2022-2023学年上海奉贤区致远高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海奉贤区致远高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则中的最大元素是（    ）

A．2014 B．2015 C．2016 D．以上答案都不对

【答案】A

【分析】由题意可知集合表示整数的3倍且大1的数的集合，则找出集合中符合条件的最大元素即可.

【详解】因为集合，表示整数的3倍且大1的数的集合，，

所以中的最大元素为2014，

故选：A

2．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数幂的运算逐一判断即可得到结果.

【详解】∵，∴A错误；

∵，不是同类项，∴，∴B错误；

∵，∴C错误；

∵，∴D正确，

故选:D．

3．下列五个写法：①；②；③；④；⑤

其中错误写法的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据空集的定义，以及元素与集合，集合与集合的关系即可逐一判断.

【详解】对于①; ，故错误，

对于②；空集是任意集合的子集，故，故正确，

对于③；任意集合是自身的子集，故，故正确，

对于④，空集是不含任何元素的集合，故错误，

对于⑤，0是元素，空集是集合，两者不可以求交集，故错误，

故选：C

4．古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是（    ）（参考数据：，，，，，）

A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米

【答案】D

【分析】根据题意设设米，，从而表示出M与K间的距离、C与F间的距离，列出不等式求解后比较各选项即可.

【详解】设米，，

因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，

所以，

，

又因为M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，

所以，解得，

比较各选项可知该古建筑中A与B间的距离可能是27.4米.

故选：D

二、填空题

5．已知，则实数为______.

【答案】或

【分析】根据元素和集合的关系判断即可.

【详解】解：因为，所以或.

故答案为：或.

6．设，，，则实数的值是______.

【答案】8

【分析】根据全集，补集概念得即可解决.

【详解】由题知：，，，

所以 ，得 ，

故答案为：8.

7．“所有偶数都不是素数”是______命题.（填“真”或“假”）

【答案】假

【分析】由2既是偶数又是素数即可解决.

【详解】所有偶数都不是素数，是错的，例如2既是偶数又是素数.

故答案为：假.

8．已知，化简：=____．（用分数指数幂表示）

【答案】##

【分析】将根式化为分数指数幂，再进行相关计算.

【详解】.

故答案为：

9．若，那么____.(用“>或<或=”填空)

【答案】

【解析】利用不等式的性质可得答案

【详解】解：因为，所以，

所以，即，

因为，所以，即，

故答案为：

【点睛】此题考查不等式性质的应用，属于基础题

10．已知，，若，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】根据子集概念，即可得到结果.

【详解】∵，，若，

∴，

故答案为：

11．通过三角不等式可知，则等号成立的条件为______.

【答案】

【分析】根据三角不等式的定义结合一元二次不等式的解法即可得出答案.

【详解】解：由三角不等式可知，

当且仅当，即时，取等号，

所以等号成立的条件为为.

故答案为：.

12．若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】由题设条件得到抛物线的图象特点，即可求得不等式的解集

【详解】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，

故不等式的解集为．

故答案为：

13．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.

【答案】6

【分析】设矩形空地的长为m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.

【详解】设矩形空地的长为m，则宽为m，

依题意可得，试验区的总面积，

当且仅当即时等号成立，

所以每块试验区的面积的最大值为.

故答案为：6

14．关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是________

【答案】

【分析】由题意，分类讨论的范围，先判断时满足条件，当时，再根据，求出的范围，综合即可得出结果.

【详解】解：关于的不等式组的解集不是空集，，

当时，满足不等式组的解集不是空集，满足条件；

当时，不等式组，即，

它的解集不是空集，

，即，即，，

综上可得，的范围为，，，

故答案为：，，.

【点睛】本题考查根据不等式组的解集求参数范围，以及一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.

15．如果不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是________.

【答案】

【分析】根据题意，由根与系数的关系式，即可求出不等式中m,n与a,b,c的关系，由此求出不等式的解集.

【详解】关于x的不等式的解集是

关于的不等式可化为：

且：

又，

不等式的解集为：.

【点睛】本题考查了含参的一元二次不等式的解法以及根与系数关系，考查了学生综合分析，转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.

16．已知，记集合，例如，…．现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏，它的激活码为集合A2的各元素之和，则该游戏的激活码为________．

【答案】22

【分析】由已知得或，由此求得集合，故而可得答案.

【详解】解：由已知得或，

所以当时，；

当时，；

当时，，

当时，，

所以，该游戏的激活码为，

故答案为：22.

三、解答题

17．设，，，.

(1)求a、b的值及A、B；

(2)求.

【答案】(1)，，，；

(2).

【分析】（1）根据得到，将代入方程，求出，，从而求出A、B；

（2）求出，从而得到.

【详解】（1）因为，故，

所以，，

解得：，，

故，；

（2），.

18．已知幂函数的图像与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出函数的图像.

【答案】或 图像见解析

【分析】先由题得，再根据幂函数的奇偶性得到或．再画出幂函数的图象.

【详解】幂函数的图像与x轴、y轴都无交点，，即．

又，，1，2．

幂函数的图像关于y轴对称，

或．

当时，幂函数为，图像如图①所示；

当时，幂函数为，图像如图②所示．

【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查幂函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.

(1)根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；

(2)请你运用（1）中的对数运算性质计算的值；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设，化为指数式，取对数即可得出．

（2）利用（1）中的性质计算可得.

【详解】（1）证明：因为，且，，设，所以，

所以，

所以，即．

（2）解：.

20．己知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.

(1)若，求P

(2)若，求的值；

(3)若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1)将代入不等式，将分式不等式化为一元二次不等式，解之即可；

(2)将分式不等式转化为一元二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数的关系可得；

(3)分别确定集合与，根据命题的充分必要性可得集合与的包含关系，进而可得实数的取值范围.

【详解】（1）因为，所以不等式可化为，

也即，解得：，故.

（2）由不等式可化为，因为关于的不等式的解集为，

所以和是方程的两根，

所以.

（3）因为不等式可化为：，解得：，所以,又因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，

当时，，满足题意；

当时，，要使是的真子集，则有，所以；

当时，，满足是的真子集，

当时，，满足是的真子集，

当时，，满足是的真子集，

综上所述：实数的取值范围为.

21．已知一元二次方程的两个实根为，；

(1)若，，求的值；

(2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2；

(3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围.

【答案】(1)1

(2)证明见解析

(3)

【分析】(1)结合已知条件，利用韦达定理首先判断与的符号，进而即可求出的值；(2)首先假设，都小于2，结合已知条件和韦达定理可得和同号，且，再结合和的范围推出矛盾即可证明；(3)首先利用判别式求出的范围，然后结合已知条件并利用韦达定理求解即可.

【详解】（1）当，时，的两个实根为，，

由韦达定理可得，，，

即，，

故.

（2）证明：假设，都小于2，

由，可知，，且与异号，

由韦达定理可知，，，则与同正，

此时，则，

又因为，都小于2，所以，这与矛盾，

故假设不成立，从而，中至少有一个大于等于2.

（3）由可知，，

从而方程等价于，

由题意可知，且，即，

故，解得或，

又因为，所以的取值范围为，

又因为，是方程的实根，

所以，即，

从而或，解得或，

故实数m的取值范围为.