宿迁市宿城区钟吾初级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份宿迁市宿城区钟吾初级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宿迁市宿城区钟吾初级中学2022-2023学年九年级上学期期末
数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上）
1. 下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则等于（ ）
A. 1 B. 2.5 C. 7.5 D. 10
3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向上 B. 对称轴是x=-3
C. 当x>-4 时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为(-2，-3)
4. 如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ）．

A B. C. D.
5. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24°，则∠ABD=（ ）

A. 54° B. 56° C. 64° D. 66°
6. 已知关于x的一元二次方程（k-2）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A. B. 且 C. 且 D.
7. 直角三角形中，，三个正方形如图放置，边长分别为，，，已知，，则的值为（ ）

A 4 B. C. 5 D. 6
8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2；其中正确的结论有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9. 用半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________．
10. 小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______．
11. 如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分为的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为______．

12. 如图，在中，弦于E点，C在圆上，，则的半径_____．

13. 如图，点是线段的黄金分割点，，和均是等边三角形．若表示的面积，表示的面积，则与的大小关系为______．

14. 若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为______．
15. 若函数，当时最大值是，最小值是，则____．
16. 如图，在矩形中，点为上一点，且，，，点为边上一动点，连接、，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数为______．

17. 如图，在中，，，，是的中线，过点C作于点，图中阴影部分的面积为______．

18. 如图，在中，，，，以为圆心、3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）
（2）
20. 二次函数，，是常数，且的自变量和函数的部分对应值如表所示．



0
1


5
4
5



（1）根据以上信息可知，　　．
（2）求此二次函数的解析式．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上的一点，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AC=4，BC=3，DE=2，求AD的长．

22. 如图是两个圆形转盘，第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域，第二个转盘被平均分成“1”“2”“3”“4”四个区域．

（1）旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域概率是___________；
（2）同时旋转两个转盘，用画树状图或列表的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
23. 为了解某校九年级学生的物理实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分（满分10分）．根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．

（1）这40个样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______；
（2）扇形统计图中m的值为______；
（3）若该校九年级共有400名学生，估计该校九年级物理实验操作得满分的学生有多少人．
24. 如图，在的方格纸中，点A，B，C均为格点，请按要求在方格纸内作图．

（1）在图1中作出与相似的格点；
（2）在图2中作出与相等的，点F为格点且不与点C重合．
25. 数学兴趣小组几名同学到商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．
（1）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
（2）若每天盈利W元，请利用配方法直接写出每箱售价为多少元时，每天盈利最多．
26. 如图，在Rt中，，以斜边上一点为圆心，为半径作，交于点，交于点，且．

（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，若，求的值．
27. 如图，在中，已知，，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点A，EF与交于点．

（1）求证：；
（2）当点运动到边的中点时，求的长；
（3）探究：在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出的长；若不能，请说明理由．
28. 定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．

（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“和谐四边形”的是______．
（2）如图2，平分，，，四边形是被分割成的“和谐四边形”，求长；
（3）如图3，A为抛物线的顶点，抛物线与轴交于点B，C．在线段上有一个点，在射线上有一个点Q．P、Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从出发分别沿BA，BC方向运动，设运动时间为，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点，使得四边形是以为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上）
1. 下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知相关定义是解题的关键．
2. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则等于（ ）
A. 1 B. 2.5 C. 7.5 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例线段的定义得到，然后把代入进行计算即可．
【详解】解：∵线段是成比例线段，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段的定义：若四条线段有，那么就说这四条线段成比例．
3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向上 B. 对称轴是x=-3
C. 当x>-4 时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为(-2，-3)
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的性质由a=-2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y 随 x的增大而减小．
【详解】解：二次函数y=-2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y随x的增大而减小，
故B正确，A、C、D不正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
4. 如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案．
【详解】解：∵∠A是公共角，
若，可根据两个角对应相等证明∽，故A选项不符合题意；
若，可根据两个角对应相等证明∽，故B选项不符合题意；
若，则不能判定∽，故C选项符号题意；
若，则可依据两边成比例夹角相等判定∽，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题的关键．
5. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24°，则∠ABD=（ ）

A. 54° B. 56° C. 64° D. 66°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=24°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=∠BCD=24°，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-24°=66°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6. 已知关于x的一元二次方程（k-2）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A. B. 且 C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于x的一元二次方程（k-2）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再求得k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程（k-2）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4+4（k-2）＞0，
解得k＞-1，
∵k-2≠0，
∴k≠2，
∴k的取值范围k＞-1且k≠2，
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7. 直角三角形中，，三个正方形如图放置，边长分别为，，，已知，，则值为（ ）

A. 4 B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据△CEF∽△OME∽△PFN，得，代入即可．
【详解】解：如图，先标注顶点，直角三角形ABC中，∠C=90°，放置边长分别为a，b，c的正方形，且a=2，b=3，




∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴，
∵MO=2，PN=3，EF=c，
∴OE=c-2，PF=C-3，
∴，
解得：c=5或0，经检验0不符合题意舍去，
∴c=5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法等知识，证明△OME∽△PFN是解题的关键．
8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2；其中正确的结论有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由时可判断③，由时函数取最大值可判断④，由与直线及直线的交点横坐标为方程的解及抛物线的对称轴为直线可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴，
∴，①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，
∴，②错误；
∵时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，③正确．
∵时，为函数最大值，
∴，
∴，
∵，
∴，④正确；
方程的四个根分别为和的根，
∵抛物线关于直线对称，
∴抛物线与直线的交点的横坐标为之和为2，
抛物线与直线的交点横坐标为之和为2，
∴方程的四个根的和为4，⑤错误．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9. 用半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，
则，
解得：，
故圆锥的底面半径为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握和弧长公式，难度不大．
10. 小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______．
【答案】
【解析】
【分析】根据方差公式，确定这组数据中的每个数据，再求这组数据的平均数即可．
【详解】解：根据方差公式可知，这组数据分别是：1，2，3，4；
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方差公式的理解和求平均数，解题关键是明确方差公式的意义，确定每个数据，准确进行计算求平均数．
11. 如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分为的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为______．

【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，最后利用概率公式计算即可．
【详解】，，，
，
是直角三角形，
如图，设内切圆的半径为，
则，即，
∴，
解得：，
则的面积为，内切圆的面积为，
因此，小鸟落在花圃上的概率为
故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键．
12. 如图，在中，弦于E点，C在圆上，，则的半径_____．

【答案】
【解析】
【分析】设圆的半径为，利用垂径定理可得，然后利用勾股定理列方程进行求解即可．
【详解】解：设圆的半径为，
∵弦于E点，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
13. 如图，点是线段的黄金分割点，，和均是等边三角形．若表示的面积，表示的面积，则与的大小关系为______．

【答案】##
【解析】
【分析】过P作于E，过Q作于F，根据黄金分割定义可得，再根据等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过P作于E，过Q作于F，

∵点是线段的黄金分割点，，
∴，
∵和均等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案：．
【点睛】本题考查黄金分割、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握黄金分割的定义是解答的关键．
14. 若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝4，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15. 若函数，当时的最大值是，最小值是，则____．
【答案】9
【解析】
【分析】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出M-m的值．
【详解】解：原式可化为y=（x-3）2-4，
可知函数顶点坐标为（3，-4），
当y=0时，x2-6x+5=0，
即（x-1）（x-5）=0，
解得x1=1，x2=5．
如图：m=-4，
当x=6时，y=36-36+5=5，即M=5．
则M-m=5-（-4）=9．

故答案为9．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，找到x的取值范围，画出函数图象，根据图象找到m的值和M的值．
16. 如图，在矩形中，点为上一点，且，，，点为边上一动点，连接、，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数为______．

【答案】3
【解析】
【分析】设，则，分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设，则，
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意分情况讨论思想的灵活运用是解题的关键．
17. 如图，在中，，，，是的中线，过点C作于点，图中阴影部分的面积为______．

【答案】####
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，由三角形中线的性质得出，，从而求出的长，再运用勾股定理求出的长，得的长，进一步可求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：在中，，，，
∴
又，
∵是的中线，
∴，，
∴，
∴，
在中，，BC＝3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及中线与三角形面积的关系，求出是解答本题的关键．
18. 如图，在中，，，，以为圆心、3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】如图，在上截取，使得，连接，，．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】如图，在上截取，使得，连接，，．
∵，，，
∴，
∴，
∵，

∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，
∵，，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形三边关系的应用，利用相似三角形的性质得到是解题的关键．
三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）x1=0，x2=3
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴x1=0，x2=3；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法和因式分解法，解决本题的关键是掌握配方法和因式分解法解方程．
20. 二次函数，，是常数，且的自变量和函数的部分对应值如表所示．



0
1


5
4
5



（1）根据以上信息可知，　　．
（2）求此二次函数的解析式．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）根据表格中对应值可知抛物线与轴的交点，即可求得的值；
（2）根据表格中对应值可知对称轴的值，即可得到顶点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
【小问1详解】
根据图表可知：
二次函数的图象过点，
，
故答案为：5；
【小问2详解】
二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，
顶点为，
设，
将代入得，
，
这个二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上的一点，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AC=4，BC=3，DE=2，求AD的长．

【答案】（1）见解析；（2）AD＝
【解析】
【分析】（1）由∠AED＝∠C＝90°及∠A＝∠A从而求证△ABC∽△ADE；
（2）由△ABC∽△ADE，可知，代入条件求解即可．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∵△ABC∽△ADE，
∴ ，
∴AD＝．
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，即可求解．
22. 如图是两个圆形转盘，第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域，第二个转盘被平均分成“1”“2”“3”“4”四个区域．

（1）旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是___________；
（2）同时旋转两个转盘，用画树状图或列表的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
【答案】（1）；
（2）两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
【解析】
【分析】（1）直接根据概率概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两个转盘的指针都不落在“1”区域的情况数，再根据概率公式，即可得出答案．
【小问1详解】
解：旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域概率是．
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意画图如下：

共有8种等可能的情况数，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3种，
则两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
23. 为了解某校九年级学生的物理实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分（满分10分）．根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．

（1）这40个样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______；
（2）扇形统计图中m的值为______；
（3）若该校九年级共有400名学生，估计该校九年级物理实验操作得满分的学生有多少人．
【答案】（1）8.3分，9分，8分
（2）30 （3）实验操作得满分的学生有70人
【解析】
【分析】解：（1）根据加权平均数可得分，根据重复次数最多的数据可得众数是9分，利用中位数定义找出从小到大排序后第20与第21两数都是8分求其平均数即可，
（2）用1减去6、7、8、10分所占的扇形统计图中的百分比得m；
（3）用九年级总人数乘以满分的人数所占的份数计算即可得解．
【小问1详解】
解：这40个样本数据平均数是分
由条形图可知：重复次数最多的数据是9分12次，所以众数是9分，
，数据从小到大排序后第20和21两个数据都在分数8这组，所以中位数在从小到大排列第20和第21的平均值为 8分，
故答案为：8.3；9；8；
【小问2详解】
，
故m的值为：30；
【小问3详解】
（3）40名同学中，满分占比为7÷40＝17.5%，
因此九年级全体同学物理实验操作得满分的学生为：17.5%×400＝70（人）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24. 如图，在的方格纸中，点A，B，C均为格点，请按要求在方格纸内作图．

（1）在图1中作出与相似的格点；
（2）在图2中作出与相等的，点F为格点且不与点C重合．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用相似三角形的判定画出三角形即可（答案不唯一）；
（2）利用圆周角定理解决问题即可．
【小问1详解】
解：如图1中，即为所求；

由图可得：，，，，，，
，
．
【小问2详解】
解：如图2中，作的外接圆，取外接圆上的格点F，连接、，则即为所求．

【点睛】本题考查作图﹣相似变换，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25. 数学兴趣小组几名同学到商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．
（1）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
（2）若每天盈利为W元，请利用配方法直接写出每箱售价为多少元时，每天盈利最多．
【答案】（1）当每箱牛奶售价为50元时，平均每天的利润为900元．（2）60元.
【解析】
【分析】（1）根据平均每天销售这种牛奶的利润＝每箱的利润×销售量，设每箱售价为x元，根据“每天盈利900元”列出方程（x-40）[30+3（70-x）]=900 求解即可；
（2）根据平均每天销售这种牛奶的利润等于每箱的利润×销售量得到W=（x-40）[30+3（70-x）]，整理后根据二次函数的性质求解.
【详解】（1）解：设每箱售价为x元，根据题意得：
（x-40）[30+3（70-x）]=900
化简得： -120x+3500=0
解得：x1=50或x2=70（不合题意，舍去）
∴x=50
答：当每箱牛奶售价为50元时，平均每天的利润为900元．
（2）由题意得W=（x-40）[30+3（70-x）]
＝-3+360x-9600

∴当售价为每箱牛奶60元时，每天盈利最多．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：先把二次函数关系式变形成顶点式：y=a（x-k）2+h，当a＜0，x=k时，y有最大值h；当a＞0，x=k时，y有最小值h．也考查了利润的含义．
26. 如图，在Rt中，，以斜边上一点为圆心，为半径作，交于点，交于点，且．

（1）求证：是切线；
（2）连接交于点，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证得即可确定是切线；
（2）根据，分别得到和，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，

，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
即，
为的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵在和中，
，
，
∴，
∴
【点睛】本题考查了切线的性质及判断，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或根据切线得到垂直．
27. 如图，在中，已知，，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点A，EF与交于点．

（1）求证：；
（2）当点运动到边的中点时，求的长；
（3）探究：在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由，根据等边对等角，可得，由，可得，进而可得，即可证得结论；
（2）先证明，利用相似三角形性质求解即可；
（3）根据是等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵点是边的中点，，，
∴，，
∴，
∵
∴，即：，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，且，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，点与点重合，即，此时重叠部分图形不能构成三角形；
综上所述，或．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理应用、等腰三角形性质等．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想的应用是解此题的关键．
28. 定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．

（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“和谐四边形”的是______．
（2）如图2，平分，，，四边形是被分割成的“和谐四边形”，求长；
（3）如图3，A为抛物线的顶点，抛物线与轴交于点B，C．在线段上有一个点，在射线上有一个点Q．P、Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从出发分别沿BA，BC方向运动，设运动时间为，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点，使得四边形是以为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）四边形；
（2）或；
（3），，，．
【解析】
【分析】（1）通过证明，可知四边形是“和谐四边形”，而，知与不相似，可知四边形不是“和谐四边形”；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求的长度；
（3）分为四种情况讨论相似的情况，用含有t的式子表示M的坐标，代入到解析式中求解即可．
【小问1详解】
解：∵由题意：，
由勾股定理得：，，
,，
∴，
∴，
∴四边形ABCE是“和谐四边形”，
∵，
∴与不相似，
∴四边形不是“和谐四边形”，
故答案为：四边形；
【小问2详解】
∵四边形为被BD分割的和谐四边形，
∴与相似，
若
则，
∴，
若，
则，
∴，
综上所述：或；
【小问3详解】
存在，四边形是以为和谐线的和谐四边形的时间t的值为：，，，；
理由如下：∵P，Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度，
∴设运动时间为t，
∴，
∵点，点，
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵四边形是以为和谐线的和谐四边形．
∴与相似，
∴是直角三角形．

①若时，且与是对应边，作，作．
如图3

∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，且点M在抛物线上，
∴，
∴，
②若时，且与是对应边，作，作．
如图4

∴，
即，
∴，
∵，
∴且；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，且点M在抛物线上，
∴，
∴．
③若，与是对应边，过点P作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴四边形是平行四边形，且，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴且点M在抛物线上，
∴，
∴．
④若，与是对应边，过点M作，过点P作，延长交于F，过点Q作于F．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，且点M在抛物线上，
∴，
∴．

综上所述：使得四边形是以PQ为和谐线的和谐四边形的时间t的值为：，，，．
【点睛】本题是新定义型试题，考查二次函数的综合题，相似三角形的性质和判定，利用数形思想和分类思想解决问题是本题的关键．