无锡市江阴市敔山湾实验学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

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无锡市江阴市敔山湾实验学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1. 下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（　　）A.  B.  C.  D. 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）A. 对重庆市初中学生每天阅读时间的调查B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C. 对某批次手机的防水功能的调查D. 对某校九年级3班学生肺活量情况的调查3. 将分式中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值(　　)A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍4. 如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（     ）A.  B.  C.  D. 5. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为（ ）A 12个 B. 9个 C. 6个 D. 3个6. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④7. 下列命题中错误的是（    ）A. 平行四边形对边相等B. 对角线相等的四边形是矩形C. 矩形的对角线相等D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形8. 如图，在△ABC中，∠BAC=110°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则旋转角∠ACD的度数为（    ）A  B.  C.  D. 9. 如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EFCD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（    ）A. △ECD B. △EBF C. △EBC D. △EFC10. 如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（　　）个．A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（共8小题，每空3分，共24分）11. 若分式有意义，则x满足_________．12. 已知在□ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠A=__________．13. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________．14. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且，则AB的长为__．15. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为______．16. 在平面直角坐标系中，▱ABCD的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2)，直线y =kx+4可将▱ABCD的面积平分，则k＝_________．17. 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝ ，∠BAC＝105°，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为__________．18. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是___．三、解答题19. 计算：（1）－－+（2）20. 有一道题：先化简再求值：，其中x＝，小明做题时把x＝错抄成了x＝，但他的计算结果也正确，请你通过计算解释这是为什么？21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系xOy的原点O在格点上，x轴、y轴都在格线上．线段AB的两个端点也在格点上．（1）若将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A’B’．试在图中画出线段A’B’．（2）若线段A’’B’’与线段A’B’关于y轴对称，请画出线段A’’B’’．（3）若点P是此平面直角坐标系内的一点，当点A、 B’、B’’、P四边围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点P的坐标．22. 某市大力发展绿色交通，构建公共绿色交通体系，“共享单车”的投入使用给人们的出行带来便利．小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）这次被调查的总人数是      ；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求表示A组（t≤10分）的扇形圆心角的度数；（4）如果骑共享单车的平均速度为12km/h，请估算，在租用共享单车的市民中，骑车路程不超过6km的人数所占的百分比.23. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）连接BE，若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．24. 如图，在ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．25. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、向终点B运动，设P点运动的时可为t秒（0＜t＜10）．（1）当△POD的面积等于9时，点P的坐标为           ：（2）当点P在OA上运动时，连接CP．问：是否存在某时刻t，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）当t为何值时，点B关于直线PD对称点恰好落在直线OP上．26. 在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．（1）如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为        ；（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC①求证：△ACD≌△CAE；②求线段DH的长度．（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
 
答案与解析一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1. 下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【详解】解：A，B，D不是中心对称图形，C是中心对称图形，故选C2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）A. 对重庆市初中学生每天阅读时间的调查B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C. 对某批次手机的防水功能的调查D. 对某校九年级3班学生肺活量情况的调查【答案】D【解析】【详解】A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调查，故A错误；B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误；C、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D正确；故选D．3. 将分式中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值(　　)A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍【答案】A【解析】【详解】m、n都扩大为原来的3倍得到 ，∴分式的值不变.故选A.4. 如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（     ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，OB=OD，又由∠ODA=90°，根据勾股定理，即可求得AD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm，∴OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，∵∠ODA=90°，∴AD==4(cm)．故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．5. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为（ ）A. 12个 B. 9个 C. 6个 D. 3个【答案】A【解析】【详解】解：∵口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，∴口袋中球的总数为：4÷=12（个）．故选A．6. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④【答案】C【解析】【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．【详解】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟悉掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．7. 下列命题中错误的是（    ）A. 平行四边形的对边相等B. 对角线相等的四边形是矩形C. 矩形的对角线相等D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定逐个判断即可求解．【详解】解：平行四边形的对边相等，故A正确；对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形，故B错误；矩形的对角线相等，故C正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故D正确．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．8. 如图，在△ABC中，∠BAC=110°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则旋转角∠ACD的度数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由旋转的性质可得AC=CD，∠BAC=∠CDE=110°，由等腰三角形的性质可求∠CDA=∠CAD=70°，再利用三角形的外角性质即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，∴AC=CD，∠BAC=∠CDE=110°，∴∠CDA=∠CAD=70°，∴∠ACD=∠CDE-∠CAD=110°-70°=40°，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．9. 如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EFCD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（    ）A. △ECD B. △EBF C. △EBC D. △EFC【答案】A【解析】【分析】过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，证明△ADN≌△CBM得DN=BM，由三角形的面积公式可得△BCF等于△CDF的面积，由平行线间距离相等可说明△CDE的面积与△CDF的面积相等，进而可得出答案．【详解】解：如图，过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，ADBC，∴∠DAC＝∠ACB，在△ADN和△CBM中，，∴△ADN≌△CBM（AAS），∴DN＝BM，∵S△BCF＝CF•BM，S△CDF＝CF•DN，∴S△BCF＝S△CDF，∵EFCD，∴S△CDE＝S△CDF，∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，∴由△ECD的面积可求△FBC的面积，故选A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，两平行线间距离相等，解题的关键是证明△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积．10. 如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（　　）个．A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】①先证出AF=FD=CD，得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF，可得∠DCF= ∠BCD，故①正确；②做辅助线延长EF，交CD延长线于M，先证△AEF≌△DMF（ASA），得到FE=MF 即，再通过在中斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到CF=EF，故②正确；③根据EF=FM，可得，那么，再通过MC＞BE，得到，即，故③的正确；④先证FC=FE，设∠FCE=x，那么，再通过证∠DCF=∠DFC，那么，则，进一步证得，即可证得，故④错误．【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵ ，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF= ∠BCD，故①正确；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠A=∠MDF，∵FAD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中， ，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，即，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∴ ∵，∴CF=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴，∴，∵MC＞BE，∴∴故③正确；④设∠FEC=x，∵CE⊥AB，，∴，∵F 是EM的中点，∴FC=FE，∴∠FCE=x，∴，∵ ∴∠FCB=∠DFC∵∠DCF＝∠FCB；∴∠DCF=∠DFC∴∴，∴，∵，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．综上所述正确的是：①②③．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知识，能准确找到边与边之间、角与角之间的关系是解答此题的关键．二、填空题（共8小题，每空3分，共24分）11 若分式有意义，则x满足_________．【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件，即分母不能为零，求解即可．【详解】解：若分式要有意义，则，，故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件，即分母不能为零，是解题的关键．12. 已知在□ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠A=__________．【答案】80°##80度【解析】【分析】首先根据平行四边形性质得出AD∥BC，∠A+∠B=180°，再结合∠A=∠B−20°进一步计算出答案即可.【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠B−20°，∴∠B=100°，∠A=80°，故答案为：80°.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.13. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________．【答案】两直线平行【解析】【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．【详解】已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等，则两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同，故假设不成立，即如果同位角不相等，那么这两条直线不平行．故答案为：两直线平行．【点睛】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．14. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且，则AB长为__．【答案】2【解析】【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB即可得出答案．【详解】解：平分交边于点，，在平行四边形中，，，，，，，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE是解题关键．15. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为______．【答案】60°【解析】【详解】试题解析：如图所示：由题意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，
则NG=AM，故AN=NG，
则∠2=∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°，
∴∠DAG=60°．16. 在平面直角坐标系中，▱ABCD的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2)，直线y =kx+4可将▱ABCD的面积平分，则k＝_________．【答案】-1【解析】【分析】连接BO、AC交于点D，直线将平行四边形的面积平分，可知直线一定过平行四边形的对角线的交点，求得交点D，然后将点D代入直线即可．【详解】解：连接AC、BO，交于点D，当直线经过点D时，该直线可将的面积平分，∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD=OD，∵，∴，∵直线过，∴，∴，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质，以及一次函数，解题的关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．17. 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝ ，∠BAC＝105°，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为__________．【答案】2【解析】【详解】∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，∵∠BAC=105°∴∠DAE=135°．∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC．∴在△ABC与△DBF中， ，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC=DF=AE= ，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB=EF=AD=2，∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．∴∠FDA=180°-∠DAE=45°，根据勾股定理可求得平行四边形DAEF边AD上的高为1，∴平行四边形AEFD的面积是 ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，综合性比较强，难度较大，有利于培养学生综合运用知识进行推理和计算的能力．18. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是___．【答案】7【解析】【分析】连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC＝10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP＝3，然后证四边形PGCH是矩形，得GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7，即可求解．详解】解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴AC＝，∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝3，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7，∴GH的最小值是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出CP的最小值是解题的关键．三、解答题19. 计算：（1）－－+（2）【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先化简二次根式，根据零指数幂运算法则计算，求绝对值，再合并同类二次根式即可；（2）先将分式分母分解因式，再通分，然后根据同分母分式加法法则计算即可．【小问1详解】解：原式==；【小问2详解】解：原式====．【点睛】本题考查实数的运算，分式加法运算，熟练掌握实数混合运算法则和异分母分式加法法则是解题的关键．20. 有一道题：先化简再求值：，其中x＝，小明做题时把x＝错抄成了x＝，但他的计算结果也正确，请你通过计算解释这是为什么？【答案】见解析【解析】【分析】先将括号内的通分化简，再约分，最后代入求值即可判断．【详解】解：原式==故把x＝错抄成了x＝代入得到的结果是一样的都为2023．【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握分式的混合运算的顺序：先算括号里的，再算乘除，最后算加减．21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系xOy的原点O在格点上，x轴、y轴都在格线上．线段AB的两个端点也在格点上．（1）若将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A’B’．试在图中画出线段A’B’．（2）若线段A’’B’’与线段A’B’关于y轴对称，请画出线段A’’B’’．（3）若点P是此平面直角坐标系内的一点，当点A、 B’、B’’、P四边围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点P的坐标．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）(3)P 点坐标为(−4,1)、(4,1)、(0,−5).【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A′、B′，从而得到线段A′B′；（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A″、B″点的坐标，然后描点即可得到线段A″B″；（3）分别以AB″、AB′和B″B′为对角线画平行四边形，从而得到P点位置，然后写出对应点的坐标．【详解】(1)如图,线段A′B′为所作；(2)如图，线段A″B″为所作；(3)P 点坐标为(−4,1)、(4,1)、(0,−5).【点睛】此题考查作图-轴对称变换，平行四边形的性质，作图-旋转变换，解题关键在于掌握作图法则.22. 某市大力发展绿色交通，构建公共绿色交通体系，“共享单车”的投入使用给人们的出行带来便利．小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）这次被调查的总人数是      ；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求表示A组（t≤10分）的扇形圆心角的度数；（4）如果骑共享单车的平均速度为12km/h，请估算，在租用共享单车的市民中，骑车路程不超过6km的人数所占的百分比.【答案】（1）50；（2）见详解；（3）108°；（4）92％【解析】【详解】解：（1）这次被调查的总人数是19÷38﹪=50（人）；（2）C组人数为：50-（15+19+4）=12（人）；补全条形统计图； （3）求表示A组（t≤10分）的扇形圆心角的度数为；（4）路程是6km时所用的时间是：6÷12=0.5（小时）=30（分钟），则骑车路程不超过6km的人数所占的百分比是：．23. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）连接BE，若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．【答案】（1）见解析    （2）16°【解析】【分析】（1）通过ADBC，AO=OC，证明△AOD≌△COB（ASA），推出AD＝CB，结合ADBC，即可证明四边形ABCD为平行四边形；（2）设∠ABE＝x，先证EF为BD的垂直平分线，推出BE＝DE，再利用平行线性质、等腰三角形的性质证明∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，即可求解．【小问1详解】证明：∵ADBC，，又∵AO=OC，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，又∵ADBC，∴四边形ABCD为平行四边形；【小问2详解】解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，∵EF⊥BD，∴EF为BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，∵ADBC，∴∠EDB＝∠DBF，∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，∴100°+x+2x+2x＝180°，解得：x＝16°，即∠ABE＝16°．【点睛】本题考查平行线的性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，结合题意综合运用上述知识是解题的关键．24. 如图，在ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．【答案】(1)见解析；（2）48.【解析】【详解】试题分析：(1)先根据两组对边平行的四边形是平行四边形证明四边形ACED是平行边形，再证明∠DAC＝90o即可；(2)在Rt△ABC中求得AB、BC的长度，再由平行四边形的性质可得DE＝AC、AD＝BC求得DE、AD的长度，再计算机四边形ADEC的面积.试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，    ∴AD∥BC． 又∵DE∥AC，∴四边形ADEC是平行四边形． 又∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90º．∴四边形ADEC是矩形． （2） ∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90º．∵M是AB的中点，∴AB=2CM=10． ∵AC=8，∴．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD．又∵四边形ADEC是矩形，∴EC=AD．∴EC= BC=6． ∴矩形ADEC的面积=．【点睛】本题主要考查矩形判定和性质，掌握矩形的对角线相等及勾股定理的应用是解题的关键．25. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、向终点B运动，设P点运动的时可为t秒（0＜t＜10）．（1）当△POD的面积等于9时，点P的坐标为           ：（2）当点P在OA上运动时，连接CP．问：是否存在某时刻t，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）当t为何值时，点B关于直线PD的对称点恰好落在直线OP上．【答案】（1）或    （2）存在，    （3）【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出，，，当点在上运动时，即，，由三角形面积得出；解得，此时点坐标为；当点在上运动时，即，，，得出；解得，此时点坐标为；（2）由旋转的性质得出，，在中，，，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）显然不能在上，在上，由轴对称的性质得出则，，，证明△，得出，设，则，得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【小问1详解】解：长方形的顶点、，是的中点，，，，当点在上运动时，即，如图1所示：，，，，解得：，此时点坐标为；当点在上运动时，即，如图2所示：，，，，，解得：，此时点坐标为；故答案为：或；【小问2详解】存在；点为的中点，如图3所示：绕点旋转时，点能恰好落到的中点，，，在中，，，，在中，，，，，解得：，即当时，当绕点旋转时，点能恰好落到的中点处；【小问3详解】点显然不能在上，点在上，如图4所示：为关于直线的对称点，则，，，在和Rt中，，△，，设，则，，在中，，即，解得：，，当为时，点关于直线的对称点恰好落在直线上．【点睛】本题是四边形的综合题，考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．26. 在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．（1）如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为        ；（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC①求证：△ACD≌△CAE；②求线段DH的长度．（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．【答案】（1）    （2）①见解析；②    （3）27，理由见解析【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出DE的长度，计算CD-DE的值即可；（2）①根据CD=AE，CD是两个三角形的公共边，∠AEC=∠AEF=∠CDA=90°，用HL即可判定△ACD≌△CAE；②根据①的结论推出∠ACD=∠CAE，得到AH=CH，推出DH=EH，设DH=x，CH=AH=6-x，在Rt△ADH中根据勾股定理得到，求得，得到；（3）过点A作AM⊥PE于点M，连接BM，AP，根据点P是FG的中点，得到PF= FG=3，根据∠F=90°，EF=4，推出，根据，推出AM=4.8，根据BM≤AB+AM，得到当点A在线段BM上时，BM=AB+AM，推出BM取得最大值10.8，且BM⊥PE，推出，得到△BEP面积的最大值为27．【小问1详解】∵∠D=90°，∴ ，∴ ，故答案为 ；【小问2详解】①证明：如图②中，∵当点E落在线段CF上，∴∠AEC＝∠ADC＝90°，在Rt△ACD和Rt△CAE中， ∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL）；②∵Rt△ACD≌Rt△CAE，∴∠ACD=∠CAE，∴AH=CH，∵AE=CD=6，∴DH=EH，设DH=x，则CH=AH=6-x，∵∠D=90°,∴，∴，∴，故；【小问3详解】存在．理由：过点A作AM⊥PE于点M，连接BM，AP，∵点P是FG的中点，FG=6，∴PF= FG=3，∵∠F=90°，EF=4，∴，∵，∴，∴AM=4.8，∵BM≤AB+AM，∴当点A在线段BM上时，BM=AB+AM=6+4.8=10.8，此时BM最大，且BM⊥PE，∴，即△BEP面积的最大值为27．【点睛】本题主要考查了矩形，旋转，勾股定理，全等三角形的，三角形面积公式等，解决问题的关键是熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等，面积法求三角形的高．