2022-2023学年福建省福州市九年（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年福建省福州市九年（上）期末数学试卷，共28页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省福州市九年（上）期末数学试卷
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
2．（4分）下列事件中，是必然事件的是　　
A．投掷一枚硬币，向上一面是反面
B．同旁内角互补
C．打开电视，正播放电影《守岛人》
D．任意画一个三角形，其内角和是
3．（4分）将抛物线向右平移5个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是　　
A． B． C． D．
4．（4分）用求根公式法解得某方程的两根互为相反数，则　　
A． B． C． D．
5．（4分）若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
6．（4分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为　　
A． B． C． D．
7．（4分）如图，内接于，且，连接并延长交于点，交于点，连接，若，则的大小为　　

A． B． C． D．
8．（4分）如图，，，，为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形是　　

A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
9．（4分）正比例函数与反比例函数的大致图象如图所示，则，的取值范围分别是　　

A．， B．， C．， D．，
10．（4分）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
11．（4分）关于的一元二次方程的两实数根之积为负，则实数的取值范围是　　．
12．（4分）若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 　　．
13．（4分）甲、乙、丙、丁四人外出旅游时准备站成一排拍照合影留念，则甲和丁相邻的概率为 　　．
14．（4分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 　　．

15．（4分）如图，的直径，弦，，垂足为，则的长为 　　．

16．（4分）如图，四边形为菱形，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则点的坐标为 　　．

三、解答题（共9题共86分）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．已知抛物线经过点，．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）判断点是否在此抛物线上．
19．如图，已知，相交于点，且，，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．

20．如图，，是反比例函数在第一象限图象上的点，过点的直线与轴交于点，轴，垂足为，与交于点，，．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求的面积．

21．如图是抛物线形的拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米．
（1）建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？

22．如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：．
（2）若，，求正方形的边长．

23．不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有，，，四个通道，车辆可任意选择一个通道通过，且通过每个通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有的汽车经过此收费站．
（1）求小李通过通道的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
24．如图，直线，，分别与相切于、、，且，，．求：
（1）的度数；
（2）的长；
（3）的半径．

25．如图，抛物线的图象与轴交于、两点，点为，．直线与抛物线交于、两点在左边），交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若，过点作于点，连接、，若此时，求点的横坐标；
（3）如图2，若，连接、，过原点作直线的垂线，垂足为，以为半径作．
求证：与直线相切．



2022-2023学年福建省福州市九年（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【解答】解：、不是轴对称图形，是中线对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
2．（4分）下列事件中，是必然事件的是　　
A．投掷一枚硬币，向上一面是反面
B．同旁内角互补
C．打开电视，正播放电影《守岛人》
D．任意画一个三角形，其内角和是
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【解答】解：．投掷一枚硬币，向上一面是反面，是随机事件，故该选项不符合题意；
．同旁内角互补，是随机事件，故该选项不符合题意；
．打开电视，正播放电影《守岛人》，是随机事件，故该选项不符合题意；
．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故该选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
3．（4分）将抛物线向右平移5个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是　　
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【解答】解：抛物线向右平移5个单位，再向下平移2个单位，
得到的抛物线是，即．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
4．（4分）用求根公式法解得某方程的两根互为相反数，则　　
A． B． C． D．
【分析】由题可知，两根互为相反数，所以其和为0，列出方程，即可求解．
【解答】解：设该一元二次方程的两个根分别是、，
方程的两根互为相反数，
．
由根与系数关系可得，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的灵活应用，得到根与系数的关系式是解答的关键；
5．（4分）若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数图象的性质确定，则二次函数的图象开口方向向下，且与轴交于负半轴．
【解答】解：正比例函数，随的增大而减小，
该正比例函数图象经过第二、四象限，且．
二次函数的图象开口方向向下，且与轴交于负半轴．
综上所述，符合题意的只有选项．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知是解题的突破口．
6．（4分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为　　
A． B． C． D．
【分析】关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数．
【解答】解：的相反数是3，5的相反数是，
点关于原点对称的点的坐标为．
故选：．
【点评】此题利用了关于原点对称的点的坐标特征．
7．（4分）如图，内接于，且，连接并延长交于点，交于点，连接，若，则的大小为　　

A． B． C． D．
【分析】由圆周角定理可得，即可求得的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解的度数，结合圆周角定理及三角形外角的性质可求解．
【解答】解：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，求解的度数是解题的关键．
8．（4分）如图，，，，为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形是　　

A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，，

，
，
而，
这个正多边形为正六边形，
故选：．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
9．（4分）正比例函数与反比例函数的大致图象如图所示，则，的取值范围分别是　　

A．， B．， C．， D．，
【分析】分别根据正比例函数与反比例函数的性质及图象的特点解答．
【解答】解：正比例函数过二、四象限，故；
反比例函数的图象在二、四象限，故，即．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数与正比例函数的图象特点：（1）反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．（2）正比例函数图象的性质：，正比例函数的图象过原点、在第一、三象限；，正比例函数的图象过原点、在第二、四象限．
10．（4分）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】由旋转的性质得出，，，，进而得出，得出，得出平分，可判断结论②符合题意；由，，得出，可判断结论①符合题意；由，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出，可判断结论③符合题意；即可得出答案．
【解答】解：将以点为中心逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
平分，
②符合题意；
，，
，
①符合题意；
，
，
，
，
，
，
③符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握旋转的性质，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
11．（4分）关于的一元二次方程的两实数根之积为负，则实数的取值范围是　　．
【分析】设、为方程的两个实数根．由方程两根之积为负可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：设、为方程的两个实数根，
由已知得：，即，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于的一元一次不等式组是关键．
12．（4分）若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 　　．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：，
图象的开口向上，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
13．（4分）甲、乙、丙、丁四人外出旅游时准备站成一排拍照合影留念，则甲和丁相邻的概率为 　　．
【分析】画树状图，共有24种等可能的情况，其中甲和乙相邻的情况有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有24种等可能的情况，其中甲和乙相邻的情况有12种，
甲和乙相邻的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 　　．

【分析】首先考虑到所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，，，故是等边三角形，可证明与全等，可得到，，再证和是直角三角形，然后在根据勾股定理求解
【解答】解：连接，设与相交于点，如下图所示，
中，，

绕点逆时针旋转与重合，
，
又旋转角为
，
是等边三角形

在与中，
，

，
在中，

在中，由勾股定理得，
又在中，，，可得

故答案为


【点评】此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用
15．（4分）如图，的直径，弦，，垂足为，则的长为 　　．

【分析】连接，先根据的直径求出半径的长，再根据垂径定理求出的长，然后根据勾股定理求出的长，即可求解．
【解答】解：连接，如图所示：

的直径，
，
弦，，
，
在中，由勾股定理得：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
16．（4分）如图，四边形为菱形，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则点的坐标为 　，　．

【分析】过点作，根据四边形四边形为菱形，得出，设，根据的面积为，求得，即可求解．
【解答】解：如图，过点作，

四边形为菱形，
，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
，
，
．
故答案为：，．
【点评】本题考查了反比例函数与几何图形，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
三、解答题（共9题共86分）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）
移项，得，
则，
，
解得：，；
（2）
则，
，
或，
解得：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．已知抛物线经过点，．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）判断点是否在此抛物线上．
【分析】（1）将点，代入待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将代入（1）的解析式即可求解．
【解答】解：（1）将点，代入
得，，
解得
抛物线的函数解析式为，
（2）当时，，
点不在此抛物线上．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，求得二次函数解析式是解题的关键．
19．如图，已知，相交于点，且，，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．

【分析】（1）根据相似三角形的性质可得，再由，，可得，即可证明；
（2）由平行四边形的性质可得，可得，再由可得，利用勾股定理可得，再由相似三角形的性质可得，从而得出，即可求解．
【解答】（1）证明：，
，
，
即，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，，
，，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．
20．如图，，是反比例函数在第一象限图象上的点，过点的直线与轴交于点，轴，垂足为，与交于点，，．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求的面积．

【分析】（1）根据直线求出点坐标，进而确定，的值，再确定点的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点坐标，进而求出，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）当时，即，
，
即直线与轴交于点的坐标为，
，
又，
点的坐标为，
而点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为；
（2）方程组的正数解为，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，即，
，
，
答：的面积为1．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
21．如图是抛物线形的拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米．
（1）建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？

【分析】（1）首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式可解获得答案；
（2）将代入（1）中解析式，解方程即可求解．
【解答】解：（1）如图，以拱顶为原点建立直角坐标系，

可设这条抛物线为，
结合题意，将点代入，得，
解得：，
；
（2）若水面下降3米，
即当时，有，
解得：，
此时水面宽度为（米，
水面下降3米，水面宽度增加米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用是解题的关键．
22．如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：．
（2）若，，求正方形的边长．

【分析】（1）想办法证明，根据证明三角形全等即可．
（2）设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得，，
，，，
，
点，点，点三点共线，
，，
，
，
，
．

（2）解：设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，或（舍弃），
正方形的边长为6．
【点评】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有，，，四个通道，车辆可任意选择一个通道通过，且通过每个通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有的汽车经过此收费站．
（1）求小李通过通道的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图，共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，由概率公式即可得到结论．
【解答】解：（1）小李通过通道的概率为；
（2）画树状图如图：

由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，
（小李和小赵经过相同通道）．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
24．如图，直线，，分别与相切于、、，且，，．求：
（1）的度数；
（2）的长；
（3）的半径．

【分析】（1）连接；根据切线长定理得：，，得到，，由得出，进而得出；
（2）根据勾股定理求得，根据切线长定理即可求解；
（3）根据等面积法，即可求解．
【解答】解：（1）连接；根据切线长定理得：，，

，；
，
，
，
；
（2）由（1）知，．
，，
由勾股定理得到：，
．
（3）与相切于点，
，
，即．
．
【点评】本题考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，掌握切线长定理是解题的关键．
25．如图，抛物线的图象与轴交于、两点，点为，．直线与抛物线交于、两点在左边），交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若，过点作于点，连接、，若此时，求点的横坐标；
（3）如图2，若，连接、，过原点作直线的垂线，垂足为，以为半径作．
求证：与直线相切．


【分析】（1）由题意可知，，，，代入解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）如图1，延长交直线于点，过点作轴于点，由直角三角形两锐角互余可得，所以，易证，所以，，得出点的坐标，进而可得直线的解析式为：，联立直线与抛物线的解析式即可得出结论；
（3）联立直线与抛物线得：，整理得，由根与系数的关系知：，因为，素以可设直线、的解析式分别为，，分别联立直线，与抛物线的解析式，可求得，，代入上述根与系数的关系式中得：，整理得，；设直线、与轴交点分别为，，所以，，由垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，平分，过点作，由角平分线的性质可知，，由此可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知，，，，
代入解析式中，得，，
解得，，
抛物线的解析式为：．
（2）如图1，延长交直线于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，
，
，，
直线的解析式为：，
令，解得．
点在点的左边，
点的横坐标为．
（3）联立直线与抛物线得：，
整理得，
由根与系数的关系知：，
，
可设直线、的解析式分别为，，
分别令，
整理可求得，，
代入上述根与系数的关系式中得：，
整理得，，
如图2，设直线、与轴交点分别为，，
，，
，
，即垂直平分，
，
平分，
过点作于点，
，
，
由切线的判定可知：与直线相切．

【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，直线与抛物线的交点问题，根与系数的关系及切线的定义等相关知识，根据题意作出正确的辅助线是解题关键．
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