江苏省南京市第十三中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份江苏省南京市第十三中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年南京市第十三中学高三上学期期末试卷一、单选题：1. 已知集合，则（    ）A. B. C. D.2. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限   3. 已知向量，，则“”是“与共线”的（    ）．A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数在的图象大致为（    ）A． B．C． D．5. 已知为常数的展开式中所有项的系数和与二项式的系数和相等，则该展开式中的常数项为(    )A.  B.  C.  D. 6. 已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 7. 已知为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则该椭圆与双曲线的离线率之积的最小值为A.  B.  C.  D. 8. 设，则（    ）A.  B. C.  D. 二、多项选择题9. 已知正数a，b满足，下列说法正确的有（    ）A. ab的最大值为1B. 的最小值为C. 的最大值为D. 的最小值为210. 一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2倍关系，则称这次抛掷“漂亮”．规定一次抛掷“漂亮”得分为3，否则得分为－1．若抛掷30次，记累计得分为ξ，则A．抛掷一次，“漂亮”的概率为B．ξ＝2时，“漂亮”的次数必为8C．E(ξ)＝－10D．11. 已知函数，若，则下列选项正确的是（    ）A．B．C．当时，D．若方程有一个根，则12.已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（    ）A．是等差数列 B．C． D．三、填空题：13. 国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有_______种.14. 已知圆与圆外切，则实数a的值为___________.15.计算：_______.16. 在平面四边形中，，，且，，现沿着把折起，使点到达点P的位置，且，则三棱锥体积的最大值为_________. 四、解答题17.  已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列．（2）若，求满足条件的最大整数n．18.已知在中，，点在边上且满足.（1）若的面积为，求的值；（2）若，求的大小.19..近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时发展了利用短视频平台进行直播带货，成就了一批带货主播.国内短视频领域，已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.（1）现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据： 选择甲公司购物平台选择乙公司购物平台合计用户年龄段岁401050用户年龄段岁203050合计6040100根据小概率值的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？（2）（i）若小李第一天等可能地从甲､乙两家中选一家平台购物，如果第一天去甲平台，那么第二天去甲平台的概率为；如果第一天去乙平台，那么第二天去甲平台的概率为0.8.求小李第二天去甲平台购物的概率；（ii）双十一这天，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率均为，三人是否抢购成功互不影响.若为三人下单成功的总人数，且，求的取值范围.参考公式：，其中.独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：20．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，．(1)求证：平面；(2)若点在线段上，直线与直线所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．21．已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．(1)求双曲线的方程；(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．22. 已知函数，，.（1）求函数的极值；（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切；（3）若恒成立，求实数的最小值.  
2022-2023学年南京市第十三中学高三上学期期末试卷解一、单选题：1. 已知集合，则（    ）A. B. C. D.【正确答案】 B2. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限   【答案】C3. 已知向量，，则“”是“与共线”的（    ）．A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出与共线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】向量，，则，解得或，所以“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：A4. 函数在的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】，是奇函数，故A错误；，故BD错误.故选：C.5. 已知为常数的展开式中所有项的系数和与二项式的系数和相等，则该展开式中的常数项为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】A6. 已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，根据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，则函数的周期，则，则，由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，由，，函数的图象在区间上是增函数，故，解得，由，当时，，故选：B.7. 已知为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则该椭圆与双曲线的离线率之积的最小值为A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】如图，
 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则：在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos，化简得：（）a12+（）a22=4c2，即，又∵ ，∴，即≥，当时等号成立即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为． 8. 设，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】法一：构造，求导分析单调性，结合可得，再构造，求导分析单调性可得，进而判断出即可.【详解】法一：若，令在上单调递增，，即，比较与的大小，先比较与若令时单调递减，.法二：秒杀另一方面由时，，.故选：B二、多项选择题9. 已知正数a，b满足，下列说法正确的有（    ）A. ab的最大值为1B. 的最小值为C. 的最大值为D. 的最小值为2【答案】AC【解析】【分析】根据基本不等式结合选项一一判断即可．【详解】解：对于A：由正数a，b满足，得，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：，所以的最大值为，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：，当且仅当时取等号，故C正确；对于D：，当且仅当取等号，当时第二个等号成立，故两个等号不能同时成立，故，故D错误．故选：AC．10. 一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2倍关系，则称这次抛掷“漂亮”．规定一次抛掷“漂亮”得分为3，否则得分为－1．若抛掷30次，记累计得分为ξ，则A．抛掷一次，“漂亮”的概率为B．ξ＝2时，“漂亮”的次数必为8C．E(ξ)＝－10D．【答案】BCD11. 已知函数，若，则下列选项正确的是（    ）A．B．C．当时，D．若方程有一个根，则【答案】BC【详解】对于A选项，构造函数，定义域为，，当 时，；当 时，．所以，函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 当 时，，即，A选项错误；对于B选项， ，由于函数在上单调递增，当时，，即 ，所以，B选项正确；对于C选项，函数，定义域为，令，则；令，可得 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.当 时，，则，即，C选项正确；对于D选项，当时，若方程也只有一个根，D选项错误. 故选：BC12.已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（    ）A．是等差数列 B．C． D．答案：ABD【分析】对于A,求出，再将转化为,即可证明，对于B,利用A的结论求出，再利用基本不等式，即可证明.对于C，求出，即可判断正误，对于D，构造函数，即可判断正误【详解】，，解得：时，，整理得：故是等差数列，选项A正确；，则，，选项B正确；，选项C错误；令，，在递增，，则即，选项D正确；故选：ABD.三、填空题：13. 国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有_______种.【详解】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有种，另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；再考虑3个商业广告顺序，有种，故共有种.14. 已知圆与圆外切，则实数a的值为___________.【答案】【解析】分析】根据两圆外切，利用圆心距等于半径之和求解即可.【详解】化圆为：，则圆心坐标为，半径为2.由题意圆:与圆:外切，则，解得，故答案为：015.计算：_______.【答案】【解析】【分析】把化为，逆用二倍角的余弦公式和正弦公式，运用辅助角公式，最后化简求值.【详解】原式【点睛】本题考查了同角三角函数商关系，考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式.16. 在平面四边形中，，，且，，现沿着把折起，使点到达点P的位置，且，则三棱锥体积的最大值为_________.【答案】【分析】过点P作于F，连接.过F作EF⊥PC于E，得到，利用分析法，要使三棱锥的体积最大，只需要三角形PCF的面积最大，只需AF最大.判断出当F为BD中点时，即可求解.求出三角形PCF的面积，即可求出体积.【详解】如图示：过点P作于F，连接.由题意知，，，且.所以.又,所以平面.所以，所以当最大时，取得最大值.过F作EF⊥AC于E.因为，所以只需EF最大.在三角形ABD中，，所以A在以D、B 为焦点的椭圆上,如图示：因为AF⊥BD，由椭圆的几何性质可得，要使AF最大，只需A为短轴顶点，即AF为短轴的一半.此时所以.所以，所以，所以.即三棱锥体积的最大值为.故答案为： 四、解答题17.  已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列．（2）若，求满足条件的最大整数n．【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，可得，可得，即，又由，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，所以设数列的前项和为，则 ，若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为.18.已知在中，，点在边上且满足.（1）若的面积为，求的值；（2）若，求的大小.【解析】（1）.由余弦定理，得，.（2）设.由是等腰三角形及可得，解得.在内，由正弦定理，得，在内，由正弦定理，得，，即或或.的大小为或.19..近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时发展了利用短视频平台进行直播带货，成就了一批带货主播.国内短视频领域，已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.（1）现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据： 选择甲公司购物平台选择乙公司购物平台合计用户年龄段岁401050用户年龄段岁203050合计6040100根据小概率值的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？（2）（i）若小李第一天等可能地从甲､乙两家中选一家平台购物，如果第一天去甲平台，那么第二天去甲平台的概率为；如果第一天去乙平台，那么第二天去甲平台的概率为0.8.求小李第二天去甲平台购物的概率；（ii）双十一这天，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率均为，三人是否抢购成功互不影响.若为三人下单成功的总人数，且，求的取值范围.参考公式：，其中.独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：【解析】（1）零假设为：用户使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄无关.根据列联表可得，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即用户使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关，此推断犯错误的概率不大于.（2）（i）设“第一天去甲平台购物”，“第一天去乙平台购物”，“第二天去甲平台购物”，根据题意得，则.（ii）当时，由题意知的所有可能取值为，且，所以，所以，所以，故的取值范围为.20．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，．(1)求证：平面；(2)若点在线段上，直线与直线所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直性质可证得平面，则，利用勾股定理可证得，结合，由线面垂直的判定可得结论；（2）作，垂足为，作，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据线线角的向量求法可构造方程求得，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）四边形为正方形，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，；，，又，平面，平面.（2）作，垂足为，作，交于，平面平面，平面平面，平面，平面，由（1）知：，，，，，，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，则，，，解得：，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，即平面与平面夹角的余弦值为.21．已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．(1)求双曲线的方程；(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意有双曲线的左、右焦点为，，则，得，则，所以双曲线的方程为；（2）①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，则切线方程为，联立，消并整理得，则，化简得关于的一元二次方程，设该方程的两根为，，即为两切线的斜率，所以，即，又点在直线上，所以直线与圆有交点，所以，即，即，故的取值范围为．22. 已知函数，，.（1）求函数的极值；（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切；（3）若恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）极大值是，无极小值.    （2）详见解析    （3）【解析】【小问1详解】，，，当，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值是，无极小值.【小问2详解】设直线分别切，的图象于点，，由，得直线的方程，，即，①由，得直线的方程，，即，②比较①②可得，得，令，，，当，，单调递减，当时，，单调递增，所以,因为，所以在上有1个零点，，所以在上有1个零点，所以函数在上有两个零点，故有且只有两条直线与函数的图象都相切.【小问3详解】显然，，恒成立，即，恒成立，于是恒成立，即恒成立，设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，且时，，当时，，由可得恒成立，即对恒成立，于是恒成立，设，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，所以，的最小值是.