专题05 垂美四边形（解析版）

这是一份专题05 垂美四边形（解析版），共28页。





















垂美四边形






模型讲解



【结论】 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB2+CD2＝AD2+BC2



【证明】
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2






方法点拨
一、解决方法：
①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；
②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形

。

例题演练


1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　 　．

【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．

强化训练



1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 　1　．

【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝，
∴AP＝AD﹣PD＝，
∴PE＝＝＝2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH＝EP＝1；
方法二：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝＝，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴CG＝FH＝，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴＝，
∴CF2＝OF•DF，
∴OF＝＝＝，
∴OH＝，OD＝，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DCF，
∴，
∴OC2＝OF•OD，
∴OC＝＝，
∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，
∴HG＝＝＝1，
故答案为：1．

2．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）

A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【解答】解：连接DE，如图，
设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴＝＝＝，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，x2+4y2＝b2，②
在Rt△BFD中，4x2+y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），
∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，
即a2+b2＝5c2．
故选：A．

3．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）如图1中，

∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．

（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．

4．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝2，则S△ABC＝　　．

【解答】解：（1）证明：如图1中，

∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①方法一：连接PC、AQ交于点D，如图2，

∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ（SAS），
∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，
∴PC⊥AQ，
利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5）2+（4）2＝32+PQ2；
∴PQ＝．
②连接PC、AQ交于点D，如图3，

同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，
∵M、N分别是AC、AP中点，
∴MN＝PC，
∵MN＝2，
∴AQ＝PC＝4．
延长QB作AE⊥QE，
则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，
∵EQ＝4+BE，
∴（4+BE）2﹣BE2＝23，
解得BE＝，
∴S△ABC＝×BC×BE＝＝．
方法二：

连接PC，AQ，PQ，延长PB使BH＝AB，
由①得，△BPC≌△BAQ，
∴PC＝AQ＝2MN＝4，PC⊥AQ，
∴∠PBM＝∠QBC＝90°，
∴∠PBQ+∠ABC＝180°，
即∠QBH＝∠CBA，
∵BQ＝BC，AB＝PB＝BH，
∴△BQH≌△BCA（SAS），
∴S△ABC＝S△PBQ＝S△QBH，
∴S△ABC＝
＝
＝．
故答案为：．
5．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 　菱形和正方形　；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．

【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，设AB，CE交于点M，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，CG＝AC＝3，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，
∴GE＝2，
∴OH＝GE＝．
6．两个矩形，小矩形绕着公共点C任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE2+DK2的值．

【解答】解：∵∠BCD＝∠KCE＝90°，
∴∠BCK＝∠DCE，
又∵＝，＝，
∴＝，
∴△BCK∽△DCE，
∴∠CBK＝∠CDE，
∵∠CBK+∠KBD+∠BDC＝90°，
∴∠CDE+∠KBD+∠BDC＝90°，
∴∠DOB＝90°，
∴OK2+DO2＝DK2，BO2+OE2＝BE2，
∴BE2+DK2＝OK2+EO2+DO2+BO2＝BD2+KE2＝AB2+AD2+KF2+KE2＝36+64+36+20.25＝156.25．
8．我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，对角线AC与BD交于O点，BD与EC交于点F，AC与ED交于点G．
（1）求证：四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由；
（3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，则CD的长为 　　．

【解答】（1）证明：∵∠BEC＝∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠CED＝∠CED+∠AED，
即∠BED＝∠CEA，
∵BE＝EC，AE＝ED，
∴△BED≌△CEA（SAS），
∴∠BDE＝∠CAE，
∵∠AGE＝∠DGO，
∴∠AOD＝∠AEG＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是垂美四边形；
（2）解：猜想：AB2+CD2＝AD2+BC2；理由如下：
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）∵△BCE和△AED是等腰直角三角形，且BE＝3，AE＝4，
∴BC＝3，AD＝4，
∵AD2+BC2＝AB2+CD2，
∴（4）2+（3）2＝62+CD2，
∴CD＝．
故答案为：．
7．阅读材料：我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．如图1，D、E分别是BC、AC的中点，则DE∥AB，DE＝AB．
（1）如图1，D、E分别是BC、AC的中点，若AB＝10，则DE＝　5　；
（2）如图2，AD，BE是△ABC的中线，AD⊥BE，垂足为F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝5c2．
（3）如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、CD、AF的中点，BE⊥EG，且BE过点H，已知BC＝6，AB＝4，求AF的长．

【解答】解：（1）如图1中，

∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE＝AB＝5，
故答案为5．

（2）如图2中，

∵AD，BE是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴AE＝b，BD＝a，ED＝c，∠EFD＝∠DFB＝∠BFA＝∠AFE＝90°
∴AF2+EF2＝AE2，BF2+FD2＝BD2，
两式相加得c2+（c）2＝（b）2+（a）2，

∴a2+b2＝5c2．

（3）如图3中，连接AC，取AB的中点K，连接FK．

∵AE＝DE，DG＝CG，AK＝BK，BF＝CF，
∴AC∥EG，KF∥AC，
∴KF∥EG，
∵BE⊥EG，
∴KF⊥BH，
∵BE过点H，易证AH＝HF，利用（2）的结论可得：AB2+AF2＝5BF2，
∴42+AF2＝5×32，
∴AF＝．
8．由课本62页练习可知，三角形三条中线交于一点，并且该交点把每条中线分成1：2两部分．如图1：△ABC三边中线AD，BE，CF交于O点，OA＝2OD，OB＝2OE，OC＝2OF．
阅读：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图2图3图4中，AD，BE是△ABC的中线，AD⊥BE垂足为O，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

特探索：（1）图2，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　2　，b＝　2　．
如图3，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　2　，b＝　2　，
归纳证明：（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图4证明你发现的关系式．
拓展应用：如图5，▱ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的长．

【解答】解：（1）如图1，∵AD⊥BE，∠ABE＝45°，

∴AO＝BO＝AB＝2，
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴ED∥AB，ED＝AB＝，
∴∠ODE＝∠OED＝45°，
∴OE＝OD＝1，
在Rt△DOB和Rt△OEA中，
AE＝BD＝，
∴AC＝BC＝2，
∴a＝b＝2，
如图2，连接ED，

同理可得：ED＝×4＝2，
∵ED∥AB，
∴△OED∽△OBA，
∴，
在Rt△ABO中，
AB＝4，∠ABO＝30°，
∴AO＝2，OB＝2，
∴OD＝1，OE＝，
在Rt△AOE和Rt△BOD中，
AE＝，BD＝，
∴a＝2，b＝2，
故答案为：2，2，2，2；

（2）猜想：a2+b2＝5c2．
证明：如图3，设OE＝m，OD＝n，那么OB＝2m，OA＝2n．

根据勾股定理得：∵AE2＝OE2+OA2＝m2+（2n）2＝m2+4n2
∴AC2＝（2AE）2＝4AE2＝4（m2+4n2）＝4m2+16n2＝b2
同理BC2＝（2BD2）＝4BD2＝4（n2+4m2）＝4n2+16m2＝a2
∴a2+b2＝（4n2+16m2）+（4m2+16n2）＝20m2+20n2＝5（4m2+4n2）
又∵AB2＝OA2+OB2＝（2n）2+（2m）2＝4m2+4n2＝c2
∴a2+b2＝5c2；

（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，

∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∴∠EAH＝∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝AD，BF＝BC，
∴AE＝BF＝CF＝AD＝，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝6，AP＝PF，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴EH＝FH，
∴EQ，AH分别是△AFE的中线，
由（2）的结论得：AF2+EF2＝5AE2，
∴AF2＝5（）2﹣EF2＝25﹣9＝16，
∴AF＝4．
9．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是　④　；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．

【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC＝DE，
又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE，
∴BD＝AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，连接OD，

∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
又∵垂等四边形的面积是24，
∴AC•BD＝24，
解得，AC＝BD＝4，
又∵∠BCD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD＝r，DE＝，
∴r＝＝＝4，
∴⊙O的半径为4．








1（2020深圳）．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．


【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，
理由如下：
∵∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，

过点G作GN⊥AB交AB于点N，
由题意知，AE＝4，AB＝8，
∵＝，
∴AG＝6，AD＝12，
∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，
∴△AME∽△ANG，
设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，
∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，
GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，
∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．
方法二：如图2，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，

∵，AE＝4，AB＝8
∴AG＝6，AD＝12．
∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵，
∴△EAB∽△GAD，
∴∠BEA＝∠AGD，
∴A，E，G，Q四点共圆，
∴∠GQP＝∠PAE＝90°，
∴GD⊥EB，
连接EG，BD，
∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，
∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．