专题2.3 有理数运算中的综合（压轴题专项讲练）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

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专题2.3 有理数运算中的综合


【典例1】如果有4个不同的正整数a、b、c、d满足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，那么a+b+c+d的最大值为　 　．
【思路点拨】
根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8，进行分类讨论．
【解题过程】
解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，
∴四个括号内是各不相同的整数，
不妨设（2019﹣a）＜（2019﹣b）＜（2019﹣c）＜（2019﹣d），
又∵（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，
∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．
∵（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝8076﹣（a+b+c+d），
∴a+b+c+d＝8076﹣[（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）]，
∴当（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）越小，a+b+c+d越大，
∴当（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，a+b+c+d取最大值＝8076﹣（﹣2）＝8078．
故答案为：8078．


1．（2021秋•曲阜市校级期中）我们常用的十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）

A．1435天 B．565天 C．13天 D．465天
【思路点拨】
根据题意和图形，可以列出算式1×73+4×72+3×71+5，然后计算即可．
【解题过程】
解：由图可知：
1×73+4×72+3×71+5
＝1×343+4×49+3×7+5
＝343+196+21+5
＝565（天），
即孩子自出生后的天数是565，
故选：B．
2．（2021秋•社旗县期中）下列变形正确的有（　　）个．
①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6；
②312-（﹣214）+（-13）-14-（+16）＝312+214-13-14+16；
③124÷（13-14+112）=124÷13-124÷14+124÷112；
④（﹣1002）×17＝（﹣1000+2）×17．
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】
根据加法的交换律可以判断①；根据省略加法的方法可以判断②；根据有理数的除法和加减法可以判断③；根据乘法分配律可以判断④．
【解题过程】
解：①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6，故①正确；
②312-（﹣214）+（-13）-14-（+16）＝312+214-13-14-16，故②错误；
③124÷（13-14+112）
=124÷16
=124×6
=14，
而124÷13-124÷14+124÷112
=124×3-124×4+124×12
=324-424+1224
=38≠14，故③错误；
④（﹣1002）×17＝（﹣1000﹣2）×17，故④错误；
故选：B．
3．（2021秋•韩城市期中）如果四个互不相同的正整数m、n、p、q满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，则4m+3n+3p+q的最大值为（　　）
A．40 B．50 C．60 D．70
【思路点拨】
由题意确定出m，n，p，q的值，代入原式计算即可求出值．
【解题过程】
解：∵四个互不相同的正整数m，n，p，q，满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，
∴要求4m+3n+3p+q的最大值，则有：4﹣m＝﹣3，4﹣n＝3，4﹣p＝﹣1，4﹣q＝1，
解得：m＝7，n＝1，p＝5，q＝3，
则4m+3n+3p+q＝50．
故选：B．
4．（2021秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1-23=2×1×23-1，2-35=2×2×35-1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（　　）
A．（﹣3，47） B．（4，49） C．（﹣5，611） D．（6，713）
【思路点拨】
根据“同心有理数对”的定义判断即可．
【解题过程】
解：∵﹣3-47=-257，2×（﹣3）×47-1=-217，-257≠-217，
∴数对（﹣3，47）不是“同心有理数对”；
故选项A不合题意；
∵4-49=329，2×4×49-1=239，329≠239，
∴（4，49）不是“同心有理数对”，
故选项B不合题意；
∵-5-611=-6111，2×(-5)×611-1=-6611，-6111≠-6611，
∴（﹣5，611）不是“同心有理数对”，
故选项C不合题意；
∵6-713=7113，2×6×713-1=7113，
∴（6，713）是“同心有理数对”，
故选项D符合题意；
故选：D．
5．（2021秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k；（其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：

若n＝49，则第2021次“F”运算的结果是（　　）
A．68 B．78 C．88 D．98
【思路点拨】
根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．
【解题过程】
解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，
即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，
即152÷23＝19（奇数），
再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），
再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），
再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），
再进行F②运算，即98÷21＝49，
再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，
即第1次运算结果为152，…，
第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，
可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，
则6次一循环，
2021÷6＝336……5，
则第2021次“F运算”的结果是98．
故选：D．
6．（2021秋•新华区校级期中）若a，b互为相反数，且ab≠0，c、d互为倒数，|m|＝2，则（a+b）2021+
（ba）3﹣3cd+2m的值（　　）
A．0 B．0或﹣8 C．﹣2成6 D．2或﹣6
【思路点拨】
根据相反数、倒数、绝对值得出a+b＝0，ba=-1，cd＝1，m＝±2，代入求出即可．
【解题过程】
解：∵a、b互为相反数，且ab≠0，c、d互为倒数，|m|＝2，
∴a+b＝0，ba=-1，cd＝1，m＝±2，
当m＝2时，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3﹣3×1+2×2＝0﹣1﹣3+4＝0，
当m＝﹣2时，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3﹣3×1+2×（﹣2）＝0﹣1﹣3﹣4＝﹣8．
故（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m的值是0或﹣8．
故选：B．
7．（2021秋•江岸区校级月考）下列说法中，正确的个数是（　　）
①若|1a|=1a，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；
④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；
⑤a+b+c＝0，abc＜0，则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值为±1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可．
【解题过程】
解：若|1a|=1a，则a＞0，故①错误，不合题意；
若|a|＞|b|，
则a＞b＞0或a＞0＞b＞﹣a或﹣a＞b＞0＞a或0＞a＞b，
当a＞b＞0时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，
当a＞0＞b＞﹣a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，
当﹣a＞b＞0＞a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，
当0＞a＞b时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，
由上可得，（a+b）（a﹣b）＞0是正数，故②正确，符合题意；
A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2或﹣10或14，故③错误，不合题意；
若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x+x﹣1+2011＝2019，故④错误，不合题意；
∵a+b+c＝0，abc＜0，
∴a、b、c中一定是一负两正，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
不妨设a＞0，b＜0，c＜0，
∴b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|
=-aa+-b-b+-c-c
＝﹣1+1+1
＝1，故⑤错误，不合题意；
故选：A．
8．（2021秋•溧水区期中）计算（19+110+111）﹣2×（18-19-110-111）﹣3×（19+110+111+112）的结果是 　-12　．
【思路点拨】
根据题目中式子的特点，可以设19+110+111=a，然后将所求式子变形整理，即可求得所求式子的结果．
【解题过程】
解：设19+110+111=a，
则原式＝a﹣2（18-a）﹣3（a+112）
＝a-14+2a﹣3a-14
=-12，
故答案为：-12．
9．（2021秋•溧水区期中）计算（134-78-712）÷78+78÷（134-78-712）的结果是 　103　．
【思路点拨】
首先根据有理数除法法则将（134-78-712）÷78转化为（74-78-712）×87，再利用乘法分配律求出结果，再根据78÷（134-78-712）与（134-78-712）÷78互为倒数求出结果，进而得出结论．
【解题过程】
解：∵（134-78-712）÷78
＝（74-78-712）×87
=74×87-78×87-712×87
＝2﹣1-23
=13，
∴78÷（134-78-712）＝3，
∴（134-78-712）÷78+78÷（134-78-712）
=13+3
=103．
故答案为：103．
10．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　12（3101﹣1）　．
【思路点拨】
根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，原式计算即可求出值．
【解题过程】
解：根据题意得：
31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；
……
3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100，
相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100），
整理得：30+31+32+…+3100=12（3101﹣30）=12（3101﹣1）．
故答案为：12（3101﹣1）．
11．（2021•宝山区校级自主招生）[5×12021]+[5×22021]+…+[5×20212021]＝　4045　（其中[a]表示不超过a的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣3.14]＝﹣4等等）．
【思路点拨】
利用取整函数把算式变为404×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5，再进行计算即可．
【解题过程】
解：[5×12021]+[5×22021]+…+[5×20212021]
＝（[5×12021]+…[5×4042021]）+（[5×4052021]+…[5×8082021]）+（[5×8092021]+…[5×12122021]）+（[5×12132021]+…[5×16162021]）+（[5×16172021]+…[5×20202021]）+[5×20212021]
＝404×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5
＝4045
故答案为：4045．
12．（2021秋•鄞州区期末）已知正整数a，b，c均小于5，存在整数m满足2022+1000m＝2a+2b+2c，则m（a+b+c）的值为 　﹣14　．
【思路点拨】
首先根据正整数a，b，c均小于5，得出2a+2b+2c≤24+24+24＝48，2a+2b+2c≥2+2+2＝6，即6≤2022+1000m≤48，解不等式组求出m的范围，根据m为整数，得出m＝﹣2，那么2022+1000m＝22．观察得只有2+4+16＝22，求出a+b+c＝1+2+4＝7，进而得到m（a+b+c）＝﹣2×7＝﹣14．
【解题过程】
解：∵正整数a，b，c均小于5，
∴2a+2b+2c≤24+24+24＝48，
2a+2b+2c≥2+2+2＝6，
∴6≤2022+1000m≤48，
∴﹣2.016≤m≤﹣1.974，
∵m为整数，
∴m＝﹣2，
∴2022+1000m＝22．
∵2a，2b，2c，的取值只能为2，4，8，16，
观察得只有2+4+16＝22，
∴a+b+c＝1+2+4＝7，
∴m（a+b+c）＝﹣2×7＝﹣14．
故答案为：﹣14．
13．（2020秋•鄞州区期末）已知整数a，b，c，d的绝对值均小于5，且满足1000a+100b2+10c3+d4＝2021，则abcd的值为 　±4　．
【思路点拨】
先根据条件确认个位上的1一定为d4产生，得d＝±1或±3，①当d＝±1时，d4＝1，②当d＝±3时，d4＝81，分别代入计算可得答案．
【解题过程】
解：∵1000a+100b2+10c3+d4＝2021，整数a，b，c，d的绝对值均小于5，
∴个位上的1一定为d4产生，（±3）4＝81，（±1）4＝1，
∴d＝±1或±3，
①当d＝±1时，d4＝1，
∴1000a+100b2+10c3＝2020，
∴100a+10b2+c3＝202，
∴个位上的2是由c3产生的，
∴c3＝2或﹣8（﹣4～4中没有立方的个位数是2的），
∴c3＝﹣8，
∴c＝﹣2，
∴100a+10b2﹣8＝202，
100a+10b2＝210，
10a+b2＝21，
∴个位上的1是由b2产生的，（±1）2＝1，
∴当b＝±1时，10a＝20，a＝2，
∴abcd=2×1×(-2)×1=-42×(-1)×(-2)×1=42×1×(-2)×(-1)=42×(-1)×(-2)×(-1)=-4，
∴abcd＝±4；
②当d＝±3时，d4＝81，
∴1000a+100b2+10c3＝2021﹣81＝1940，
∴100a+10b2+c3＝194，
同理43＝64，
∴c＝4，
∴100a+10b2+64＝194，
100a+10b2＝130，
10a+b2＝13，
不存在整数满足条件，
故d≠±3；
综上，abcd＝±4．
故答案为：±4．
14．（2022春•商城县校级月考）计算：
（1）（﹣3）2×[-23+（-59）]；
（2）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4；
（3）（﹣10）3+[（﹣4）2+（1﹣32）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×（﹣1）2020．
【思路点拨】
（1）原式先算乘方运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果；
（3）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果．
【解题过程】
解：（1）原式＝9×（-23-59）
＝9×（-23）+9×（-59）
＝﹣6﹣5
＝﹣11；
（2）原式＝﹣1﹣3×（16+2）﹣（﹣8）÷4
＝﹣1﹣3×18+8÷4
＝﹣1﹣54+2
＝﹣53；
（3）原式＝﹣1000+[16+（1﹣9）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×1
＝﹣1000+（16﹣8×2）﹣（﹣7）×1
＝﹣1000+（16﹣16）+7
＝﹣1000+7
＝﹣993．
15．（2022春•滨海县月考）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22020+22021①
则2S＝2+22+…+22021+22022②
②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+…+220＝　221﹣2　；
（2）求1+12+122+⋯+1250=　2-1250　；
（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整数，请写出计算过程）
【思路点拨】
（1）（2）根据题目所给方法，令等式左边为S，表示出2S，相减即可得到结果；
（3）根据题目所给方法，令等式左边为S，表示出aS，相减即可得到结果．
【解题过程】
解：（1）设S＝2+22+…+220，则：
2S＝22+23+…+220+221，
2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，
∴S＝221﹣2，
故答案为：221﹣2．
（2）设S＝1+12+122+⋯+1250，则：
2S＝2+1+12+122+⋯+1249，
2S﹣S＝（2+1+12+122+⋯+1249）﹣（1+12+122+⋯+1250）＝2-1250，
∴S＝2-1250，
故答案为：2-1250．
（3）设S＝1+a+a2+a3+…+an，则：
aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，
aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．
∴S=an+1-1a-1．
16．（2021秋•新都区期末）先观察下列各式，再完成题后问题：
12×3=12-13；13×4=13-14；14×5=14-15．
（1）①请仿照上面各式的结构写出：15×6=　15-16　；
②11×2+12×3+13×4+...+1n(n+1)=　nn+1　；（其中，n为整数，且满足n≥1）
（2）运用以上方法思考：求14+112+124+140+160+184+1112+1144的值．
【思路点拨】
（1）①直接利用已知将原式分成两分数的差即可；
②利用已知中规律将原式化简求出答案；
（2）首先提取12，进而利用已知规律化简求出答案．
【解题过程】
解：（1）①15×6=15-16；
故答案为：15-16；
②原式=1-12+12-13+...+1n-1n+1
=1-1n+1
=nn+1；
故答案为：nn+1；
（2）原式=12×(12+16+112+...+156+172)
=12×(11×2+12×3+13×4+...+17×8+18×9)
=12×(1-12+12-13+13-14+...+17-18+18-19)
=12×(1-19)
=49．
17．（2021秋•开江县期末）（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a︸n个（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．

（初步探究）
（1）直接写出计算结果：5③＝　15　，（-13）④＝　9　．
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（此处不用作答）
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）⑤＝　（-13）3　；5⑧＝　（15）6　；（12）⑩＝　28　．
（3）算一算：﹣92÷（-13）⑤×（-14）④﹣（-15）4÷5④．
【思路点拨】
（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；
（2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；
（3）根据aⓝ的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果．
【解题过程】
解：（1）5③＝5÷5÷5=15，
（-13）④＝（-13）÷（-13）÷（-13）÷（-13）
=13×3×3×3
＝9．
故答案为：15，9；
（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）
＝（﹣3）×（-13）×（-13）×（-13）×（-13）
＝（-13）3，
5⑧＝5÷5÷5÷5÷5÷5÷5÷5
＝5×15×15×15×15×15×15×15
＝（15）6，
（12）⑩=12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12
=12×2×2×2×2×2×2×2×2×2
＝28，
故答案为：（-13）3；（15）6；28；
（3）由a的圈n次方＝（1a）n﹣2，
∴原式＝﹣92÷（-13）⑤×（-14）④﹣
（-15）4÷5④．
＝﹣81÷（﹣27）×16﹣（-15）4÷（15）2
＝48-125
＝472425．
18．（2021秋•渑池县期末）2020年的“新冠肺炎“疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
超减产量/个
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣9
+16
﹣8
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 　291　个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量；
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.2元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.25元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.2元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.25元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元？
【思路点拨】
（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周生产口罩的数量；
（3）根据每周计件工资制，列出算式可以解答本题；
（4）根据日计件工资制，列出算式可以解答本题．
【解题过程】
解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），
故答案为：291；
（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）
答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；
（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
所以，2100×0.8+11×（0.8+0.2）
＝1680+11×1
＝1680+11
＝1691（元），
答：小王这一周的工资总额是1691元；
（4）第一天：300×0.8+5×（0.8+0.2）＝245（元）；
第二天：（300﹣2）×0.8﹣2×0.25＝237.9（元）；
第三天：（300﹣4）×0.8﹣4×0.25＝235.8（元）；
第四天：300×0.8+13×（0.8+0.2）＝253（元）；
第五天：（300﹣9）×0.8﹣9×0.25＝230.55（元）；
第六天：300×0.8+16×（0.8+0.2）＝256（元）；
第七天：（300﹣8）×0.8﹣8×0.25＝231.6（元）；
共245+237.9+235.8+253+230.55+256+231.6＝1689.85（元）．
答：小王这一周的工资总额是1689.85元．