安徽省省十联考2022-2023学年高一下学期开学摸底联考数学试题

2022~2023学年度第二学期开学摸底联考

命题单位：合肥市第八中学    校审单位：合肥市第六中学、合肥一六八中学

特别鸣谢联考学校：（排名不分先后）

淮北一中、太和一中、界首一中、利辛一中、霍邱一中、金寨一中、明光中学、枞阳浮山、衡安学校、淮南一中

高一数学

考试说明：1．考查范围：必修第一册．

2．试卷结构：分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟．

3．所有答案均要答在答题卷上，否则无效．考试结束后只交答题卷．

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）

1．已知集合，集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．已知，则的值为（    ）

A．     B．     C．     D．

3．己知，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．     B．     C．     D．

4．是的（    ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件     C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

5．已知函数的部分图象如图，则（    ）

A．1     B．     C．     D．

6．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从2000提升至12000，则C大约增加了（    ）（参考数据：）

A．24%     B．30%     C．36%     D．45%

7．设函数（是常数，）．若在区间上具有单调性，且，则（    ）

A．的周期为

B．的单调递减区间为

C．的图象与的图象重合

D．的对称轴为

8．已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上）

9．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（    ）

A．为偶函数                                   B．的值域是

C．若，则     D．是上的减函数

10．已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（    ）

A．的最大值为1     B．的最大值为2

C．的最小值为2     D．的最大值为1

11．下列说法正确的有（    ）

A．命题“”的否定是“”

B．若，则

C．若，则

D．函数在R上有三个零点

12．己知锐角三角形中，设，则下列判断正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，且，则m的值为__________．

14．已知正数x，y满足，若不等式对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________．

15．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形，再分别以点A、B、C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是__________．

16．设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知．

（1）化简；

（2）若，求的值．

18．（12分）已知函数为偶函数，且．

（1）求m的值，并确定的解析式；

（2）若（且），求在上值域．

19．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数．

（1）判断并证明函数的单调性；

（2）不等式对恒成立，求m的取值范围．

20．（12分）已知函数（其中）的图象与x轴交于A，B两点，A，B两点间的最短距离为，且直线是函数图象的条对称轴．

（1）求的对称中心；

（2）若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围．

21．（12分）已知函数，其中．如图是函数在一个周期内的图象，A为图象的最高点，B．C为图象与x轴的交点，为等边三角形，且是偶函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，做出的草图，并写出的单调区间；

（2）当时，解不等式；

（3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．

省十联考*合肥八中2022～2023学年度第二学期开学摸底联考

数学试题卷参考答案

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、选择题

1．【答案】B

【解析】解不等式得，故集合，

从而，

故选：B．

2．【答案】C

【解析】由于，所以，因此，故选：C．

3．【答案】D

【解析】；根据对数函数的单调性，在上递增，则，在上递减，故，即，D选项正确．

故选：D．

4．【答案】A

【解析】

当时，，

则有成立，即成立；

当时，，

即成立，但此时不成立．

综上可知，是的充分不必要条件．

故选：A．

5．【答案】C

【解析】由题图：，且，则，可得，

则，且，

所以，则，不妨令，

则，故．

故选：C．

6．【答案】A

【解析】根据题意，计算出的值即可；

当时，，

当时，，

∴，

所以将信噪比从2000提升至12000，则C大约增加了24%，

故选：A．

7．【答案】C

【解析】∵在区间上具有单调性，且，∴和均不是的极值点，其极值应该在处取得，∵，∴也不是函数的极值点，又在区上具有单调性，∴为的另一个相邻的极值点，故函数的最小正周期，所以A错误；

所以，令，得的单调递减区间为，所以B错误；

，所以C正确；

令，得的对称轴为，所以D错误．

故选：C．

8．【答案】D

【解析】：根据题意，，

所以且，

所以且，

对比和可知，结合和只有一个交点，

所以，故，故选项A错误；

易知在单调递增，所以，

与a是的零点矛盾，故选项B错误；

若成立，则有，即有，

即有，故矛盾，所以选项C错误；

，故选项D正确．

故选：D．

二、多选题

9．【答案】CD

【解析】因为函数是幂函数，所以设，

又因为的图像经过点，所以有，∴，

即．

A：函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，因此本命题不正确；

B：因为，所以，因此本命题不正确；

C：因为，所以，

因此，因此本命题正确；

D：，

由函数单调性的性质可知中：是上的减函数，因此本命题正确，

故选：BD．

10．【答案】BC

【解析】因为，

所以，故，当且仅当时，取得等号；

所以的最大值为1，故A正确；

当时，，故B错误；

因为，所以，即有最大值为2，

故C错误；

因为，当且仅当时，取得等号，所以有最大值为1，故D正确；

故选：BC．

11．【答案】BCD

【解析】A选项，命题“”的否定是“”，故A正确；

B选项，取，则，故B错误；

C选项，，∴，故C错误；

D选项，由图知，当时，恒成立，当时，，且函数在R上为奇函数，故D错误．

故选：BCD．

12．【答案】ABC

【解析】因为三角形为锐角三角形，所以，所以，

所以，所以A正确；

同理，则，所以B，C正确；

由于，所以在是增函数，又，所以，故D错误．

故选ABC．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】6

【解析】由得，

．

故答案为：6

14．【答案】

【解析】由题意得，

当且仅当，即时取等号，

所以实数m的取值范围为．

故答案为：．

15．【答案】．

【解析】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积

所以莱洛三角形的面积是．

故答案为：

16．【答案】6

【解析】由题知是由纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将x轴下方的图象翻到x轴上方即可得到，

又有是定义在R上的偶函数，

且，

所以图象关于直线对称，且周期为2，

又因为时，，

在同一坐标系下，画出及在的图象如下所示：

由图象可知与交点个数为10个，其零点之和为6．

四、解答题

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）．

（2）由题意

∵，∴，∴

∴

18．【答案】（1）；

（2）当时，函数的值域为，当时，的值域为．

【解析】（1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得，因为，所以或或，

当或时，它不是偶函数；

当时，是偶函数；

所以；

（2）由（1）知，

设，则，此时在上的值域，就是函数的值域；

当时，在区间上是增函数，所以；

当时，在区间上是减函数，所以；

所以当时，函数的值域为，当时，的值域为．

19．【解析】（1）函数的定义域为R，

因为为奇函数，所以，所以，

经检验，时，是奇函数，此时在R上单调递增．

下面用单调性定义证明：任取，且，则

，

因为在R上单调递增，且，所以，

又，所以，

所以函数在R上单调递增；

（2）因为为奇函数，所以，

由，可得，

又函数在R上单调递增，

所以，即对恒成立，

令

则解得．

20．【答案】（1）  （2）或

【解析】（1）由题知A，B两点间的最短距离为，所以，

所以，直线是函数图像的一条对称轴，

所以，又因为，所以，

所以

令，则，

所以函数对称中心为

（2）因为函数在内有且只有一个零点，

所以在范围只有一个实根，

即函数在的图像与直线只有一个交点，

因为，所以，令，则

函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，即时，函数y有最大值，最大值为1．

当，即，函数，当，即，函数．

所以要使函数在的图像在与直线只有一个交点，

则或，所以或．

21．【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由可知，点A的纵坐标为

∵为等边三角形，∴，即函数的周期，∴，

∴，

∵，∴，又是偶函数，∴，

∴，∴

（2）

∵对任意恒成立，

∴，

即对任意恒成立，

令，即在上恒成立．

设，对称轴，

当时，即时，，解得（舍）；

当时，即时，，解得，∴；

当时，即时，，解得．

综上，实数m的取值范围为．

22．【答案】（1）图形见解析，在和上单调递增，在上单调递减

（2）解集为

（3）或

【解析】（1）当时，，

根据解析式分两种情况分别作出图形可得函数的图象如下，

由图可知，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增．

（2）当时，，记，

则，故为奇函数，且在R上单调递增，

不等式转化为，

即，

即，即，

从而由在R上单调递增，得，即，解得，

故不等式的解集为．

（3）设，则问题转化为存在，使得，

又注意到时，，且，

可知问题等价于存在，即在上有解．

即在上有解，于是或在上有解，

进而或在上有解，

由函数在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递增，可知，

故a的取值范围是或．