2022-2023学年北京市延庆区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年北京市延庆区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共42页。试卷主要包含了选一选，填 空 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市延庆区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(本大题共6小题，每小题3分，共18分．)
1. 如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它周长是（ ）．
A. 17 cm B. 22cm C. 17或22 cm D. 无法确定
2. 下列轴对称图形中，对称轴条数至少的是（　　）
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆
3. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件没有能证明△ABC≌△DCB的是（ ）

A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD
4. 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，则三角形是(　　)
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
5. 如图，∠A=80°，点 O 是 AB，AC 垂直平分线的交点，则∠BCO 的度数是（ ）

A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
6. 如图，在中，，，平分交于点，于点，下列结论：①；②；③；④点在线段的垂直平分线上，其中正确的个数有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7. 如图，OC 是∠BOA 的平分线，PE⊥OB，PD⊥OA，若 PE=4，则 PD=________．

8. 如图所示是某零件的平面图，其中∠B=∠C=30°，∠A=40°，则∠ADC 的度数为_____．

9. 若点C(－1，2)关于x轴的对称点为点A，关于y轴的对称点为点B，则△ABC的面积是________．
10. 如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1的大小为______°．

11. 如图，在中，，，的平分线交于点，，交的延长线于点，若，则_____．
12. 已知以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A，B，C，D按顺时针方向排列)中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝100°，∠CAD＝40°，则∠BCD的度数为____________．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13. 如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD，求证：AB＝BE.

14. 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2)若BC＝4，求△BCD的周长．

15. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．

16. 如图，AD为△ABC中线，BE为△ABD的中线．
(1)用圆规和无刻度的直尺在△BED中作BD边上的高EF；
(2)若△ABC的面积为40，BD＝5，求EF的长．

17. 如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图．
(1)在图①中画一个直角三角形；
(2)在图②中画出∠ACE的平分线．

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18. 如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成△AEF、△BGH、△CMN、△DPQ，求∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N+∠P+∠Q的度数．

19. 如图，△ABC的三个顶点均在网格小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形，请你分别在图①、图②、图③的网格中画出一个和△ABC关于某条直线对称的格点三角形，并画出这条对称轴．

20. 如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°
(1)求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．
22. 如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，点F在边AC上，若∠CAB＋∠BDF＝180°.求证：DF＝DB.

六、(本大题共12分)
23. 如图①，已知线段AC∥y轴，点B象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连接OB，OC.
(1)判断△AOG的形状，并予以证明；
(2)若点B，C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；
(3)在(2)条件下，如图②，点M为OA上一点，且∠ACM＝45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为(3，1)，求点M的坐标．




























2022-2023学年北京市延庆区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(本大题共6小题，每小题3分，共18分．)
1. 如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（ ）．
A. 17 cm B. 22cm C. 17或22 cm D. 无法确定
【正确答案】B

【详解】当腰长为4cm时，则9、4、4无法构成三角形，则三角形的三边长为9、9、4，则周长为22cm．
故选：B
2. 下列轴对称图形中，对称轴条数至少的是（　　）
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆
【正确答案】A

【详解】A 3条，B 4条，C 6条，D 无数条，故选A
3. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件没有能证明△ABC≌△DCB的是（ ）

A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD
【正确答案】D

【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项没有合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项没有合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项没有合题意；
D．添加AC=BD没有能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
4. 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，则三角形是(　　)
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【正确答案】D

【详解】分析：首先设∠C=2x°，从而得出∠A=∠B=x°，根据三角形内角和定理求出x的值，从而得出△ABC的形状．
详解：设∠C=2x°，则∠A=∠B=x°，∴x+x+2x=180°， 解得：x=45°，
∴∠A=∠B=45°， ∠C=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形．
点睛：本题主要考查的是三角形内角和定理以及三角形形状的判定，属于基础题型．明确三角形内角和定理是解决这个问题的关键．
5. 如图，∠A=80°，点 O 是 AB，AC 垂直平分线的交点，则∠BCO 的度数是（ ）

A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
【正确答案】D

【详解】连接OA、OB,

，
，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
，
，
∵OB=OC，
，
故选：D.
线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
6. 如图，在中，，，平分交于点，于点，下列结论：①；②；③；④点在线段的垂直平分线上，其中正确的个数有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】A

【分析】首先求出∠C=30°，∠ABC=60°，再根据角平分线的定义，直角三角形30°角的性质，线段的垂直平分线的定义一一判断即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，
∴∠C=30°，∠ABC=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=30°，
∴∠EBC=∠C，
∴EB=EC，
∴AC-BE=AC-EC=AE，故①正确，
∵EB=EC，
∴点E在线段BC的垂直平分线上，故④正确，
∵AD⊥BE，
∴∠BAD=60°，
∵∠BAE=90°，
∴∠EAD=30°，
∴∠EAD=∠C，故②正确，
∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，
∴AB=2AD，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴BC=2AB=4AD，故③正确，
故选A．
本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的定义，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7. 如图，OC 是∠BOA 的平分线，PE⊥OB，PD⊥OA，若 PE=4，则 PD=________．

【正确答案】4

【详解】分析：根据角平分线的性质、垂直的定义以及OP=OP得出△OPE和△OPD全等，从而得出PD=PE=4．
详解：∵OC平分∠BOA， PE⊥OB，PD⊥OA， ∴∠EOP=∠DOP，∠OEP=∠ODP=90°，
又∵OP=OP， ∴△OPE≌△OPD， ∴PD=PE=4．
点睛：本题主要考查的是三角形全等的证明与性质，属于基础题型．得出三角形全等是解决这个问题的关键．
8. 如图所示是某零件平面图，其中∠B=∠C=30°，∠A=40°，则∠ADC 的度数为_____．

【正确答案】100°

【分析】连接BD并延长至E，根据三角形外角的性质得出∠ADE=∠A+∠ABD，∠CDE=∠C+∠CBD，从而得出∠ADC的度数．
【详解】连接BD并延长至E，
根据三角形外角的性质可得：∠ADE=∠A+∠ABD，∠CDE=∠C+∠CBD，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠A+∠C+∠ABD+∠CBD=∠A+∠C+∠ABC=100°．

本题主要考查的是三角形外角的性质，属于基础题型．将四边形转化为两个三角形是解决这个问题的关键．
9. 若点C(－1，2)关于x轴的对称点为点A，关于y轴的对称点为点B，则△ABC的面积是________．
【正确答案】4

【详解】分析：首先根据轴对称的性质得出点A和点B的坐标，然后得出△ABC为直角三角形，求出AC和BC的长度，从而根据三角形的面积计算法则得出答案．
详解：根据题意可得：点A的坐标为(－1，－2)， 点B的坐标为(1，2)，
∴∠ACB=90°，AC=4，BC=2， ∴．
点睛：本题主要考查的是轴对称的性质以及三角形的面积计算法则，属于基础题型．根据轴对称得出三角形的性质及边长是解决这个问题的关键．
10. 如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1的大小为______°．

【正确答案】108°

【分析】首先判断出里面的小的五边形也是正五边形，然后根据正多边形的内角计算公式即可得出答案．
【详解】∵正五边形的内角和为（5－2）×180°=540°，
∴∠1=540°÷5=108°．
故答案：108
本题主要考查的是正多边形的内角计算公式，属于基础题型．得出小五边形为正五边形是解题的关键．
11. 如图，在中，，，的平分线交于点，，交的延长线于点，若，则_____．
【正确答案】4

【分析】首先延长CE和BA交于F，由BD平分∠ABC得出∠CBE=∠ABE=∠FBE，又由CE⊥BD即CE⊥BE，得出∠BEC=∠BEF=90°，然后加上BE=BE，即可判定△BEC≌△BEF(ASA)得出CE=EF=CF，再通过等角转换得出∠F=∠CDE，由对顶角相等∠BDA=∠CDE，进而得出∠BDA=∠F，∠FAC=∠DAB=90°，加上AB=AC，判定△ABD≌△ACF(AAS)，得出BD=CF=2CE，即可得解.
【详解】延长CE和BA交于F，如图所示

∵BD平分∠ABC
∴∠CBE=∠ABE=∠FBE
∵CE⊥BD即CE⊥BE
∴∠BEC=∠BEF=90°
∵BE=BE
∴△BEC≌△BEF(ASA)
∴CE=EF=CF
∵∠BAC=90°，那么∠FAC=∠CED=90°
∴∠CDE=90°-∠ACF
∠F=90°-∠ACF
∴∠F=∠CDE
∵∠BDA=∠CDE(对顶角相等）
∴∠BDA=∠F
∵∠FAC=∠DAB=90°
AB=AC
∴△ABD≌△ACF(AAS)
∴BD=CF=2CE
即CE=BD=4
故答案为4.
此题主要考查三角形全等的判定以及性质的运用，熟练掌握，即可解题.
12. 已知以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A，B，C，D按顺时针方向排列)中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝100°，∠CAD＝40°，则∠BCD的度数为____________．
【正确答案】80°或100°

【分析】作出图形，证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，分类讨论可得解.
【详解】∵AB＝BC，∠ABC＝100°，
∴∠1＝∠2＝∠CAD＝40°，
∴AD∥BC.点D的位置有两种情况：
如图①，过点C分别作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∵∠1＝∠CAD，
∴CE＝CF，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴∠ACE＝∠ACF.
在Rt△BCE与Rt△DCF中，，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠ACD＝∠2＝40°，
∴∠BCD＝80°；

如图②，
∵AD′∥BC，AB＝CD′，
∴四边形ABCD′是等腰梯形，
∴∠BCD′＝∠ABC＝100°，
综上所述，∠BCD＝80°或100°，
故答案为80°或100°.
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，本题关键是证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，同时注意分类思想的应用．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13. 如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD，求证：AB＝BE.

【正确答案】证明见解析

【详解】试题分析：求线段相等，可把线段放进两个三角形中，求解三角形全等，由全等，即可得出线段相等．
试题解析：证明：∵∠1=∠2，
∴∠ABD=∠EBC，
∵∠3=∠4，
∴∠A=∠E，
又∵EC=AD，
∴△ABD≌△EBC.
∴AB=BE.

14. 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2)若BC＝4，求△BCD的周长．

【正确答案】（1）3；（2）9.

【分析】(1)根据中垂线的性质得出BD=AD，根据△BCD的周长以及AC的长度得到BC的长度；
(2)同题同样的方法求出△BCD的周长.
【详解】(1)∵DE是AB的垂直平分线 ∴ BD=AD
∴△BCD的周长为:BD+DC+BC=AD+CD+BC=AC+BC=8
∵AB=AC=5 ∴BC=8-5=3.
(2)∵DE是AB的垂直平分线
∴BD=AD
∴ △BCD的周长为：BC+BD+CD=AD+CD+BC=AC+BC=4+5=9.
15. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．


【正确答案】∠C＝78°

【分析】由AD是BC边上的高，∠B=42°，可得∠BAD=48°，在由∠DAE=18°，可得∠BAE=∠BAD-∠DAE=30°，然后根据AE是∠BAC的平分线，可得∠BAC=2∠BAE=60°，根据三角形内角和定理即可推出∠C的度数．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，∠B=42°，
∴∠BAD=48°，
∵∠DAE=18°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=30°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=60°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=78°．
16. 如图，AD为△ABC中线，BE为△ABD的中线．
(1)用圆规和无刻度的直尺在△BED中作BD边上的高EF；
(2)若△ABC的面积为40，BD＝5，求EF的长．

【正确答案】（1）见解析；（2）4.

【详解】试题分析：（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）利用三角形中线的性质得出S△BDE=S△ABC，进而借助三角形面积公式求出即可．
解；（1）如图所示：

（2）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
∴S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD，
∴S△BDE=S△ABC，
∵△ABC的面积为40，BD=5，
∴×5×EF=10，
∴EF=4．
考点：作图—复杂作图；三角形的面积．
17. 如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图．
(1)在图①中画一个直角三角形；
(2)在图②中画出∠ACE的平分线．

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）直接利用等边三角形的性质菱形的性质得出△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
（2）利用菱形的判定与性质得出△AFG≌△EFH，得出FG=FH，进而角平分线的判定得出答案．
解：（1）如图①所示：连接AE，
∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形，
∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC，
∴∠ADC=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°，
则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
（2）如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，
则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H，
则FG⊥AC，FH⊥BC，
由（1）得：∠BEC=∠DAC，∠AEF=∠EAF，
则AF=EF，
在△AFG和△EFH中
∵∠AGF=∠FHE,
∠GFA=∠HFE,
AF=EF,
∴△AFG≌△EFH（AAS），
∴FG=FH，
由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，GF为所作的角平分线．

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18. 如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成△AEF、△BGH、△CMN、△DPQ，求∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N+∠P+∠Q的度数．

【正确答案】360°

【分析】根据三角形外角的性质可得∠FAB=∠E+∠F，∠HBC=∠G+∠H，∠DCN=∠M+∠N，∠QDA=∠P+∠Q，继而根据四边形外角和为360度进行求解即可.
【详解】由三角形外角的性质可得：
∠FAB=∠E+∠F，∠HBC=∠G+∠H，∠DCN=∠M+∠N，∠QDA=∠P+∠Q，
∵四边形的外角和为360°，
∴∠FAB+∠HBC+∠DCN+∠QDA=360°，
∴∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N+∠P+∠Q=360°．
19. 如图，△ABC的三个顶点均在网格小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形，请你分别在图①、图②、图③的网格中画出一个和△ABC关于某条直线对称的格点三角形，并画出这条对称轴．

【正确答案】答案见解析

【分析】首先画出对称轴，然后根据轴对称图形的性质画出图形即可．
【详解】解：如图所示．

本题主要考查的是画轴对称图形，属于基础题型．解题的关键就是画出每一个图形的对称轴，然后根据对称轴进行画图．
20. 如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.
(1)求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

【正确答案】（1）△ABC是等腰三角形，∠B＝40°；（2）见解析.

【详解】分析：(1)、根据Rt△ADE的内角和得出∠DAC=70°，根据平行线的性质得出∠C=70°，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰三角形底边上的三线合一定理得出DB为顶角的角平分线．
详解：解：(1)∵DE⊥AC于点E，∠D＝20°，∴∠CAD＝70°， ∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝70°， 又∵∠BAC＝70°，∴∠BAC＝∠C，∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－70°－70°＝40°.
(2)∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线．
点睛：本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，属于基础题型．明确等腰三角形底边上的三线合一定理是解决这个问题的关键．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．
【正确答案】底边长为4cm，腰长为10cm.

【分析】根据题意画出图形，设△ABC的腰长为xcm，则AD＝DC＝xcm，然后根据AB+AD=9和AB+AD=15两种情况分别求出底边和腰长，根据三角形的三边关系进行判定是否能够构成三角形，从而得出答案．
【详解】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线．
设△ABC的腰长为xcm，则AD＝DC＝xcm.
分下面两种情况解：
①AB＋AD＝x＋x＝9， ∴x＝6. ∵三角形的周长为9＋15＝24(cm)，
∴三边长分别为6cm，6cm，12cm. 6＋6＝12， 没有符合三角形的三边关系，舍去；
②AB＋AD＝x＋x＝15， ∴x＝10. ∵三角形的周长为24cm，
∴三边长分别为10cm，10cm，4cm，符合三边关系．
综上所述，这个等腰三角形的底边长为4cm，腰长为10cm.

本题主要考查的是等腰三角形的性质以及分类讨论思想的应用，属于中等难度的题型．学会分类讨论是解决这个问题的关键．
22. 如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，点F在边AC上，若∠CAB＋∠BDF＝180°.求证：DF＝DB.

【正确答案】见解析.

【详解】分析：在AB上截取AE＝AF，根据角平分线和公共边得出△ADF和△ADE全等，从而得出DF=DE，根据∠CAB＋∠BDF＋∠5＋∠B＝360°，∠CAB＋∠BDF＝180°，得出∠5＋∠B＝180°，根据平角的性质以及∠5=∠3得出∠B=∠4，从而得出答案．
详解：解：如图，在AB上截取AE＝AF，∵AD平分∠CAB，∴∠1＝∠2，
在△ADF和△ADE中，AF=AE，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF≌△ADE(SAS)，
∴DF＝DE，∠5＝∠3，∵∠CAB＋∠BDF＋∠5＋∠B＝360°，∠CAB＋∠BDF＝180°，
∴∠5＋∠B＝180°， 又∵∠3＋∠4＝180°，∠5＝∠3， ∴∠B＝∠4，
∴DB＝DE， ∴DF＝DB．

点睛：本题主要考查的是三角形全等的证明与性质、等腰三角形的判定与性质，难度中上，综合性比较强．作出辅助线构造三角形全等是解决这个问题的关键．
六、(本大题共12分)
23. 如图①，已知线段AC∥y轴，点B在象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连接OB，OC.
(1)判断△AOG的形状，并予以证明；
(2)若点B，C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；
(3)在(2)的条件下，如图②，点M为OA上一点，且∠ACM＝45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为(3，1)，求点M的坐标．

【正确答案】（1）△AOG是等腰三角形；（2）见解析；（3）M(－1，3)．

【详解】分析：(1)、利用已知条件可证明∠GOA=∠GAO，由等腰三角形的判定可得AG=OG，所以△AOG是等腰三角形；(2)、由已知可得BP=CP，因为AC∥y轴，可得GA=GB；根据等腰三角形的性质得出∠GOB=∠GBO，∠AOG=∠OAG，所以∠AOG+∠BOG=∠OAG+∠OBG，即∠AOB=∠OAG+∠OBG，即可求得∠AOB=90°；(2)、先证得BM是∠ABC的平分线，设∠OBC=x，则x+∠POB=90°，而∠POA+∠POB=∠AOB=90°，求得x=∠POA，进一步证得x=∠GAM．根据∠OMB=∠GAM+∠ABM=x+∠ABM=x+∠PBM=∠MBO，得出OB=OM，然后证明出△OMF和△BOH全等，根据点B的坐标得出点M的坐标．
详解：(1)解：△AOG的形状是等腰三角形
证明如下：∵AC∥y轴，∴∠＝∠GOA， ∵AO平分∠BAC，∴∠＝∠GAO，
∴∠GOA＝∠GAO，∴AG＝OG，∴△AOG是等腰三角形．
(2)证明：如图①，连接BC，过点O作OE⊥AB于点E，过点C作CD⊥x轴于点D.
∵B，C关于y轴对称，AC∥y轴，∴OB＝OC，AC⊥BC，∴点A，C，D在同一条直线上．
∵AO为∠CAB的平分线，∴OD＝OE.
在Rt△COD和Rt△BOE中，OD=OE，OC=OB，∴△COD≌△BOE(HL)，∴∠DCO＝∠EBO.
∵∠DCO＋∠ACO＝180°，∴四边形ACOB中，∠ACO＋∠EBO＝180°，
∴∠BAC＋∠BOC＝180°， 设∠BAO＝∠＝x，∠OBC＝∠OCB＝y，
∴2x＋∠BOC＝180°，2y＋∠BOC＝180°，∴x＝y， ∴∠OAC＝∠OBC，
∴∠AOB＝∠ACB＝90°，∴AO⊥OB．
(3)解：如图②，连接BC，过点M作MF⊥x轴于F，过点B作BH⊥x轴于H，
由(2)可知∠ACB＝90°， ∵∠ACM＝45°，∴CM平分∠ACB，
又∵AM平分∠BAC，∴BM平分∠ABC.设∠ABM＝∠CBM＝z，
由(2)可得∠OMB＝x＋z，∠OBM＝y＋z＝x＋z，∴∠OMB＝∠OBM，∴OM＝OB，
∴△OBM为等腰直角三角形． ∵∠BOH＋∠MOF＝90°，∠MOF＋∠FMO＝90°，
∴∠FMO＝∠BOH，
△OMF和△BOH中，∠MFO=∠OHB=90°，∠FMO=∠HOB，OM=OB，∴△OMF≌△BOH(AAS)．
又∵点B的坐标为(3，1)，∴OF＝BH＝1，MF＝OH＝3，∴M(－1，3)．

点睛：本题考查了角平分线的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，题目的综合性强，难度较大．解题的关键是正确添加辅助线．












2022-2023学年北京市延庆区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 已知、均为正整数，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若a＋b＝3，ab＝－7，则的值为（ ）
A. － B. － C. － D. －
3. 如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是（ ）

A. 40° B. 80° C. 90° D. 140°

4. 若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D.
5. 如图，在直角△ABC中，，AB=AC，点D为BC中点，直角绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF等腰直角三角形；② AE=CF；③△BDE≌△ADF；④ BE+CF=EF，其中正确结论是（ ）

A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④

6. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
7. 等腰三角形一边长是5，另一边长是10，则周长为（　　　　）
A. 15 B. 20 C. 20或25 D. 25
8. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF是（ ）


A. AB=DE B. AC=DF C. ∠A=∠D D. BF=EC
9. 下列因式分解正确的是（ ）．
A. m2+n2=(m+n)(m-n) B. x2+2x-1=(x-1)2
C. a2+2a+1=a(a+2)+1 D. a2-a=a(a-1)
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）

A. 80° B. 60° C. 50° D. 40°
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 如图，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD=125°，∠A=75°，则∠B=__________°．

12. 计算：（﹣8）2016×0.1252015=_____．
13 计算：______．
14. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．

15. 如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．

16. 若x2＋bx＋c＝(x＋5)(x－3)，其中b，c为常数，则点P(b，c)关于y轴对称的点的坐标是________．
17. 已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车的单程运行时间缩短了3小时．设原来的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为______________．
18. 如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于Q，PQ＝3，EP＝1，则DA的长是________.

三、解 答 题(共66分)
19. 计算或因式分解：(1)计算：(a2－4)÷；(2)因式分解：a(n－1)2－2a(n－1)＋a.
20. 现要在三角地ABC内建一医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个医院的位置．

21. (1)解方程：－2＝；
(2)设y＝kx，且k≠0，若代数式(x－3y)(2x＋y)＋y(x＋5y)化简的结果为2x2，求k的值．
22. (1)已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2的值；
(2)先化简(-)÷，并回答：原代数式的值可以等于－1吗？为什么？
23. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．
24. 如图，在中，D是BC中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：．
（2）请你判断：与EF的大小关系，并加以证明．

25. 如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M．
（1）求证：BE=AD；
（2）直接用含α的式子表示∠AMB的度数为__
（3）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．






























2022-2023学年北京市延庆区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 已知、均为正整数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据幂的乘方，把变形为，然后把代入计算即可．
【详解】∵，
∴=．
故选C
本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数没有变，指数相乘．
2. 若a＋b＝3，ab＝－7，则的值为（ ）
A. － B. － C. － D. －
【正确答案】C

【详解】原式=，
∵a+b=3，ab=-7，
∴原式=．
故选：C．
3. 如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是（ ）

A. 40° B. 80° C. 90° D. 140°
【正确答案】B

【详解】
由题意得：∠C=∠D，
∵∠1=∠C+∠3，∠3=∠2+∠D，
∴∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C，
∴∠1－∠2=2∠C=80°.
故选B.
点睛：本题主要运用三角形外角的性质轴对称的性质找出角与角之间的关系.

4. 若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D.
【正确答案】D

【分析】化简分式方程得，要是分式方程无解有两种情况，当分式方程有增根时，，代入即可算出的值，当等式没有成立时，使分母为0，则．
【详解】解：，
化简得：，
当分式方程有增根时，
代入得，
当分母为0时，，
的值为-1或1，
故选：D．
本题主要考查的是分式方程无解的两种情况①当分式方程有增根时，此方程无解，②当等式没有成立时，此方程无解．
5. 如图，在直角△ABC中，，AB=AC，点D为BC中点，直角绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；② AE=CF；③△BDE≌△ADF；④ BE+CF=EF，其中正确结论是（ ）

A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④
【正确答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE=CF，判断出②正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出④错误．
【详解】∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正确；
∴DE=DF、BE=AF，
又∵∠MDN是直角，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∴AE=CF，故②正确；
∵BE+CF=AF+AE＞EF，
∴BE+CF＞EF，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③；
故选：C．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

6. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
【正确答案】B

【详解】解：依题意得，x+1=0，
解得x=-1．
当x=-1时，分母x+2≠0，
即x=-1符合题意．
故选B．
若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母没有为0．这两个条件缺一没有可．
7. 等腰三角形的一边长是5，另一边长是10，则周长为（　　　　）
A. 15 B. 20 C. 20或25 D. 25
【正确答案】D

【分析】由于没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为5时，5+5=10，所以没有能构成三角形；
当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25．
故选D．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
8. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）


A. AB=DE B. AC=DF C. ∠A=∠D D. BF=EC
【正确答案】C

【详解】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选没有符合题意；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项没有符合题意；
选项C、添加∠A=∠D没有能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项没有符合题意．
故选C．
9. 下列因式分解正确的是（ ）．
A. m2+n2=(m+n)(m-n) B. x2+2x-1=(x-1)2
C. a2+2a+1=a(a+2)+1 D. a2-a=a(a-1)
【正确答案】D

【分析】利用提公因式法和完全平方公式分别进行分解即可得出正确答案．
【详解】A．没有能进行因式分解，故本选项错误；
B． ，故本选项错误；
C． 没有是两个因式的积的形式，可利用完全平方公式进行分解因式，故本选项错误；
D． ，是正确的因式分解，故本选项符合题意．
故选：D
本题考查了因式分解的概念和提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）

A. 80° B. 60° C. 50° D. 40°
【正确答案】D

【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，
故选D．
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 如图，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD=125°，∠A=75°，则∠B=__________°．

【正确答案】50

【分析】根据三角形外角的性质进行计算即可．
【详解】∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝125°，∠A＝75°，


故答案为50．
考查三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和．
12 计算：（﹣8）2016×0.1252015=_____．
【正确答案】8

【详解】根据乘方的意义，和积的乘方，可知：（﹣8）2016×0.1252015=（﹣8）×（﹣8）2015×0.1252015=8．
故答案为8．
13. 计算：______．
【正确答案】1

【分析】先将分母因式分解，再将除法转化为乘法，再根据法则计算即可．
【详解】



．
故1．
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
14 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．

【正确答案】55°

【分析】根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
【详解】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故55°．
本题主要考查全等三角形判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．
15. 如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．

【正确答案】36°##36度

【分析】由正五边形的性质得出，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】解：五边形是正五边形，
，，
；
故．
本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握正五边形的性质，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出．
16. 若x2＋bx＋c＝(x＋5)(x－3)，其中b，c为常数，则点P(b，c)关于y轴对称的点的坐标是________．
【正确答案】(－2，－15)

【详解】分析：先利用多项式的乘法展开再根据对应项系数相等确定出b、c的值，然后根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
详解：∵(x+5)(x−3)=x2+2x−15，
∴b=2，c=−15，
∴点P的坐标为(2,−15)，
∴点P(2,−15)关于y轴对称点的坐标是(−2,−15).
故答案为(−2,−15).
点睛：：考查关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标没有变，横坐标互为相反数.
17. 已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车的单程运行时间缩短了3小时．设原来的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为______________．
【正确答案】

【详解】试题解析：设原来的平均速度为x千米/时，列车大提速后平均速度为x+70千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了3小时，列方程：＝＋3，
故答案为＝＋3.
18. 如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于Q，PQ＝3，EP＝1，则DA长是________.

【正确答案】7

【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
故7.
三、解 答 题(共66分)
19. 计算或因式分解：(1)计算：(a2－4)÷；(2)因式分解：a(n－1)2－2a(n－1)＋a.
【正确答案】（1）原式＝a2－2a；（2）原式＝a(n－2)2.

【分析】（1）先把括号内的进行因式分解，然后把除法转化成乘法进行约分即可得解；
（2）首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案.
【详解】（1）原式＝(a＋2)(a－2)＝a(a－2)＝a2－2a；
（2）原式＝a[(n－1)2－2(n－1)＋1]＝a(n－1－1)2＝a(n－2)2.
20. 现要在三角地ABC内建一医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个医院的位置．

【正确答案】作图见解析.

【详解】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．
解：

作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，
则P为这个医院的位置．
21. (1)解方程：－2＝；
(2)设y＝kx，且k≠0，若代数式(x－3y)(2x＋y)＋y(x＋5y)化简的结果为2x2，求k的值．
【正确答案】(1)原分式方程的解为x＝－7；(2)k的值为2.

【详解】试题分析：（1）直接去分母，进而解分式方程得出答案；
（2）首先利用多项式乘法去括号，进而合并同类项得出答案．
试题解析：（1）去分母得：1-2（x-3）=-3x，
解得：x=-7，
检验：当x=-7时，x-3≠0，故x=-7是原方程的解；
（2）∵（x-3y）（2x+y）+y（x+5y）
=2x2-5xy-3y2+xy+5y2
=2x2-4xy+2y2
=2（x-y）2=2x2，
∴x-y=±x，
则x-kx=±x，
解得：k=0（没有合题意舍去）或k=2．
∴k的值为2.
22. (1)已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2的值；
(2)先化简(-)÷，并回答：原代数式的值可以等于－1吗？为什么？
【正确答案】(1)a2＋b2＝29， (a－b)2＝9；(2)原代数式的值没有能等于－1，理由见解析.

【详解】试题分析：（1）根据完全平方公式，即可解答；
（2）原式括号中两项约分后，利用乘法分配律化简，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，令原式的值为-1，求出x的值，代入原式检验即可得到结果．
试题解析：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝72－2×10＝49－20＝29， (a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝72－4×10＝49－40＝9.
(2) 原式=
=
=，
原式的值为-1，即=-1，
去分母得：a+1=-a+1，
解得：a=0，
代入原式检验，分母为0，没有合题意，
则原式的值没有可能为-1．
23. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．
【正确答案】15千米/时．

【分析】根据时间来列等量关系．关键描述语为：“过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间-乘车同学所用时间=．
【详解】设骑车同学速度为x千米/时．
则：．
解得：x＝15．
检验：当x＝15时，6x≠0，∴x＝15是原方程的解．
答：骑车同学的速度为15千米/时．
应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24. 如图，在中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：．
（2）请你判断：与EF的大小关系，并加以证明．

【正确答案】（1）见解析；（2），见解析

【分析】（1）证可得；
（2）根据全等得到，再根据三角形三边关系即可得到结果．
【详解】（1）∵BG∥AC，
∴，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
在△BDG和△CDF中，
，
∴，
∴；
（2），
由得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确分析求解．

25. 如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M．
（1）求证：BE=AD；
（2）直接用含α的式子表示∠AMB的度数为__
（3）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．

【正确答案】（1）见解析；（2）α；（3）△CPQ为等腰直角三角形，证明见解析.

【分析】（1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；
（2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根据∠AFC=∠BFH，即可得到∠AMB=∠ACB=α；
（3）先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，根据∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．
【详解】解：（1）如图1，

∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°α，
∴∠BAM+∠ABM=180°α，
∴△ABM中，∠AMB=180°-（180°-α）=α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE=AD，

∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠BCQ+∠PCB=90°，
∴∠PCQ=90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．