2022-2023学年湖南省株洲市五雅中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省株洲市五雅中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．集合的子集为（    ）

A．，，

B．，，，

C．，，，

D．，，，，，，，

【答案】D

【分析】根据子集的含义即可得到答案，注意不忘空集.

【详解】根据子集的含义和，写出其以下子集：

故选：D

2．已知集合，则（    ）

A．3} B． C． D．}

【答案】C

【分析】根据集合并集概念求解.

【详解】解：因为集合，所以，

故选：C.

3．设全集，，，则（    ）

A． B．{4}

C．{1,5} D．{2,5}

【答案】A

【分析】由题意，根据集合补集以及交集的定义，可得答案.

【详解】∵，，，

∴，∴

故选：A.

4．已知p：，q：，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也必要条件 D．无法判断

【答案】B

【分析】首先分别解出命题和命题的方程，然后根据其真子集关系即可判断出是的必要不充分条件.

【详解】解得或，解得，则命题所表示的集合真包含命题所表示的集合，故是的必要不充分条件，

故选：B.

5．若，，则的大小关系是(　　)

A． B． C． D．与的值有关

【答案】B

【分析】利用作差法，可得，从而可得结论.

【详解】∵

，

∴.故选B.

【点睛】本题主要考查“作差法”比较两个数的大小，属于简单题. 比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.

6．能得出＜成立的是（　　）

A．0＞b＞a B．b＞a＞0 C．a＞0＞b D．a＞b＞0

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合不等式的基本性质，即可容易判断.

【详解】由＜得﹣＝＜0，

则当a＞b＞0时，不等式＜0成立，

其余选项均不成立，

故选：D．

【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.

7．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．

8．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为､､，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【解析】由公式列出面积的表达式，代入已知，然后由基本不等式求得最大值．

【详解】由题意

，

当且仅当，即时等号成立﹐

此三角形面积的最大值为3.

故选：B．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

二、多选题

9．设U为全集，是U的两个非空子集，且，则下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用维恩图，结合集合的交并补的含义即可一一判断.

【详解】由题不为空集，所以A错误,

当时,满足,但B错误,

,,C正确，D错误，

故选：ABD.

10．下列命题正确的有（    ）

A．命题p：，，则：，

B．“三角形外角和为”是含有全称量词的真命题

C．“至少存在一个实数x，使得”是含有存在量词的真命题

D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是存在量词命题

【答案】BC

【分析】根据命题的否定即可判断A选项结论的否定错误，根据全称量词和存在量词命题的含义以及真假命题的判定即可判断B,C,D选项.

【详解】对A，根据命题的否定得，，，故A错误；

对B，“三角形外角和为360度”的含义是“所有三角形外角和为360度”,是含有全称量词的命题,且为真命题,故B正确;

对C，“至少存在一个实数,使得”是含有存在量词的真命题，故C正确;

对D，“能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除”的含义是“所有能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除”,是全称量词命题,故D错误.

故选：BC.

11．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ）

A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0

C．ax2+4x-7>0 D．x2<0

【答案】BD

【分析】利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.

【详解】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.

故选：BD.

12．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值是1

B．的最小值是2

C．的最小值是4

D．的最小值是

【答案】ABD

【解析】多项选择题需要对选项一一验证；用均值不等式判断A，对B、D进行“1的代换”，对C取特殊值进行验证.

【详解】由，得，所以(当且仅当时取等号)，故A正确；(当且仅当时取等号)故B正确；

∵，∴(当且仅当时取等号)，故C错误；(当且仅当时取等号)，故D正确.

故选ABD.

【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；

（2）易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

三、填空题

13．命题“，使”是真命题，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】可根据题意得出“，恒成立”，然后根据即可得出结果.

【详解】因为命题“，使”是真命题，

所以，恒成立，即恒成立，

因为当时，，所以，的取值范围是，

故答案为：.

14．设集合，，那么“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要"）.

【答案】充分不必要

【解析】根据集合的包含关系直接得到答案.

【详解】，，，

故“”是“”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的理解能力，转化为集合的包含关系是解题的关键.

15．已知,,则的取值范围为__________.

【答案】

【分析】由可以推出，由不等式的性质可以得到的取值范围.

【详解】，而，根据不等式的性质可得

，所以的取值范围为.

【点睛】本题考查了不等式的性质.不等式的性质中没有相除性，可以利用相乘性进行转化，但是应用不等式相乘性时，要注意不等式的正负性.

16．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】由题知，进而根据基本不等式求解即可.

【详解】解：因为关于的不等式的解集为，

所以是方程的实数根，

所以，

因为，

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是

故答案为：

四、解答题

17．求解下列不等式解集：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可得到解集为;

（2）根据解分式不等式的方法，移项，通分，将题目转化为即且，解出不等式即可.

【详解】(1)原不等式可化为，因为，所以方程无实根．又二次函数的图象开口向上，

所以原不等式的解集为．

(2)原不等式可化为，即，即且，

故原不等式的解集为．

18．已知命题“使不等式成立”是假命题

（1）求实数m的取值集合A；

（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）本题首先可根据题意得出命题的否定“，不等式”成立是真命题，然后根据或求解即可；

（2）本题可根据题意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.

【详解】（1）因为命题 “，不等式”成立是假命题，

所以命题的否定 “，不等式”成立是真命题，

所以或，解得或，

集合；

（2）因为，即，

所以，

因为是集合的必要不充分条件，

所以令集合，则集合是集合的真子集，

即，解得，所以实数的取值范围是.

19．求证：是等边三角形的充要条件是.这里是的三条边．

【答案】详见解析

【分析】先证明充分性，然后证明必要性.

【详解】先证明充分性：

由，

即，

所以，

所以，三角形为等边三角形.

然后证明必要性.

当三角形是等边三角形时，，所以.

综上所述，是等边三角形的充要条件是.

【点睛】本小题主要考查充要条件的证明，需要证明充分性和必要性，属于基础题.

20．（1）若不等式对一切恒成立，求a的取值范围；

（2）解关于x的不等式．

【答案】（1）；（2）答案见解析

【分析】（1）分和两种讨论即可；

（2）首先对原不等式进行因式分解为，然后结合函数图像，首先考虑时，对时，结合二次函数图像进行合理分类讨论即可.

【详解】（1）①当a＝0时，2x＜0，此时x＜0，与矛盾，则舍去；

②当时，此时，即；

则a的取值范围为；

（2）不等式可化为，

（i）当时，不等式化为，解得；

（ii）当时，不等式化为，解得或；

（iii）当时，不等式化为，解得；

（iv）当时，不等式化为，解得或；

（v）当时，不等式化为，解得；

综上，时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为或

时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为或；

时，不等式的解集为．

21．已知关于x的不等式的解集为或．

(1)求实数a，b的值；

(2)若正实数x，y满足，，求t的最小值．

【答案】(1)实数a，b的值分别为1，4

(2)．

【分析】（1）根据一元二次不等式解的结果，利用韦达定理得到关于的方程，解出即可；

（2）利用基本不等式中乘“1”法得到的最值，最后注意取等条件.

【详解】(1)由题意,1,4为方程的根，

所以，解得，

∴实数a，b的值分别为1，4．

(2)由（1）知，∵x＞0，y＞0，x＋y＝2，

∴，

当且仅当，即，时，等号成立．∴t的最小值为．

22．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣0.8x%）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

【答案】（1）750名；（2）.

【分析】（1）根据题意列式，解得结果即可；

（2）根据题意列式，转化为在时恒成立，再根据基本不等式可得解.

【详解】（1）由题意，得，

即,又，所以，

即最多调整出750名员工从事第三产业.

（2）从事第三产业的员工创造的年利润为万元，

从事原来产业的员工的年总利润为万元，

则，

所以，

所以，即在时恒成立，

因为，当且仅当，

即时等号成立，，

又，

的取值范围为.

【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式求最值，属于中档题.