习题课（二） 随机变量及其分布

这是一份习题课（二） 随机变量及其分布，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知事件A发生时，事件B一定发生，P(A)＝eq \f(1,3)P(B)，则P(A|B)等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
解析：选C 因为P(AB)＝P(A)＝eq \f(1,3)P(B)，
所以P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(1,3).
2．甲击中目标的概率是eq \f(1,2)，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为( )
A．0.5分 B．－0.5分
C．1分 D．5分
解析：选B E(X)＝10×eq \f(1,2)＋(－11)×eq \f(1,2)＝－0.5.
3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下：
则数学期望E(ξ)等于( )
A．1 B．0.6
C．2＋3m D．2.4
解析：选D 由题意得m＝1－0.5－0.2＝0.3，
所以E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
4．已知随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,2)))，则D(2X＋1)等于( )
A．6 B．4
C．3 D．9
解析：选A 因为D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(3,2)，所以D(2X＋1)＝4×eq \f(3,2)＝6.
5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )
A.eq \f(11,27) B.eq \f(11,24)
C.eq \f(8,27) D.eq \f(9,24)
解析：选C 设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.
由题意，P(A)＝eq \f(4,2＋4)＝eq \f(2,3)，P(B|A)＝eq \f(3＋1,8＋1)＝eq \f(4,9)，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(2,3)×eq \f(4,9)＝eq \f(8,27)，
所以两次都取到红球的概率为eq \f(8,27).
6．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝
(例如：若a1＝a3＝a5＝1，a2＝a4＝0，则A＝10 101)，其中二进制数A的各位数中，已知a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为eq \f(1,3)，出现1的概率为eq \f(2,3)，记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，现在仪器启动一次，则E(X)＝( )
A.eq \f(8,3) B.eq \f(11,3)
C.eq \f(8,9) D.eq \f(11,9)
解析：选B 法一：X的所有可能取值为1,2,3,4,5，
P(X＝1)＝Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0＝eq \f(1,81)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))1＝eq \f(8,81)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(8,27)，
P(X＝4)＝Ceq \\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(32,81)，
P(X＝5)＝Ceq \\al(0,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4＝eq \f(16,81)，
所以E(X)＝1×eq \f(1,81)＋2×eq \f(8,81)＋3×eq \f(8,27)＋4×eq \f(32,81)＋5×eq \f(16,81)＝eq \f(11,3).
法二：由题意，X的所有可能取值为1,2,3,4,5，
设Y＝X－1，则Y的所有可能取值为0,1,2,3,4，
因此Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，所以E(Y)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，
从而E(X)＝E(Y＋1)＝E(Y)＋1＝eq \f(8,3)＋1＝eq \f(11,3).
二、填空题
7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.
解析：P(A)＝eq \f(C\\al(2,3)＋C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，P(AB)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，由条件概率公式，得P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
8．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X<10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X>30)等于________．
解析：根据随机变量的概率分布的性质，
可知P(X<10)＋P(10≤X≤30)＋P(X>30)＝1，
故P(X>30)＝1－0.3－0.4＝0.3.
答案：0.3
9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．
解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，
每粒种子发芽与否相互独立，
故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000,0.1)，
∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的种子数X的期望为2E(ξ)＝200.
答案： 200
三、解答题
10．某一射手射击所得环数X的分布列如下：
(1)求m的值；
(2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．
解：(1)由分布列的性质得m＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28.
(2)P(射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
11．随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60, 70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．
(1)求样本容量及x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望．
解：(1)由题意，得分数在[50,60)内的频数为2，
频率为0.008×10＝0.08，
所以样本容量n＝eq \f(2,0.08)＝25，
x＝25－(2＋7＋10＋2)＝4.
(2)成绩不低于80分的人数为4＋2＝6，成绩不低于90分的人数为2，
所以ξ的所有可能取值为0,1,2，
因为P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,6))＝eq \f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,2),C\\al(2,6))＝eq \f(8,15)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,6))＝eq \f(1,15)，
所以ξ的分布列为
所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq \f(2,5)＋1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(2,3).
12．经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A，B，C商品的概率分别为eq \f(2,3)，p1，p2(p1(1)求该网民分别购买B，C两种商品的概率；
(2)用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X的分布列和数学期望．
解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为eq \f(23,24)，
所以一种都不买的概率为1－eq \f(23,24)＝eq \f(1,24)，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))(1－p1)(1－p2)＝eq \f(1,24).①
又因为最多购买两种商品的概率为eq \f(3,4)，
所以三种都买的概率为1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，
即eq \f(2,3)p1p2＝eq \f(1,4).②
联立①②，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p1＝\f(1,2)，,p2＝\f(3,4)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p1＝\f(3,4)，,p2＝\f(1,2).))
因为p1(2)用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X的所有可能取值为0,5,10,15.则P(X＝0)＝eq \f(1,24)，
P(X＝5)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，
P(X＝10)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(3,4)＝eq \f(11,24)，
P(X＝15)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
所以X的分布列为
则E(X)＝0×eq \f(1,24)＋5×eq \f(1,4)＋10×eq \f(11,24)＋15×eq \f(1,4)＝eq \f(115,12).ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2
a1
a2
a3
a4
a5
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
m
0.29
0.22
ξ
0
1
2
P
eq \f(2,5)
eq \f(8,15)
eq \f(1,15)
X
0
5
10
15
P
eq \f(1,24)
eq \f(1,4)
eq \f(11,24)
eq \f(1,4)