2023贵州省高三下学期333高考备考诊断性联考（一）数学（文）含解析

2023届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）

文科数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，则表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由指数函数值域得，再根据交集的含义即可得到答案.

【详解】根据指数函数值域可知，

表示的集合为，

故选：C.

2 复数，则（    ）

A.  B.  C. 2 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数运算规则计算即可.

【详解】 ，

；

故选：C.

3. 某医疗公司引进新技术设备后，销售收入（包含医疗产品收入和其他收入）逐年翻一番，据统计该公司销售收入情况如图所示，则下列说法错误的是（    ）

A. 该地区2021年的销售收入是2019年的4倍

B. 该地区2021年的医疗产品收入比2019年和2020年的医疗产品收入总和还要多

C. 该地区2021年其他收入是2020年的其他收入的3倍

D. 该地区2021年的其他收入是2019年的其他收入的6倍

【答案】D

【解析】

【分析】设该地区2019年销售收入为，

则由销售收入（包含医疗产品收人和其他收入）逐年翻一番，

所以该地区2020年销售收入为，

该地区2021年销售收入为，

然后逐项分析即可.

【详解】设该地区2019年销售收入为，

则由销售收入（包含医疗产品收人和其他收入）逐年翻一番，

所以该地区2020年销售收入为，

该地区2021年销售收入为，

选项A：该地区2021年的销售收入是2019年的4倍，

故选项A正确；

选项B：由图可得该地区2021年的医疗产品收入为，

该地区2019年的医疗产品收入为，

该地区2020年的医疗产品收入为，

由，

故选项B正确；

选项C：该地区2021年的其他收入为，

2020年的其他收入为，

所以该地区2021年其他收入是2020年的其他收入的3倍，

故选项C正确；

选项D：该地区2021年的其他收入为，

2019年的其他收入为，

所以该地区2021年的其他收入是2019年的其他收入的12倍，

故选项D不正确.

故选：D.

4. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的最长侧棱与底面所成角的正切值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先还原几何体，并得到最长侧棱，根据线面角的定义，求线面角的正切值.

【详解】如下图，还原几何体，其中平面，底面为矩形，，，，侧棱，，,，所以最长的侧棱是,与底面所成的角是，

故选：C

5. 已知焦点在坐标轴上且中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为，若该双曲线过点，则它的方程为（    全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据渐近线设双曲线方程为，代入点坐标，计算得到答案.

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为，

该双曲线过点，则，故双曲线方程为，

故选：A

6. 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则实数m的值为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】画出不等式组所表示的平面区域,利用三角形面积公式，

选择同一条边为底，高为一半即可.

【详解】如图所示，不等式组所表示的平面区域为，

为的中点，

解得：、、、

，此直线过定点.

只要直线过点，

就可以将分成面积相等的两部分.

设直线的斜率为，

则，即，解得.

故选：A.

7. 已知直线与圆，则下列说法错误的是（    ）

A. 对，直线恒过一定点

B. ，使直线与圆相切

C. 对，直线与圆一定相交

D. 直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出直线过定点，则可判断A，求出圆心，，则，根据点在圆内，则直线与圆一定相交，故可判断B,C，对D选项，分析出时弦长最短，则，代入数据计算即可.

【详解】直线，即，

令，解得，即直线恒过定点，故A正确；

圆，即圆，圆心，半径，

则，即点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，故C正确，

当时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长，故D正确，

故选：B.

8. 以下关于的命题，正确的是（    ）

A. 函数在区间上单调递增

B. 直线是函数图象的一条对称轴

C. 点是函数图象的一个对称中心

D. 将函数图象向左平移个单位，可得到的图象

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数恒等变换化简为，计算出，根据正弦函数的单调性，可判断A;采用代入验证的方法可判断;根据三角函数的平移变换可得平移后的函数解析式，判断D.

【详解】由题意得，

当时，，由于函数在不单调，

故函数在区间上不是单调递增函数，A错误；

当时，，故直线不是函数图象的对称轴，B错误；

当时，，故点不是函数图象的对称中心，C错误；

将函数图象向左平移个单位，可得到的图象，D正确，

故选：D

9. 在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（    ）

A. 直角三角形 B. 等边三角形

C. 直角三角形或等腰三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.

【详解】由题知，，

所以，

所以，得，

所以，得，

所以的形状为直角三角形，

故选：A

10. 小明家订了一份牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：00之间把牛奶送到小明家，小明出门去上学的时间在早上6：50~7：10之间，则小明在离开家之前能得到牛奶的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，设送奶人到达时间为，小明出门去上学的时间为，则可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得结果.

【详解】设送奶人到达时间为，小明出门去上学的时间为，

记小明在离开家之前能得到牛奶为事件，

以横坐标表示送奶人到达时间，以纵坐标表示小明出门去上学的时间，

建立平面直角坐标系，小明在离开家之前能得到牛奶的事件构成的区域如图所示：

由于随机试验落在长方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.

根据题意，只要点落到阴影 部分，就表示小明在离开家之前能得到牛奶，即事件发生，所以，

故选：.

11. 已知符号函数，函数满足，当时，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】计算得到A错误，根据周期计算得到B错误，根据定义计算C正确，取，得到D不正确，得到答案.

【详解】对选项A：，错误；

对选项B：，函数周期为，，错误；

对选项C：，正确；

对选项D：取，，，不正确.

故选：C

12. 已知直线l与曲线相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若的面积为，则点P的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】设出切点坐标，利用导数求切线斜率，写出切线方程，求出点A，B的坐标，表示的面积函数，求面积函数与直线有几个交点.

【详解】设直线l与曲线相切于，又，

所以直线l的斜率为，方程为，

令，；令，,即，.

所以.

设，则.

由，解得或；由，解得.

所以在，上单调递增，在上单调递减.

，，，，且恒有成立，

如图，函数与直线有3个交点.

所以点P的个数为3.

故选：C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知向量，若，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示可求出结果.

【详解】因为，

所以，，

因为，所以，解得.

故答案为：.

14. 153与119的最大公约数为__________．

【答案】17

【解析】

【详解】因为，

所以153与119的最大公约数为17.

答案：17

15. 若，则a的值为___________．

【答案】1

【解析】

【分析】利用对数的运算性质分别对分子分母化简即可得到结果.

【详解】原式

.

故答案为：1

16. 如图，已知正方体的棱长为2，M，N，P分别为棱的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意找出点Q的轨迹围成图形为正六边形即可求解.

【详解】如图，

取的中点分别为，

则点Q的轨迹围成图形为正六边形，

且边长为面对角线的一半，即，

所以点Q的轨迹围成图形的面积为，

故答案为:.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图），解决下列问题．

（1）求m，n，x，y的值；

（2）求中位数；

（3）用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动，求抽到的2人均来自第四组的概率．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布表可求得，根据频率分布直方图中的含义即可求得其值；

（2）根据频率分布直方图，利用中位数的估计方法，可计算得答案；

（3）用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，确定每组中的人数，列举从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动的所有基本事件，列举出抽到的2人均来自第四组的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意可知,第四组的人数为，

故，； 

又内的频率为 ，∴；

∵内的频率为 ，∴.

【小问2详解】

由频率分布直方图可知第一、二组频率之和为，

前三组频率之和为，

故中位数为：.

【小问3详解】

由题意可知，第4组共有16人，第5组共有4人，

用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人,则第四、第五组抽取人数为4人和1人，

设第4组的4人分别为 ，第5组的1人分别为A,

则从中任取2人，所有基本事件为：

共10个，

又抽到的2人均来自第四组的基本事件有∶共6个，

故抽到的2人均来自第四组的的概率为.

18. 已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．

【答案】（1）（）   

（2）5

【解析】

【分析】（1）根据等比数列的性质结合条件是与的等比中项得到，联立条件得到和，根据题目条件和等比数列的通项公式即可求解.

（2）根据（1）求得，利用错位相减求和得到，从而得到，通过函数法判断出是单调递减数列，即可求解.

【小问1详解】

因为是与的等比中项，所以，

则由题意得：，即，解得：或，

因为数列是递增的等比数列，所以，即，，

所以，

故数列的通项公式为（）.

【小问2详解】

由（1）得：（），

则

，①

即，②

则得：

即（），

所以（），

设，则（），

因为在上单调递减，

所以是单调递减数列，

又有，，

所以当且时，成立，

故使成立的最大正整数的值为.

19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的大小为，求点D到的距离．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直及面面垂直的判定定理可得结果；

（2）根据等体积法即可求得点到平面的距离.

【小问1详解】

在中, ，

，∴，

∵平面,平面，∴.

又∵,平面，∴平面，

又，∴平面，

又平面，所以平面平面

【小问2详解】

由（1）知平面，，，

∴为二面角的平面角，∴.

在中, ，

所以，，

设点D到的距离,

由，有，

即，解得.

即点D到的距离为

20. 已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）详见解析

【解析】

【分析】（1）根据条件得到关于方程组，即可求得椭圆方程；

（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点坐标，再根据,以及，转化为坐标表示，代入韦达定理后，即可求

【小问1详解】

由条件可知，，解得：，，

所以椭圆C的方程是；

【小问2详解】

假设在轴上存在点，使且，

联立，设，，

方程整理为，

，解得：或，

，，

则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标，

即中点坐标，，

则，即，化简为，①

又,

则，，

整理为，

，

化简为②

由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.

当时，，当时，，满足，

所以存在定点,此时直线方程是，当定点,此时直线方程是.

21. 已经函数．

（1）求函数的单调性；

（2）若，求当时，a的取值范围．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）根据两种情况讨论.

(2)求出，首先证明

只需要求即可.

【小问1详解】

(1)时，，所以在单调递增.

(2)时，

时，时

所以在单调递减，在单调递增.

综上：时单调递增

时在单调递减，在单调递增

【小问2详解】

，要求，即求

设，则，当，

所以在上单调递增，在单调递减，所以即

设，，

，所以在单调递减，在单调递增

，故当且仅当时成立.所以当且仅当即当且仅当时等号成立，，又因为

所以，所以.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂題题目的题号一致，在答题卡选答区城指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线和曲线的直角坐标方程；

（2）从原点引一条射线分别交曲线和直线于两点，求的最大值．

【答案】（1）直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.   

（2）

【解析】

【分析】（1）消去参数可得曲线的直角坐标方程；利用两角和的余弦公式和，可得直线的直角坐标方程；

（2）设射线方程为（），将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，并将代入可得，将代入可得，再利用辅助角公式可求出的最大值.

【小问1详解】

由，得，

即,

所以曲线的直角坐标方程为：.

由，得，

得，即，

将，代入得，

所以直线直角坐标方程为：.

综上所述：直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.

【小问2详解】

设射线方程为（），

将，代入，得，

得，

将代入，得，得，

由，得，

将代入，得()，，得，

所以

（其中，，），

因为，所以，

又，所以，

所以当时，即，即（其中，，）时，取得最大值.

23. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设且的最小值为m，若，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分段讨论求解，

（2）由绝对值三角不等式求最小值，再由基本不等式求解，

【小问1详解】

当时，，

故即或或，

解得，即原不等式解集为

【小问2详解】

由题意得，

即，，即，

而，当且仅当即时等号成立，

故的最小值为