2022-2023学年浙江省金华市东阳市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年浙江省金华市东阳市九年级（上）期末数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，用心填一填，细心答一答等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省金华市东阳市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）若，则的值为　　
A． B． C． D．
2．（3分）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是　　
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
3．（3分）抛物线与轴交点的坐标是　　
A． B． C． D．
4．（3分）如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是　　

A． B． C． D．
5．（3分）若把抛物线向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为　　

A． B．3 C． D．
7．（3分）如图，半径为5的圆中，弦、所对的圆心角分别是、，已知，，则弦的弦心距等于　　

A．3 B． C．4 D．
8．（3分）如图，在等腰三角形中，，点是的中点，若以为直径作圆，则下列判断正确的是　　

A．点一定在外 B．点一定在上
C．点一定在外 D．点一定在上
9．（3分）点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
10．（3分）如图①，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动一周．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图②所示．当恰好是的一条三等分线时，的值为　　

A．或5 B．或6 C．或5 D．或6
二、用心填一填（本题24分，每小题4分）
11．（4分）已知线段，，则、的比例中项为 　　．
12．（4分）二次函数的顶点坐标为　　．
13．（4分）已知扇形所在的圆半径为，面积为，则扇形圆心角的度数为　　．
14．（4分）如图，、分别与相切于点，，连结并延长与交于点、，若，，则的值为 　　．

15．（4分）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数的值为 　　．
16．（4分）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，把得到的两张纸片如图②摆放，纸片△较小锐角的顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点，．以点与重合，且为初始位置，把△沿着方向平移，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转，如图③，直到点与点重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含的代数式表示．
（1）在平移过程中，　　，
（2）在旋转过程中，　　．


三、细心答一答（本题共66分）
17．（6分）计算：
18．（6分）“石头、剪子、布“是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头““剪刀““布“3种手势中的1种，其中“石头“赢“剪子“，“剪子“赢“布“，“布“赢“石头“，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次出“石头“的概率为 　　．
（2）用画树状图或列表的方法，求乙赢的概率．
19．（6分）在学过平面镜成像知识后，小慧在房顶安装一平面镜如图所示，与墙面所成的角正，房高，房顶与水平地面平行，小慧坐在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处．
（1）求的度数．
（2）能看到的最远处到她的距离是多少？（结果精确到0．，参考数据：，，

20．（8分）如图，二次函数图象的顶点为，且与反比例函数的图象交于点
（1）求二次函数与反比例函数的解析式；
（2）判断原点是否在二次函数的图象上，并说明理由；
（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量的取值范围．

21．（8分）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．

22．（10分）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

23．（10分）在矩形中，点、分别在边、上，且，，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处，如图1．
（1）求证：；
（2）点为线段上一动点，过点作、，以、为邻边构造平行四边形，如图2．
①求平行四边形的周长．
②当点从点运动到点时，求出点的运动路径长．


24．（12分）如图1，已知抛物线交轴于、两点，与轴交于点，抛物经过点、，点是射线上一动点．
（1）求抛物线和直线的函数表达式．
（2）如图2，过点作上交抛物线第一象限部分于点，作交于点，求面积的最大值及此时点的坐标．
（3）抛物线与在第一象限内的图象记为“图象”，过点作轴交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的横坐标．




2022-2023学年浙江省金华市东阳市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）若，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】内项之积等于外项之积，依据比例的性质即可得出结论．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积是关键．
2．（3分）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是　　
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：、水落石出，是必然事件，不符合题意；
、水涨船高，是必然事件，不符合题意；
、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；
、水中捞月，是不可能事件，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）抛物线与轴交点的坐标是　　
A． B． C． D．
【分析】此题令，可确定抛物线与轴的交点坐标．
【解答】解：令，得，故抛物线与轴交于．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质．令，可确定抛物线与轴的交点坐标是解题关键．
4．（3分）如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到的度数，再根据三角形内角和可以求得的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到的度数．
方法二：根据是的直径，可以得到，再根据和三角形内角和，可以得到的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到的度数．
【解答】解：方法一：连接，如图所示，
，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
故选：．
方法二：是的直径，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
故选：．

【点评】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（3分）若把抛物线向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为　　
A． B． C． D．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律直接求得．
【解答】解：因为抛物线向右平移2个单位，得：，
故所得抛物线的表达式为．
故选：．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．（3分）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为　　

A． B．3 C． D．
【分析】由题意得，，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，，
，
，即，
解得：．
故选：．
【点评】本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
7．（3分）如图，半径为5的圆中，弦、所对的圆心角分别是、，已知，，则弦的弦心距等于　　

A．3 B． C．4 D．
【分析】作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，易得为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到．
【解答】解：作于，作直径，连接，如图，

，
而，
，
，
，
，
，
而，
为的中位线，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
8．（3分）如图，在等腰三角形中，，点是的中点，若以为直径作圆，则下列判断正确的是　　

A．点一定在外 B．点一定在上
C．点一定在外 D．点一定在上
【分析】如图，作于，于．则以为直径的经过点，．显然点在外．由此即可判断；
【解答】解：如图，作于，于．则以为直径的经过点，．显然点在外．

点的位置无法确定，可能在上，可能在内，可能在外．
故选：．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】根据列出关于的不等式即可解得答案．
【解答】解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．本题属于基础题，难度不大．
10．（3分）如图①，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动一周．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图②所示．当恰好是的一条三等分线时，的值为　　

A．或5 B．或6 C．或5 D．或6
【分析】根据图②可知，，再根据，是的三等分线，可以证明，求出的长，即可求出答案．
【解答】解：如图①，，是的三等分线，

根据图②可知，，
，，
，
，
，
同理，
，，
，
，
，
或（负值舍去），
，，
当恰好是的一条三等分线时，的值为或6．
故选：．
【点评】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
二、用心填一填（本题24分，每小题4分）
11．（4分）已知线段，，则、的比例中项为 　2　．
【分析】设线段是线段，的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【解答】解：设线段是线段，的比例中项，
，，
，
，
或（舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查比例线段，关键是根据比例中项的定义列出等式．
12．（4分）二次函数的顶点坐标为　　．
【分析】由二次函数的解析式可求得答案．
【解答】解：
，
抛物线顶点坐标为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
13．（4分）已知扇形所在的圆半径为，面积为，则扇形圆心角的度数为　　．
【分析】设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于的方程， 解方程即可求解 ．
【解答】解： 设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式得：，
解得．
故答案为：
【点评】本题考查了扇形的面积公式， 正确理解公式是关键 ．
14．（4分）如图，、分别与相切于点，，连结并延长与交于点、，若，，则的值为 　　．

【分析】连接、，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据圆周角定理得到，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：连接、，
与相切于点，
，
，
由圆周角定理得：，
、分别与相切于点、，
，，
，
，
，
故答案为：．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15．（4分）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数的值为 　1或　．
【分析】函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，，，②与、轴各一个交点，得出△，．
【解答】解：当时，，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，，，
②与、轴各一个交点，
△，，
，
解得（舍去）或，
综上所述：的值为1或．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．
16．（4分）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，把得到的两张纸片如图②摆放，纸片△较小锐角的顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点，．以点与重合，且为初始位置，把△沿着方向平移，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转，如图③，直到点与点重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含的代数式表示．
（1）在平移过程中，　　，
（2）在旋转过程中，　　．


【分析】（1）解△，求得，进而得出结果；
（2）先拜表示出的长，进而根据得出的长，进一步得出结果．
【解答】解：（1）在△中，，，
，
，
故答案为：；
（2）如图1，

当时，
作于，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
如图2，

当时，
方法同上得出，
，
故答案：．
【点评】本题考查了矩形性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
三、细心答一答（本题共66分）
17．（6分）计算：
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：原式

．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
18．（6分）“石头、剪子、布“是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头““剪刀““布“3种手势中的1种，其中“石头“赢“剪子“，“剪子“赢“布“，“布“赢“石头“，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次出“石头“的概率为 　　．
（2）用画树状图或列表的方法，求乙赢的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）甲每次做出“石头”手势的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图得：

共有9种等可能的情况数，其中乙赢的有3种，
则乙赢的概率是．
【点评】本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19．（6分）在学过平面镜成像知识后，小慧在房顶安装一平面镜如图所示，与墙面所成的角正，房高，房顶与水平地面平行，小慧坐在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处．
（1）求的度数．
（2）能看到的最远处到她的距离是多少？（结果精确到0．，参考数据：，，

【分析】（1）连接，过点作，根据题意可得，，，，从而利用平行线的性质求出，进而求出，即可得出答案；
（2）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接，过点作，
由题意得：
，，，，
，
，
；

（2）在中，（米，
答：能看到的水平地面上最远处到他的距离约为11.8米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（8分）如图，二次函数图象的顶点为，且与反比例函数的图象交于点
（1）求二次函数与反比例函数的解析式；
（2）判断原点是否在二次函数的图象上，并说明理由；
（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量的取值范围．

【分析】（1）设二次函数为，设反比例函数的解析式为，把点的坐标代入，关键待定系数法即可求得；
（2）把代入二次函数的解析式即可判断；
（3）由两函数的图象直接写出的取值范围即可．
【解答】解：（1）设二次函数为，
经过点
，
，
二次函数的解析式为，
设反比例函数的解析式为，
二次函数的图象与反比例函数的图象交于点
，
反比例函数的解析式为；
（2）把代入，得，
原点在二次函数的图象上；
（3）由图象可知，二次函数与反比例函数图象的交点为，
当或时二次函数的值小于反比例函数的值．
【点评】本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式和求二次函数的解析式，由图象特征确定自变量的取值范围．
21．（8分）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．

【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到为直角，再由为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证；
（2）由与平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似；由三角形为直角三角形，利用勾股定理求出的长，再由垂直平分，得到，相似三角形的性质，得比例，求出所求即可．
【解答】（1）证明：圆心在上，
是圆的直径，
，
连接，

平分，
，
，
，即，
，
，
为圆的半径，
是圆的切线；
（2），
，
，
，
，，
，
；
为直角三角形，
，
，
垂直平分，
，
为圆的直径，
，
在中，，即，
，
，
，
则．
法二，作，

在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
22．（10分）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得：，
故与的函数关系式为；
（2）设每天销售这种商品所获的利润为，
，


，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为700，
售价定为18元件时，每天最大利润为700元．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式．
23．（10分）在矩形中，点、分别在边、上，且，，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处，如图1．
（1）求证：；
（2）点为线段上一动点，过点作、，以、为邻边构造平行四边形，如图2．
①求平行四边形的周长．
②当点从点运动到点时，求出点的运动路径长．


【分析】（1）证明即可解决问题；
（2）①如图2中，连接，作于，则四边形是矩形．利用面积法证明，利用勾股定理求出即可解决问题；
②过点作交于，延长交于，延长交于，连接，如图3，可证得：，，，推出，如图4，同理可得：，进而得出：点的运动轨迹为平行于点的线段，，运用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：如图1中，

四边形是矩形，
，
，
由翻折可知：，
，
．
（2）解：①如图2中，连接，作于，则四边形是矩形，．

，，
，，
在中，，，，
，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形的周长．
②过点作交于，延长交于，延长交于，连接，如图3，

，，四边形是平行四边形，
，，，
由（1）知：，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，即，
，
，
如图4，同理可得：，

即：点的运动轨迹为平行于点的线段，为中边上的高的垂足，为中边上的高的垂足，
，
，
，
由①知：，，，
，
在中，，
则：，即：，
点的运动路径长为．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换的性质，平行四边形的性质，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的周长，点的运动轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．
24．（12分）如图1，已知抛物线交轴于、两点，与轴交于点，抛物经过点、，点是射线上一动点．
（1）求抛物线和直线的函数表达式．
（2）如图2，过点作上交抛物线第一象限部分于点，作交于点，求面积的最大值及此时点的坐标．
（3）抛物线与在第一象限内的图象记为“图象”，过点作轴交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的横坐标．



【分析】（1）由求出，，，再用待定系数法可得抛物线的函数表达式，直线解析式为；
（2）过作轴交于，由是等腰直角三角形，知面积最大时最大，此时最大，设，即得，由二次函数性质可得答案；
（3）由（2）知是等腰直角三角形，当与相似时，为等腰直角三角形，由，分两种情况：当时，此时与纵坐标相等，当时，设，，解方程即可解得答案．
【解答】解：（1）在中，令得或，令得，
，，，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式，
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
直线解析式为；
（2）过作轴交于，如图：

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
面积最大时最大，
轴，
，
是等腰直角三角形，
最大时，最大，即最大时，面积最大，
设，则，
，
当时，最大为，
，，此时，
面积的最大值为；
（3）存在点，使与相似，理由如下：
由（2）知是等腰直角三角形，当与相似时，为等腰直角三角形，
轴，
，
当时，如图：

此时与纵坐标相等，
在中，令得或，
，此时的横坐标为2，
在中，令得或（此时不在第一象限，舍去），
的横坐标为；
当时，如图：

设，则，
，
，，
△是等腰直角三角形，
，
解得（舍去）或或（此时不在第一象限，舍去），
的横坐标为1，
同理可得的横坐标为，
综上所述，的横坐标为2或或1或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．