2022-2023学年北京市第四十四中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市第四十四中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．U

【答案】A

【分析】由补集定义计算．

【详解】由已知．

故选：A．

2．已知集合A=，B=，则

A．AB= B．AB

C．AB D．AB=R

【答案】A

【详解】由得，所以，选A．

点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．

3．方程组的解集是（　　）

A．{(1，﹣1),(﹣1，1)} B．{(1，1),(﹣1，﹣1)}

C．{(2，﹣2),（﹣2，2)} D．{(2，2),(﹣2，﹣2)}

【答案】A

【解析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．

【详解】方程组的解为或，

其解集为　．

故选：A．

【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为，一个解可表示为．

4．下列集合表示空集的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空集的概念判断即可.

【详解】解：对于A：因为方程无实数根，所以，故A正确；

对于B：集合含有一个元素的集合，故B错误；

对于C：集合含有一个元素的集合，故C错误；

对于D：不是一个集合，故D错误；

故选：A

5．设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】等价于，故推不出；

由能推出．

故“”是“”的必要不充分条件．

故选B．

【点睛】充要条件的三种判断方法：

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

6．已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是（    ）

A．ab>ac B．c(b－a)<0

C．cb2<ab2 D．ac(a－c)>0

【答案】A

【分析】根据已知条件，求得的正负，再结合，则问题得解.

【详解】由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.

由b>c，得ab>ac一定成立，即正确；

因为，故，故错误；

若时，显然不满足，故错误；

因为，故，故错误.

故选：.

【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.

7．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】由题意：钱大姐常说“好货不便宜”，可得“好货” “不便宜”，故必要性成立，

但没说“不便宜的是好货”，故“不便宜” “好货”，故充分性不成立，

“不便宜”是“好货”的必要不充分条件；

故选：B

8．已知集合,则中所含元素的个数为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】列举法得出集合，共含个元素．

故答案选

9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为  （ ）

A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙

【答案】A

【分析】利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．

【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．

10．对任意,的最小值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故选C.

【解析】含绝对值不等式性质

11．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为关于x的不等式的解集为，

所以，又，

所以，

解得，因为，所以.

故选：A.

12．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：

①2011∈[1]；

②﹣3∈[3]；

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．

其中，正确结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】试题分析：根据题中“类”的理解，在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，

对于各个结论进行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵﹣3÷5=0…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可．

解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对；

②∵﹣3=5×（﹣1）+2，∴对﹣3∉[3]；故②错；

③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；

④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④对．

∴正确结论的个数是3．

故选C．

点评：本题主要考查了选修3同余的性质，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属于创新题．

二、填空题

13．如果集合，，那么集合______．

【答案】

【分析】由定义确定集合，再由并集定义计算，

【详解】由已知，所以．

故答案为：．

14．方程的解集为M，方程的解集为N，且，那么_________.

【答案】21

【详解】试题分析：由，因为2是方程的根，4-2+6=0，；

又因2是方程的根，4+12-=0，；

【解析】1.交集的定义；2.已知一元二次方程的根反求系数

15．命题“”的否定是__________．

【答案】

【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.

【详解】原命题：是全称量词命题，

其否定是存在量词命题，即：.

故答案为：

16．已知，则函数的最小值为____________ .

【答案】-2

【详解】解析：，当且仅当时，

17．已知，是方程的两根，则______．

【答案】

【分析】由一元二次方程根与系数的关系计算．

【详解】由题意，，

所以．

故答案为：．

18．某班有学生32人，其中体育爱好者有16人，音乐爱好者有17人，还有3人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为______．

【答案】4

【分析】根据容斥原理计算．

【详解】设该班既爱好体育又爱好音乐的人数为，由容斥原理得，解得．

故答案为：4．

19．在R上定义运算，则满足的实数x的取值范围是____________

【答案】

【解析】由新定义转化条件为，解一元二次不等式即可得解.

【详解】由题意，，即，解得，

所以实数x的取值范围是.

故答案为：.

20．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种.

【答案】

【详解】试题分析：若集合中分别有一个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有四个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有四个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；总计有种．故答案应填：．

【解析】组合及组合数公式．

【方法点睛】解法二：集合中没有相同的元素，且都不是空集，从个元素中选出个元素，有种选法，小的给集合，大的给集合；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；总计为种方法．根据题意，中最小的数大于中最大的数，则集合中没有相同的元素，且都不是空集，按中元素数目这和的情况，分种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用，考查分类讨论的数学思想，属于压轴题．

三、解答题

21．已知只有一个元素，求a的值，并求出这个元素．

【答案】当时集合只有一个元素，当时集合只有一个元素；

【分析】依题意集合表示方程的解集，分和两种情况讨论，分别求出参数的值及所对应的集合；

【详解】解：因为表示方程的解集，又集合只有一个元素，

当时方程只有一个解，即，符合题意；

当时，则，解得，此时方程，解得，

所以，符合题意；

综上可得当时集合只有一个元素，当时集合只有一个元素；

22．记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q．

(1)若a＝－3，求集合P；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合二次不等式的求解求出P，

（2）结合绝对值不等式的求解求出Q，然后结合集合之间的包含关系即可求解．

【详解】(1)当时，原不等式可转化为，解得，

.

(2)由可得，即解集为，

当时，，满足题意；

当时，，，；

当时，，，；

综上，a的范围．

23．已知，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：

(1)；（用含a的代数式表示）

(2)写出一个“该方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件．

【答案】(1)；

(2)(答案不唯一).

【分析】（1）根据韦达定理可得，进而即得；

（2）由方程有一个正根和一个负根可得，然后根据充分条件，必要条件的定义即得.

【详解】(1)因为，是方程的两根，

所以，

所以；

(2)若方程有一个正根和一个负根，则，即，

当时，，可得该方程有一个正根和一个负根，

而方程有一个正根和一个负根推不出，

故“”是“该方程有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件.

24．设是一个非空集合，由的一切子集（包括，自身）为元素构成的集合，称为的幂集，记为．

(1)当时，写出；

(2)证明：对任意集合，都满足；

(3)设是个两位数字形成的集合，证明：中必有两个的子集，其元素的数值和相等．

【答案】(1)

(2)见解析；

(3)见解析.

【分析】（1）依题意，写出所有子集即可；

（2）利用集合相等的定义，证明两个集合相互包含即可；

（3）利用反证法，先假设任意两个X的子集，其元素的数值和不等，推出矛盾.

【详解】(1)为所有的子集作为元素所构成的集合，于是；

(2)设集合为中的任一元素，则，故

，且，于是，故，于是，另一方面，设集合为中的任一元素，故，于是且，即且，所以，于是.于是根据集合相等的定义可知，

(3)假设中任意两个元素，其元素的数值和不相等，由于是个元素构成的集合，那么中共有个元素，根据假设，那么这个元素的和各不一样，但个两位数最大可能的数值和是，与假设矛盾，故中必有两个X的子集，其元素的数值和相等