程÷速度”即可找出第一、二组分别到达的时间，再根据第一组比第二组早小时到达乙地，即可列出分式方程，由此即可得出结论；
(2)首先求得方案1中全程的平均速度，再与方案2中全程的平均速度进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：设第二组步行的速度为x千米/小时，则第一组步行的速度为千米/小时，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：第二组的步行速度为千米/小时；
（2）解：方案2的平均速度更快，
理由如下：
方案1中，全程的平均速度为：
(千米/小时)，





和是不相等的正数，
，
，
，
，
，
故方案2的平均速度更快．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，整式的加减及大小的比较方法，根据题意正确列出分式方程及代数式是解决本题的关键．
知识点训练
1．（2022秋·八年级单元测试）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为_____小时
【答案】1.8
【分析】设乙驾车时长为小时，则甲驾车时长为小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
【详解】解：设乙驾车时长为小时，则甲驾车时长为小时，

根据两人对话可知：甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，解得：或，
经检验：或是原方程的解，
不合题意，舍去，
故答案为：1.8小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系．
2．（2022秋·山东菏泽·七年级统考期末）超市位于小明家正西米处，学校位于家的正东方向，一天，小明的妈妈从家去超市购物，同时小明从家去学校上学，妈妈刚到超市门口发现小明的作业本误装在了购物袋里，立即按原路返回并追赶小明，结果二人同时到达学校．已知妈妈每分钟走米，小明每分钟走米．则小明的家距离学校有多远？
【答案】500米
【分析】设小明的家距离学校米，根据妈妈和小明所行驶的时间相等列出方程并解答即可．
【详解】解：设小明的家距离学校米，
根据题意可列方程：，
解得．
答：小明的家距离学校有米．
【点睛】本题主要考查分式方程，根据题目条件列出分式方程是解题的关键．
3．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度
【答案】小李去书店时的速度为4千米/小时．
【分析】设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了1小时列方程求解即可．
【详解】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得

整理得
解得，（不合题意舍去）
经检验是原方程的根且符合题意
答：小李去书店时的速度为4千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，设出速度，以时间作为等量关系列方程求解．
4．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前3分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【答案】(1)9千米/小时
(2)千米/小时

【分析】（1）设小李步行的速度为千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
（2）设小李跑步的速度为千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前3分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设小李步行的速度为千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，
由题意得： ，  
解得：，                 
经检验，是原方程的解，且符合题意      
则，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为（小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：（小时），
设小李跑步的速度为千米/小时，
由题意得，   解得： ，
答：为了至少提前3分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
5．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）喜迎党的二十大胜利召开，某校八年级全体师生前往栖霞市抗大爱国教育基地研学，活动当天，大家在学校集合，1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线出发，结果两辆车同时到达目的地．已知学校到栖霞市抗大爱国教育基地的路程是150km，2号车的平均速度是1号车平均速度的倍，求1号车从学校到目的地所用的时间．
【答案】1号车从学校到目的地所用的时间为
【分析】设1号车的平均速度为，则2号车的平均速度为，根据时间=路程÷速度，结合2号车比1号车的时间少建立方程求解即可．
【详解】解；设1号车的平均速度为，则2号车的平均速度为，
由题意得，
解得，
经检验 是原方程的解，
，
∴1号车从学校到目的地所用的时间为，
答：1号车从学校到目的地所用的时间为．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
6．（2022秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考期末）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时．
(1)小东走线路一的平均速度是多少；
(2)当小东从线路一出发半小时后，邻居小北沿着路线二去同一旅游地旅行，小北至少以多少的平均速度才能赶在小东前到达目的地（与小东一起到达最好）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则线路二上行驶的平均速度为，由题意列出方程，即可得出结论；
（2）设小北至少以 的平均速度才能赶在小东前到达目的地，根据题意找出合适的关系，进而得出结论．
【详解】（1）设汽车在线路一上行驶的平均速度为，
则线路二上行驶的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴小东走线路一的平均速度是；
（2）设小北的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
答：小北至少以 的平均速度才能赶在小东前到达目的地．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
7．（2022秋·八年级单元测试）在国家发展的新时期，河南省将加快建设内联外通、立体高效的快速交通网，其中要新建或续建一批高速公路项目．已知A，B两市原国道长为，经过改修高速公路后，长度比原来缩短了，高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上的行驶速度提高了，从A市到B市高速上行驶的时间是原来在国道上行驶时间的，求该长途汽车在原国道上行驶的速度．
(1)设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，根据题意解答下列问题：
①该长途汽车在高速上行驶的速度为 ；
②该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速上行驶的时间为 h；
③根据题意列出关于x的方程为 ，解方程得 ，经检验，x的值是原方程的解且符合题意；
④答：
(2)若设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速上行驶的时间为，据此请你列出方程并解决这个问题．
【答案】(1)①；②；③，；④该长途汽车在原国道上行驶的速度为；
(2)．

【分析】（1）设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，则该长途汽车在高速上行驶的速度为，然后根据在国道和高速路中时间关系列出方程，求解即可；
（2）设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速上行驶的时间为，然后根据在国道上和高速路上速度关系列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，
则该长途汽车在高速上行驶的速度为，
该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速上行驶的时间为，
根据题意列出关于x的方程为，
解方程得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：该长途汽车在原国道上行驶的速度为．
故答案为：①；②；③，；④该长途汽车在原国道上行驶的速度为；
（2）解：设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速上行驶的时间为，
根据题意得：，
解方程得：，
经检验，是原方程的解，
答：该长途汽车在原国道上行驶的时间为．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出分式方程．
考点3：几何问题
1)一元一次方程中的几何问题
例．（2020秋·四川甘孜·七年级统考期末）已知a是最大的负整数，b，c满足，且a，b，c在数轴上对应的点分别是点A，B，C．

(1)求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C．
(2)若动点P从点C出发，沿数轴的正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到达点B？
(3)在数轴上找一点M，使点M到A，B，C三点的距离之和等于16，求出所有点M表示的数．
【答案】(1)，，，数轴表示见解析
(2)运动时间为秒
(3)点表示的数是或
【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得，，进而可得答案；
（2）根据（1）中的数据得到，结合运动时间=运动路程÷运动速度解答；
（3）注意数轴上两点间的距离公式：两点所对应的数的差的绝对值．
【详解】（1）解：（1）∵a是最大的负整数，
∴．
∵，
∴，，
∴，．
点A，B，C在数轴上表示如下：

（2），则运动时间为秒．
（3）设点表示的数为．
①当点在点的右侧时，有，
解得，
即点表示的数是；
②当点在点的左侧时，有，
解得，
即点表示的数是；
③当点在点A，C或点A，B之间时，不符合题意．
综上所述，点表示的数是或．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关的计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值．
知识点训练
1．（2022秋·山东菏泽·七年级统考期末）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部是圆柱形的容器，内部底面积分别为、，现将甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲容器中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的高度高了，设甲容器的容积为，则列方程为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设甲容器的容积是，根据内部底面积分别为、，且甲容器装满水，乙容器是空的，若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度高了，即可列出方程．
【详解】解：由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，根据体积不变求出高度，进而求出容积．
2．（2022秋·河北保定·七年级校考期末）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，则由题意，得方程（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，观察图形结合小长方形的长不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设，
由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段，向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段向点C运动，速度为．点P，Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为．

（1）当点P在上运动时，______（用含t的式子表示）；
（2）当与的和等于长方形周长的时，______．
【答案】     ##；     或．
【分析】（1）设运动时间为，根据动点P从点A出发，速度为，得到，即可求出的长度；
（2）先求出长方形周长为，进而得到，分两种情况讨论：①当点P在上，此时，，列方程求解即可得到答案；②当点P在上时，，，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）设运动时间为，
动点P从点A出发，速度为，
，
，
，
故答案为：；
（2），，
长方形的周长，
，
①当点P在上，点Q在上时，
由（1）可知，，
动点Q从点B出发，速度为，

，解得：，
此时，；
②当点P、 Q都在上时，
可知：，，
，解得：，
此时，，
综上可知当与的和等于长方形周长的时，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
4．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数为______°．
【答案】
【分析】设这个角的度数为x，则这个角的余角为，补角为，再根据余角是它的补角的列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，
由题意得，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，一元一次方程的应用，正确理解余角与补角的定义是解题的关键．
5．（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）如图，在数轴上，点表示，点表示，点表示8，是数轴上的一个点．
(1)求点与点的距离．
(2)若表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离，当点满足时，请求出在数轴上点表示的数．

【答案】(1)12
(2)17或5

【分析】（1）根据两点间的距离公式可得与的距离；
（2）设点表示的数是，根据题意列出方程，再解方程即可；
【详解】（1）解：，
点与点的距离为12；
（2）解：设点表示的数是，
则，，
，
，
∴或
解得或5；
故在数轴上点表示的数为17或5．
【点睛】本题主要考查实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
6．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，已知在中，，，，点从点出发沿的边做逆时针运动，且速度为每秒，点从点出发沿的边做逆时针运动，且速度为每秒，他们同时出发，设运动时间为秒．

(1)出发2秒后，求的长；
(2)在运动过程中，能形成等腰三角形吗？若能，请求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，请说明理由；
(3)从出发几秒后，线段第一次把直角三角形周长分成的两部分？
【答案】(1)的长为
(2)出发秒后第一次形成等腰三角形
(3)从出发秒后，线段第一次把直角三角形周长分成的两部分

【分析】（1）求出、、，根据勾股定理求出即可；
（2）根据等腰直角三角形得出，代入得出方程，求出方程的解即可；
（3）根据周长分成，得出，求出即可．
【详解】（1）解：出发2秒，，，即此时在上、在上，
，，
在中，由勾股定理得：，即出发2秒后，的长为；
（2）解：在运动过程中，能形成等腰三角形，
，；
由得：，解得（秒，
出发秒后第一次形成等腰三角形；
（3）解：中，由勾股定理得：，
当时，在上、在上，
，，，，
线段第一次把直角三角形周长分成的两部分，
由周长相等得：，即，解得：，符合题意，
从出发秒后，线段第一次把直角三角形周长分成的两部分．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形性质、勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
7．（2022秋·湖北恩施·七年级校考阶段练习）如图，小奥将一个正方形纸片剪去一个宽为的长方形（记作A）后，再将剩下的长方形纸片剪去一个宽为的长方形（记作B）．

(1)若A与B的面积相等，求这个正方形的边长．
(2)若A的周长是B的周长的倍，求这个正方形的边长．
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）根据正方形的边长相等，利用长方形面积公式列方程求出S的值即可；
（2）设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是，利用长方形周长公式列方程求出x的值即可．
【详解】（1）解：设正方形的边长为，
∵长方形A与B的面积相等，
∴，
解得：，
∴这个正方形的边长为；
（2）解：设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是，
∵A的周长是B的周长的倍，
∴，
解得：．
∴原正方形的边长为．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，注意：第一次剪完后，剩下的这边为，正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程是解题关键．
2)二元一次方程组中的几何问题
例．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，点、都在线段上，，，，求各角的度数．

【答案】，，
【分析】设，，根据等边对等角可得，，，根据三角形内角和为180°，列出二元一次方程组，解方程即可求解．
【详解】设，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
如图：

∴根据三角形内角和为180°，可得：，
∴解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即各角的度数为：，，．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和为180°以及二元一次方程组在几何问题的中的应用等知识，掌握等腰三角形的性质，是解答本题的关键．
知识点训练
1．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，根据60张正方形纸板和140张长方形纸板建立等式．
【详解】解：设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，
根据竖式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板，横式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理清楚量与量之间的等量关系．
2．（2022秋·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为米、宽为米的矩形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为5750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为米、宽为米的矩形，
根据题意得： ，
整理得：，    
解得：60（舍去），．
即垂钓通道的宽度为5米．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）

A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm
【答案】C
【分析】设桌子的高度为xcm,长方体木块的长比宽长ycm，观察图①、图②，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设桌子的高度为xcm,长方体木块的长比宽长ycm，
根据题意得：，
解得：．
故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知，则点的坐标是__________．

【答案】
【分析】设长方形纸片的长和宽分别为x、y，先根据点B的坐标求出x、y的值，进而求出点A的坐标即可．
【详解】解：设长方形纸片的长和宽分别为x、y，
由题意得，
解得，
∴，
∴，
故答案为；．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的应用，正确求出长方形的长和宽是解题的关键．
5．（2022秋·山东青岛·八年级山东省青岛实验初级中学校考期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，当为11时的值是_____．

【答案】17cm
【分析】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为
由题意得

解得，
则个纸杯叠放在一起时的高度为：，
当时，其高度为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）一个长方形，它的长减少，宽增加，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，设原长方形的长为，宽为，那么x、y满足的二元一次方程组是 _____________．
【答案】
【分析】根据题意可得，根据面积相等即可列出方程组．
【详解】解：∵长方形的长方形的的长减少，宽增加，所得的是一个正方形，
∴；
∵这两个图形的面积相等，
∴，
即．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．
7．（2022秋·河南信阳·八年级校考期末）已知：如图，在梯形中，，，点E为边上一点，且．点P在线段上以每秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题：

(1)线段的长可用含t的式子分别表示为：______，______．
(2)若某一时刻与全等，求此时t的值和线段BP的长．
【答案】(1)；；
(2)，或，时，与全等．

【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）设点Q每秒运动，则，根据题意得出，然后分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用全等三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：点P在线段上以每秒的速度由点B向点C运动，
∴；
∵，
∴；
故答案为：，；
（2）设点Q每秒运动，则，
∵，
∴，
①∵，
∴当时，，
∴，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，，
∴，
解得：；
∴
综上可得：，或，时，与全等．
【点睛】题目主要考查列代数式及全等三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，理解题意，进行分类讨论是解题关键．
3)一元二次方程中的几何问题
例．（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，，在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．

(1)试用含有的代数式表示五边形的面积__________；
(2)当时，请写出小正方形种植花卉所需的费用__________；
(3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
【答案】(1)
(2)元
(3)当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元

【分析】（1）根据题意，结合图形，得到，分别求出正方形面积、面积、面积，代入化简即可得到答案；
（2）在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元，结合（1）中所求面积表达式，代入得到，，，从而所需费用为元；
（3）根据图形，大正方形是四个小正方形中的情况之和，结合大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元，由（1）中所求列出方程，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设米，则米，
∴，


，
∴

，
故答案为：；
（2）解：若，则，
∴，，
∴，
∴所需费用为：（元），
故答案为：元；
（3）解：根据题意得
，
整理得，解得，
答：当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．
【点睛】本题是实际应用题，涉及间接方法求不规则图形面积、列代数式解实际问题、整式混合运算、有理数混合运算、一元二次方程解实际应用题等，读懂题意，数形结合，掌握解决实际应用题的方法步骤是解决问题的关键．
知识点训练
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．

(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．
(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
【答案】(1)AB＝4，BC＝3
(2)AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4
【分析】（1）根据；篱笆总长和门的长表示出AB、BC，列出方程即可．
（2）根据围成矩形三边的篱笆总长小于10列出不等式，再由x和y为整数且xy=12确定出满足题意的方案．
【详解】（1）根据题意得：，即．
代入得：，整理得：．
解得：或．
当时，，不符合题意；当时，，符合题意．
则AB=4,BC=3．
（2）根据题意得：，即．
∵AB，BC为整数，即x，y为整数，且．
∴当y=6时，x=2；当y=4时，x=3．
则满足条件的围建方案为：AB=2,BC=6或AB=3,BC=4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解题的关键．
2．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘来和12厘米的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求所镶彩纸的宽．
若设：所镶彩纸的宽为厘米．下面是强强同学所列的3个方程，其中正确的个数有（　　）个．




A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由所镶彩纸的宽为厘米，可得出照片和彩纸组成的矩形长为厘米，宽为厘米，结合彩纸面积为相片面积的，即可列出关于的一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：所镶彩纸的宽为厘米，
照片和彩纸组成的矩形长为厘米，宽为厘米，
彩纸面积为相片面积的，
可列方程：，
，
，
所列的三个方程均正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022秋·河南周口·九年级校考期末）如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和图形中的数据，用圆的面积减去正方形的面积等于圆内可种植的面积，列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程．
4．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原正方形空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长是________．

【答案】10
【分析】本题可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
【详解】解：设原正方形的边长为，依题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
故原正方形的边长．
故答案是：10．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．正确记忆长方形的面积公式，求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
5．（2021春·山东淄博·九年级校考期中）如图，有长为15m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为8m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如果要围成面积S为18m2的花圃，AB的长是多少？

【答案】的长是3m．
【分析】设的长为，则的长为，根据花圃的面积为18m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合的长不超过8m，即可确定结论．
【详解】解：设的长为，则的长为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：的长是3m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2022秋·重庆南岸·九年级统考期末）如图，一个长为，宽为的矩形铁片．

(1)如果，，在矩形的中央挖掉一个的矩形后，成为一个各条边一样宽的铁框，求这个铁框的宽度；
(2)如果，在四个角上分别裁掉四个边长为的正方形，把它制作成一个体积为的无盖长方体，求原矩形的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设这个铁框的宽度为，根据中央矩形的面积为列出方程，解方程即可；
（2）根据长方体的体积为，列出关于b的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设这个铁框的宽度为，根据题意得：
，
解方程，得，（舍去），
答：这个铁框的宽度为．
（2）解：根据题意，可得：
，
解方程，得，（舍去）．
∴
∴ 原矩形的面积为，
答：原矩形的面积为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算．
7．（2023秋·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考期末）如图，某校准备为投资1万元围一个矩形的运动场地，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为60m，墙长35m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用150元/m，设垂直于墙的边长为xm．

(1)若运动场地面积为 ，求x的值；
(2)当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？
【答案】(1)20
(2)当运动场地的面积最大时超过了预算

【分析】（1）根据矩形的面积公式列方程求解可得；
（2）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【详解】（1）解：根据题意，得：，
∴
解得：或，
∵当时，，
∴；
（2）解：设运动场地的面积是S，
则，
∵，
∴当时，S随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，S取得最大值，
∴，
∴总费用，
∴当运动场地的面积最大时超过了预算．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、长方形的周长公式的运用、长方形的面积公式的运用、一元二次方程的解法的运用，解答时根据长方形的面积公式建立方程和函数解析式是关键．
8．（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）某校准备在一块长为米，宽为米的矩形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路（阴影部分），四条小路围成的四边形恰好为一个正方形，且边长是小路宽度的倍，条小路所占面积为平方米．其余部分种植月季花．

(1)求小路的宽度．
(2)若修建小路的成本为每平方米元，种植月季花的成本为每平方米元．求此花圃的总成本．
【答案】(1)米
(2)元

【分析】（1）设小路的宽度为米，则小正方形的边长为米，得到，解方程即可得到结果
（2）先求得种植部分的面积，即可求得花圃的总成本
【详解】（1）解：设小路的宽度为米，则小正方形的边长为米，
由题意得：，即
解得：（不合题意，舍去），，
答：小路的宽度为米．
（2）∵种植部分的面积为：（平方米），
∴此花圃的总成本为：（元），
答：此花圃的总成本为元．
【点睛】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，读懂题意、列出方程是解决问题的关键
9．（2022秋·安徽阜阳·九年级统考期末）某天延时课上，闻老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放：

第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，…，按此规律依次递增．
(1)第5个图中有______个棋子；第个图中有______个棋子．
(2)第个图中的棋子个数能是115吗？如果能，求出n的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)能，第10个图中的棋子个数为115．

【分析】（1）先观察得出图形变化中的规律，再利用规律求解即可；
（2）令建立方程求解，检验n的值是否符合题意，即可求解．
【详解】（1）第1个图：，
第2个图：，
第3个图：，
…
第5个图：，
由图中规律可知，第个图：，
故答案为：；．
（2）令，
解得（舍去），，
∴能，第10个图中的棋子个数为115．
【点睛】本题考查了图形规律题，涉及到了一元二次方程的应用，解题关键是发现图中的变化规律，并能用数式进行表示．
考点4：一元二次方程增长率问题
例. （2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）建设美丽城市，改造老旧小区，某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】(1)
(2)17个
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据“2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同”列出方程，即可求解；
（2）设该市在2023年可以改造y个老旧小区，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
（2）解：设该市在2023年可以改造y个老旧小区，
依题意得：，
解得：，
又∵y为整数，
∴y的最大值为17．
答：该市在2023年最多可以改造17个老旧小区．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
知识点训练
1．（2022秋·四川自贡·九年级校考阶段练习）向阳村2020年的人均年收入为12000元，2022年的人均年收入为14520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设人均年收入的平均增长率为x，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设人均年收入的平均增长率为x，根据题意可列出方程为：
．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
2．（重庆市江津区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有一人感染了此病毒，未被有效隔离，经过两轮传染，共有196名感染者，在每轮传染中，设平均一个人传染了人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设平均一个人传染了人，则第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意可列方程，整理方程即可．
【详解】解：设平均一个人传染了人，则
，
整理得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意找出题目中的等量关系式，列出方程是解题的关键．
3．（2022秋·河南漯河·九年级统考期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得第一轮传染后患流感的人数是：人，从而得到第二轮传染后患流感的人数，即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染后患流感的人数是：人，
∴第二轮传染后患流感的人数是：，
∵经过两轮传染后共有121个人患了流感，
∴，
即．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
4．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．
【答案】
【分析】设该公司每个季度的下降率是x ，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解∶设该公司每个季度的下降率是x，
依题意，得∶，
解得∶， （不符合题意，舍去）．
即该公司每个季度的下降率是，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
5．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）某企业9月份平均每天生产15000个口罩，由于疫情缘故，市场对口罩需求激增，企业决定从10月份起扩大产能，到11月份平均日产量达到18150个．
(1)求口罩日产量的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计12月份平均日产量能达到20000个吗？
【答案】(1)
(2)不能

【分析】（1）设口罩日产和量的月平均增长率为x，根据9月和11月的日产量，即可列出方程求解；
（2）利用12月份平均日产量=11月份平均日产量×(1+增长率)，即可得出答案．
【详解】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得

解得(舍去)，，
口罩日产量的月平均增长率为；
（2），
，
12月份平均日产量不能达到20000个．
【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的问题，解题的关键是掌握公式：增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量．
考点5：方案选择问题
例. （2022秋·湖北黄石·七年级校考期末）“元旦”前夕，“星星”文具用品店从厂家购进A、B两种型号的钢笔．已知A、B两种型号的钢笔每支进价比为，两种型号的钢笔每支售价比为，两种型号的钢笔各购进支，共用去元，A型号的钢笔每支利润3元．（每支钢笔利润＝每支钢笔售价﹣每支钢笔进价）
(1)求A、B两种型号的钢笔每支进价各是多少元？
(2)求B型号的钢笔每支售价是多少元？
(3)在“元旦”期间，“星星”文具用品店对A、B两种型号的钢笔进行如下优惠（购买时只能选择一种优惠方案）：
方案一：购买两支以上（含两支）的钢笔按标价八五折出售；
方案二：购买3支B型号的钢笔赠1支A型号的钢笔．
小红同学想一次购买支A型号钢笔和4支B型号的钢笔，请通过计算说明小红应选择哪种优惠方案购买比较便宜，便宜多少钱．
【答案】(1)每支A型号钢笔的进价为元，每支B型号钢笔的进价为元
(2)每支B型号钢笔的售价是元
(3)小红应选择优惠方案一购买比较便宜，便宜元

【分析】（1）设每支A型号钢笔的进价为元，则每支B型号钢笔的进价为元，得到，解得，即可求得结果
（2）设每支A型号钢笔的售价为元，则每支B型号钢笔的售价为元，列出方程，解得，即可求得结果
（3）按照两种方案分别计算出所需费用即可求解
【详解】（1）设每支A型号钢笔的进价为元，则每支B型号钢笔的进价为元，
依题意，得：，
解得：，
∴，．
答：每支A型号钢笔的进价为元，每支B型号钢笔的进价为元．
（2）设每支A型号钢笔的售价为元，则每支B型号钢笔的售价为元，
依题意，得：，
解得：，
∴．
答：每支B型号钢笔的售价是元．
（3）选择优惠方案一所需费用为（元）；
选择优惠方案二所需费用为（元）．
∵，（元），
∴小红应选择优惠方案一购买比较便宜，便宜元．
【点睛】本题考查了方案选择(一元一次方程的应用)，熟读题意，列出方程是解决问题的关键
知识点训练
1．（2023秋·天津和平·七年级天津市第二南开中学校考期末）某中学七年级（1）班4名老师决定带领本班m名学生去某革命胜地参观，该革命胜地每张门票的票价为30元，现有A、B两种购票方案可供选择：
方案A：教师全价，学生半价；
方案B：不分教师与学生，全部六折优惠；
(1)若按方案A购票，需付款___元（用含m的代数式表示）；若按方案B购票，需付款_____元（用含m的代数式表示）；
(2)当学生人数m为何值时，选择两种方案的费用相同？
(3)当学生人数时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？
【答案】(1)；
(2)
(3)方案A

【分析】（1）根据题意，由A，B两种方案进行表示即可；
（2）根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案
（3）当时，代入（1）中的两个代数式，比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：4名老师，m名学生，
按方案A购票，需付款：元；
按方案B购票，需付款：元；
故答案为：；；
（2）解：∵选择两种方案的费用相同，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，
按方案A购票，需付款：（元）；
按方案B购票，需付款：（元）；
∵，
∴选择方案A购票更为优惠．
【点睛】本题考查了列代数式及代数式求值，解一元一次方程，理解题意正确列出代数式是解决问题的关键．
2．（2022秋·辽宁鞍山·七年级统考期中）（方程的应用）某体育用品商店准备订购一批羽毛球拍，现有甲、乙两个供应商，均标价每支80元．为了促销，甲说：“凡来我店进货一律九折”，乙说：“如果超出60支，则超出的部分打八折”，（球拍品牌、质量相同）．
(1)购进多少支时，去两个供应商处的进货价钱一样多？
(2)第一次购进了100支，过了一个月后，第二次购进的数量比第一次的2倍多10支，如果你是体育用品商店的经理，请设计一种购买方案，使得两次总进货价最少，并计算出总进货价为多少元？
【答案】(1)购进120支时，去两个供应商处的进货价钱一样多
(2)总进货价为21600元，方案见解析

【分析】（1）设购进支时，去两个供应商处的进货价钱一样多，根据总价单价数量和甲乙的优惠方案建立方程解方程即可；
（2）分别计算两次在甲乙供应商进货所需资金，通过比较可得第一次甲供应商实惠，第二次选择乙供应商实惠，再把所需资金相加即为总进货价．
【详解】（1）解：设购进支时，去两个供应商处的进货价钱一样多，
根据题意得：，
解得：．
答：购进120支时，去两个供应商处的进货价钱一样多．
（2）解：第一次：甲供应商需要：（元），
乙供应商需要：（元），
，
第一次选择甲供应商实惠，
第二次：甲供应商需要：（元），
乙供应商需要：（元），
，
第二次选择乙供应商实惠，
（元）．
答：总进货价为21600元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系是解题的关键．
3．（2023秋·广东广州·七年级广州市第五中学校考期末）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价元，利润率为；乙种商品每件进价元，售价元
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于元
不优惠
超过元，但不超过元
按售价打九折
超过元
其中元部分八点二折优惠，超过元的部分打三折优惠

(1)甲种商品每件进价为　　元，每件乙种商品利润率为　　．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共件，恰好总进价为元，求购进甲种商品多少件？
(3)在 “元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
【答案】(1)；
(2)购进甲商品件；
(3)小华在该商场购买乙种商品件7件或8件

【分析】（1）根据售价进价（1利润率）即可得到答案；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据费用列方程求解即可得到答案；
（3）设小华打折前应付款为y元，分超过元与不超过元两类，利用费用列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲的进价为a元/件，
则，
解得：，
故甲的进价为元/件；
乙商品的利润率为；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
解得：．
即购进甲商品件，乙商品件；
（3）解：设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过元，但不超过元，
由题意得，
解得：，
（件），
②打折前购物金额超过元，
，
解得：，
（件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际应用问题中活动分段计价问题，解题的关键是找到相应的等量关系式及分类讨论思想．
4．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价元，领带每条定价元．厂方在国庆节期间开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
国庆特惠
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的九折付款．

(1)某客户要到该服装厂购买西装套，领带条．通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算．
(2)若客户要到该服装厂购买西装套，领带x条（）．
①若该客户按方案一购买需付款_______元（用含x的代数式表示）；
②若该客户按方案二购买，需付款_______元（用含x的代数式表示）；
③当x＝_______时，两种优惠方案所付的钱数相同．（直接填空，不说明理由）
【答案】(1)选择方案一购买较为合算
(2)①；②；③

【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可分别求出选项两种优惠方案所需费用，比较后即可得出结论；
（2）①利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出选择方案一所需费用；
②利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出选择方案二所需费用；
③根据两种优惠方案所付的钱数相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：选择方案一所需费用为（元），
选择方案二所需费用为（元）．
∵，
∴选择方案一购买较为合算；
（2）①若该客户按方案一购买，需付款（元），
故答案为：；
②若该客户按方案二购买，需付款（元），
故答案为：；
③依题意得：，
解得：，
∴当时，两种优惠方案所付的钱数相同．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出选项两种优惠方案所需费用；（2）①②根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出需付款金额；③找准等量关系，正确列出一元一次方程．