【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——04 幂函数与二次函数 （原卷版 解析版）

重难点04  幂函数与二次函数

1.幂函数的图象与性质特征的关系

(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.　

2.求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

3.二次函数单调性问题的求解策略

(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．

(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．　

4.二次函数最值问题的类型及求解策略

(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．

(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．　

以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．设函数集合

则为

A． B．（0，1） C．（-1，1） D．

2．关于函数，以下表达错误的选项是（    ）

A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线

C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点

3．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（    ）

A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0

C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0

4．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ）

A． B． C． D．

5．函数的最大值是：（    ）

A． B． C． D．

6．函数是单调函数的充要条件是（    ）

A． B． C． D．

7．如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ）

A． B．

C． D．

8．若a>b，则

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

9．已知，，，则（      ）

A． B． C． D．

10．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

11．函数的最小值为（    ）

A．2 B．0 C． D．6

12．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为

A．16 B．18 C．25 D．

二、填空题

13．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

14．若函数，的图象关于直线对称，则______.

15．已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．

16．若，则满足的取值范围是_____.

三、解答题

17．设为实数，函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）讨论的单调性；

18．已知，函数.

(1)当时，求使成立的的集合；

(2)求函数在区间上的最小值.