2023屯昌县高三二模统考（A）数学试题含答案
展开2023年海南省屯昌县高三二模统考（A）
数学 2023·2
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“，”的否定形式是（ ）
A．，或 B．，且
C．，或 D．，且
3．函数的图象大致为（ ）
4．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
5．仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十五号”载人飞船于北京时间11月29日23时08分发射，约10分钟后，“神舟十五号”载人飞船与火箭成功分离.早在1903年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气速度为（ ）（参考数据：）
A． B．
C． D．
6．在中，，设点P，Q满足.若，则（ ）
A． B． C． D．
7．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A．34种 B．56种 C．96种 D．144种
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知抛物线的焦点为，P为C上的一动点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8
C．的最小值为4 D．的最小值为9
10．下列说法正确的是（ ）
A．若为正整数，则
B．若，则
C．
D．若，则
11．已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．⊥平面
C．在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离为3
D．圆锥内切球的表面积为
12．若对，恒成立，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在等比数列中，，为的前n项和，则______．
14．设，若，，则的值为_____．
15．中常数项是_________．（写出数字）
16．如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》．
17．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的最大值与最小值．
18．已知等差数列和等比数列．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列满足：，求和：．
19．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，面ABCD，，．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)求二面角的正弦值．
20．在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．
21．已知双曲线的右焦点为F，双曲线C上一点关于原点的对称点为，满足.
(1)求的方程；
(2)直线与坐标轴不垂直，且不过点及点，设与交于、两点，点关于原点的对称点为，若，证明：直线的斜率为定值.
22．函数，在点处的切线方程为．
(1)求；
(2)，证明：
2023年海南省屯昌县高三二模统考（A）
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．CD 10．BC 11．ABD 12．BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
- （1）由于,故，解得，,故函数的单调递增区间为，
（2）当时，，故当时，取最小值-2，当时，取最大值.
- （1）设等差数列公差为，等比数列公比为，
因为所以解得，
所以.
,所以，所以.
（2）
.
- （1）连接AC，面ABCD
，，面PAC，面PAC，，面，，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立坐标系则，
，，
设平面的法向量为，
即，令，则，，
A到面PBC距离.
（2）由（1）可知：，，，，
设平面的法向量为，
即，，令，则，
设面的法向量为，
即令，则，，
，
∴二面角的正弦值为.
- （1）依题意，得，解得，
则不低于70分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为；
（2）成绩在内的有（人）；
成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；
故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，
所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
故
- （1）由已知可得，.
则，，
由可得，，所以.，
又点在双曲线上，所以.
联立，可得，
所以，C的方程为.
（2）设，，则，
所以，，
由可得，，所以，
整理可得，.
由已知可设直线的方程为（且）.
联立直线与双曲线的方程可得，.
，所以.
由韦达定理可得，又，，.
所以，由可得，
，
整理可得，，
因为，不恒为0，所以应有，解得.
所以直线l的斜率为定值
- （1），
在点处的切线方程为，
，解得，，
所以．
（2）令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即．
若要证明，只需证明，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以当时，，即，
所以．
故只需证明．
令，
则，
所以在上单调递减，
所以当时，，
所以．
综上知，
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