2022-2023学年上海市香山中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市香山中学高一上学期期中数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市香山中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．设全集，集合，那么图中的阴影部分所表示的集合是（    ）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图像可知，阴影部分表示的是，由此求得正确结论.【详解】由阴影部分所表示的集合是，而，故.故选：A.【点睛】本小题主要考查集合的并集和补集的概念即运算，考查图像所表示集合的识别.属于较易题.2．下列选项是真命题的是（    ）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，则【答案】D【解析】取特殊值可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确.【详解】对于A，若，当时，，故A错误；对于B，令，此时，故B错误；对于C，令，此时，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：D.3．已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】因为或，解得或即，因为，所以当时，，满足要求.当时，则，由，可得，即当时，则，由，可得，即综上所述，故选:B.4．已知不等式的解集是，则下列四个命题：① ：② ；③ 若不等式的解集为，则；④ 若不等式的解集为，且，则.其中真命题的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为有且只有一个零点，故可得，即可，再利用基本不等式和不等式的性质以及韦达定理，即可得答案；【详解】由题意，，∴ .对于①：，等号当且仅当时成立，所以①正确；对于②：，等号当且仅当，即时成立，∴ ② 正确；对于③：由韦达定理，知，∴ ③ 错误；对于④：由韦达定理，知，则，解得，∴ ④ 正确；综上，真命题的个数是3，故选：C. 二、填空题5．已知全集为，集合，则________.【答案】【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.【详解】已知全集，集合，得或.故答案为：.6．已知集合，，则___________.【答案】【解析】由题意可得和的交集为方程组的解.【详解】由得解为，根据题意可得：，故答案为：7．若关于x的方程有实数解，则实数k的取值范围是____________.【答案】或【分析】由题设有，解一元二次不等式求解集即可得参数范围.【详解】由题设，，所以或.故答案为：或8．若，则实数____________.【答案】##0.25【分析】利用指数幂的运算性质可得，即可求解.【详解】由题设，即.故答案为：9．已知，，若α是β充分条件，则m的取值范围是________.【答案】，【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式，解出即可．【详解】解：，，若是充分条件，则，，，故，解得：，则的取值范围是，，故答案为：，．10．用反证法证明命题：“若，则或”时，应假设____________.【答案】且【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可.【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾，所以题设命题的证明，应假设且.故答案为：且11．已知一元二次方程的两个实根为，且，则实数m的值为____________.【答案】或【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出关于实数m的方程，解之即可求得实数m的值【详解】一元二次方程的两个实根为，则，则，则，解之得或，经检验符合题意.故答案为：或12．设a、b都为正数，且，则的最小值为________.【答案】1【分析】把变形为：利用已知，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为a、b都为正数，所以有：，当且仅当时取等号，即时取等号，故答案为：13．设关于x的不等式与的解集分别为A、B，则不等式组的解集可以用集合A、B的运算表示为________.【答案】【分析】根据不等式组的解的性质，结合集合补集和交集的定义进行求解即可.【详解】不等式组的含义是且，因为关于x的不等式的解集是A，所以关于x的不等式的解集是，因此不等式组的解集可以用集合A、B的运算表示为，故答案为：14．已知，，试用a、b表示________.【答案】【分析】根据对数式指数式互化公式，结合对数换底公式、对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以，因此有：，故答案为：15．设关于x的方程解集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则________.【答案】【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.【详解】由或，所以或，当时，由，可得，当时，由，可得，因此有，当时，；当时，，故答案为：16．在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】先根据定义化简不等式，再解不等式得，最后根据集合包含关系列不等式，即得结果.【详解】因为不等式的解集是集合的子集，所以故答案为：【点睛】本题考查新定义、解分式不等式、根据集合包含关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 三、解答题17．设为实数，比较与的值的大小.【答案】【分析】利用作差法去比较与的值的大小即可解决【详解】则18．已知集合，集合，求集合A，B，.【答案】；；【分析】先利用绝对值的几何意义化简集合A，再利用分式不等式的解法化简集合B，进而求得【详解】由，可得，则，则由，可得，即，次不等式等价于，解之得，则则19．已知关于x的不等式.(1)若该不等式的解集为或，求实数k的值；(2)若该不等式的解集为空集，求实数k的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据一元二次不等式解集，结合根与系数关系求k的值；（2）由题设及对应二次函数的性质有，即可求解集.【详解】（1）由题设，且是方程的两个根，所以，故，即实数k的值为.（2）由不等式解集为空，则，解得.20．迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5.（1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.【答案】（1）；（2）当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.【分析】（1）由题意知，所以，表示出广告的面积；（2）由（1）可得，利用基本不等式可得出广告面积的最小值．【详解】（1）由栏目高与宽（），可知， 广告的高为，宽为(其中)广告的面积（2）由，所以当且仅当，即时取等号，此时.故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21．设关于x的不等式和的解集分别为A和B.(1)求集合A；(2)是否存在实数a，使得？如果存在，求出a的值，如果不存在，请说明理由；(3)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)或(2)不存在，详见解析；(3)或 【分析】（1）利用一元二次不等式解法即可求得集合A；（2）先按实数a分类讨论化简集合B，再利用列出关于实数a的不等式组，解之即可求得a的值；（3）先依据列出关于实数a的不等式组，解之即可求得a的取值范围.【详解】（1）由，可得则不等式的解集为或则集合或（2）由，可得①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为④当或时，，不等式的解集为又或，若则或或三个不等式组均无解故不存在实数a，使得（3）若， 则或或由，可得；由，可得；由，可得综上，实数a的取值范围是或