福建省福州第十六中学2022-2023学年九年级数学上学期期末数学试题

这是一份福建省福州第十六中学2022-2023学年九年级数学上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省福州第十六中学2022-2023学年九年级数学上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．实心铁球投入水中会沉入水底
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．打开电视，正在播放《大国工匠》
D．抛掷一枚硬币，正面向上
3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（　　）

A． B． C．5 D．5
5．一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　）

A． B． C． D．1
6．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图的面积是12π，则这个圆锥底面圆的半径是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥﹣1时，y随x增大而减小
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（　　）

A．30° B．36° C．60° D．72°
9．已知a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2﹣a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则

二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________．
12．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为 _____．

13．一个不透明的袋子中放有3个红球和5个白球，这些球除颜色外均相同，随机从袋子中摸出一球，摸到红球的概率为 _____．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以点A为圆心作圆弧，与BC相切于点D，且分别交边AB，AC于点EF，则扇形AEF的面积为 _____．（结果保留π）

15．如图，在△ABC中，BA＝BC，D为△ABC内一点，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，延长AE，CD交于点F，若∠ABC＝70°，则∠AFC的度数为 _____．

16．如图，正方形ABCD的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，函数（x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，现给出下列结论：①O，A，C三点一定在同一直线上；②点A的横坐标是；③点B的纵坐标是1；④点O关于直线BD的对称点一定在函数的图象上．其中正确的是 _____（写出所有正确结论的序号）．


三、解答题
17．解方程：．
18．在“乡村振兴”工作中，某养殖场加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，2021年10月份和12月份的产蛋量分别是4万千克与4.84万千克，求养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率．
19．如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．

(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
20．某商家销售一批盲盒，每一个看上去无差别的盲盒内含有A，B，C，D四种玩具中的一种，抽到玩具B的有关统计量如表所示：
抽盲盒总数
500
1000
1500
2000
2500
3000
频数
130
273
414
566
695
843
频率
0.260
0.273
0.276
0.283
0.278
0.281

(1)估计从这批盲盒中任意抽取一个是玩具B的概率是 　 　；（结果保留小数点后两位）
(2)小明从分别装有A，B，C，D四种玩具的四个盲盒中随机抽取两个，请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两个玩具恰为玩具A和玩具C的概率．
21．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，其中点A的对应点为点D，点D落在边BC上．

(1)用无刻度的直尺和圆规作出△DEC；
(2)连接BE，设旋转角为α（0°＜α＜180°），用含α的式子表示∠BEC的度数．
22．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
23．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，⊙O的切线CD交直线AB于点D，弦CE交AB于点F，点E为的中点．

(1)求证：CD＝DF；
(2)当，AC＝12时，求CD的长．
24．如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、．

(1)如图1，求证：；
(2)若正方形的边长为4，
①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值；
②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值．
25．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y轴交于点C．
(1)求证：b＝0；
(2)点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D．连接BP，过点A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．
①当a＝﹣1时，求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）
②求的值．

参考答案：
1．B
【分析】在平面内，一个图形围绕一个点旋转180能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形
【详解】解：A，C，D是轴对称图形，B是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2．A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【详解】解：A、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，该选项符合题意；
B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，该选项不合题意；
C、打开电视，正在播放《大国工匠》，是随机事件，该选项不合题意；
D、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，该选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．D
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：是关于的一元二次方程的一个解，
，解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．C
【分析】先利用切线长定理得到PA=PB，再利用∠APB=60°可判断△APB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
【详解】解：∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△APB为等边三角形，
∴AB=PA=5．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．A
【分析】求出黑砖部分的面积占整体的几分之几即可．
【详解】解：这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的，
所以小球最终停留在黑砖上的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查了概率，理解几何概率的意义是正确解答的关键．
6．B
【分析】根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可．
【详解】解：∵母线为6，设圆锥的底面半径为x，
∴圆锥的侧面积=π6x=12π．
解得：x=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．C
【分析】根据a的正负判断开口方向，通过抛物线的y=a（x-h）2+k解析式判定对称轴、顶点坐标，根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，
∵a=1＞0，所以开口向上，A选项错误；
对称轴为直线x=-1，B选项错误；
顶点坐标为（-1，2），所以C选项正确；
∵a=1＞0，
∴当x≥﹣1时，y随x增大而增大．所以D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，) ．
8．B
【分析】求出正五边形的一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE中，
∴∠BCD==108°，CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=（180°-108°）=36°，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，求出正五边形的一个内角度数是解决问题的关键．
9．D
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】解：当a＞0时，函数y=的图象位于一、三象限，y=-ax2-a的开口向下，交y轴的负半轴，D选项符合；
当a＜0时，函数y=的图象位于二、四象限，y=-ax2-a的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的选项；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．
10．A
【分析】根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向
【详解】解：∵的对称轴为，且
∴若，
则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故A正确
若，
则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故C不正确
对于B,D选项不能判断的符号
故选A
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的性质是解题的关键．
11．
【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查关于原点对称的点，解题的关键是记住关于原点对称横纵坐标都互为相反数．
12．##0.6
【分析】由平行线的性质求出∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD，其对应角相等得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的性质求出线段的比值．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD，
∴△EAB∽△EDC，
∴，
又∵AE=3，ED=5，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，线段的比值求法等相关知识的应用，重点掌握相似三角形的判定与性质．
13．
【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
【详解】解：∵红球的个数为3个，球的总数为3+5=8（个），
∴摸到红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．##
【分析】先判断出△ABC是等腰直角三角形，从而连接AD，可得出AD=1，直接代入扇形的面积公式进行运算即可．
【详解】解：∵AB=AC=，BC=2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
连接AD，则AD=BC=1，
则S扇形AEF=．
故答案为：．

【点睛】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，难度一般，解答本题的关键是得出AD的长度及∠BAC的度数．
15．70°或70度
【分析】先根据旋转的性质得到∠EBD=∠ABC=70°，∠BDC=∠BEA，然后根据邻补角的性质和三角形内角和定理即可得到∠AFC=∠EBD=70°．
【详解】解： ∵△BDC绕点B逆时针旋转得到△BEA，
∴∠EBD=∠ABC=70°，∠BDC=∠BEA，
∴∠FEG=∠BDG，
∵∠EGF=∠DGB，
∴∠AFC=∠EBD=70°．

故答案为：70°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
16．①③##③①
【分析】设点A（x，y），根据正方形的性质以及AB=2，得到点B（，y），点D（x，），再求得点A、B、D的坐标，以及原点(0，0)关于直线BD的对称点的坐标，即可判断．
【详解】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点B、点D在函数y=（x＞0）的图象上，
∴点B的坐标为（，y），点D的坐标为（x，），
∵AB=2，则AD=2，
∴，即3-xy=2y，
，即3-xy=2x，
∴x=y，
∴3-x2=2x，
解得：x=-3(舍去)或x=1，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（3，1），点D的坐标为（1，3），
∵四边形ABCD是正方形，
∴点C的坐标为（3，3），
∴O，A，C三点在同直线上，故①正确；
点A的横坐标为1，故②错误；
点B的纵坐标为1，故③正确；
由正方形对角线互相垂直且对角线交点是对角线中点，
则B、D的中点为(，)，即为(2，2)，
设原点(0，0)关于直线BD的对称点为(a，b)，
有，，
∴a=4，b=4，
∵4×4≠15，
∴(4，4)不在函数y=的图象上，故④错误；
综上，正确的结论有①③．
故选：①③．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，正方形的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
17．
【分析】把方程化成x2=a的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.
【详解】




∴原方程的解为
【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根．
18．该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为10%．
【分析】设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，4（1+x）2=4.84，
解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确的理解题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)AC的长为．

【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD；
（2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，即，
∴AC=(负值已舍)．
∴AC的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长．
20．(1)0.28；
(2)

【分析】（1）由表中数据可判断频率在0.28左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.28；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】（1）解：从这批盲盒中任意抽取一个是玩具B的概率是0.28，
故答案为0.28．
（2）列表为：

A
B
C
D
A
--
BA
CA
DA
B
AB
--
CB
DB
C
AC
BC
--
DC
D
AD
BD
CD
--

由上表可知，从四种玩具的四个盲盒中随机抽取两个共有12种等可能结果，其中恰为玩具A和玩具C的结果有2种，所以恰为玩具A和玩具C的概率P=．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率及用列表法或树状图法求概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）作，在射线上截取，连接，则△DEC即为所求；
（2）根据旋转的性质可得，进而根据等边对等角以及三角形内角和定理，即可求得∠BEC．
【详解】（1）如图，作，在射线上截取，连接，则△DEC即为所求；

（2）如图，连接

旋转角为α（0°＜α＜180°），

旋转



【点睛】本题考查了旋转的性质，作三角形，三角形内角和定理，等边对等角，掌握旋转的性质是解题的关键．
22．(1)函数的解析式为I=；
(2)用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．

【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=，将点（20，1.8），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【详解】（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=，
∵图象经过（20，1.8），
∴1.8=，
解得k=1.8×20=36，
∴I=；
（2）解：∵I≤3，I=，
∴≤3，
∴R≥12，
即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
23．(1)见解析；
(2)4

【分析】（1）连接OC，先求出∠ACE=∠BCE=45°，再根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO，最后根据等量代换得出结果；
（2）设OF=x，BD=y，先得出△ACD∽△CBD，得出BD=2x，AB=6x，最后根据勾股定理得出结果．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵点E为的中点，
∴，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ACO+∠OCF+∠FCB=90°，∠DCB+∠FCB+∠OCF=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠A=∠DCB，
∵∠CFD=∠A+45°，∠DCF=∠DCB+45°，
∴∠CFD=∠DCF，
∴CD＝DF；

（2）解：设OF=x，
∵，则AO=OC=3x，
设BD=y，则AD=2AO+BD=6x+y，
∵∠CBD=45°+∠CFB，∠ACD=45°+∠CFD，
∴∠CBD=∠ACD，
∵∠A=∠DCB，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD²=BD·AD，即CD²=y(6x+y)，
∵CD=DF=2x+y，
∴(2x+y)²=y(6x+y)，
得：x(2x-y)=0，
∴2x-y=0且x≠0，
∴2x=y，即BD=2x，
∵AC=12，AB=AO+OF+BF=3x+x+2x=6x，
在Rt△ACB中，
CB=，
∵，
∴，
∴x=，
∵x>0，
∴x=舍去，
∴x=，
∴CD=4x=4．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线．
24．(1)见解析
(2)①，②当P、B、F三点共线时，PF有最大值为

【分析】（1）对角线是正方形的对称轴，即可得；
（2）①当G、C、M三点共线时，根据，，进而即可求得的值；
②连接，证明，求出相似比，求出，当P、B、F三点共线时，即可求出最大值．
【详解】（1）如图1，

∵对角线是正方形的对称轴，
∴；
（2）如图2，

①当G、C、M三点共线时，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
②如图3，

∵，，

∴，
∴，
∵，
∴；
在中，
，
当P、B、F三点共线时，
PF有最大值：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)①2；②2．

【分析】（1）利用根与系数的关系即可证明b=0；
（2）①设出P点坐标，然后令c=t²，然后表示出A、B的坐标，先求出直线BP的解析式，即可得到直线AQ的解析式，然后联立抛物线与直线AQ解析式，求出Q点横坐标，即可求解；②同①的方法，令a=-s²，c=t²，设出P点坐标，分别求出D、E的坐标，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：设方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，且OA＝OB，
∴x1=-x2，即x1+x2=0，
∵x1+x2=-，
∴-=0，
∵a＜0，
∴b=0；
（2）解：①当a=﹣1时，令c=t2，抛物线的解析式为y=-x2+t2，
解方程-x2+t2=0，得：x1=t，x2=-t，
∴A(-t，0)，B(t，0)，
设点P的坐标为(p，-p2+ t2)，
设直线PB的解析式为y=kx+m，
∴，解得：，
∴直线PB的解析式为y=x+，
∵AQ∥BP，  
设直线AQ的解析式为y=x+n，
把A(-t，0)代入得：n=
∴直线AQ的解析式为y=，
联立y=和y=-x2+ t2得：，
整理得：，
解得x1=-t，x2=p+2t，
∴点Q的横坐标为p+2t，
∴Q，P两点横坐标的差为p+2t-p=2t=2；
②令c=t2，a=-s²，抛物线的解析式为y=-s²x2+t2，
解方程-s²x2+t2=0，得：x1=，x2=-，
∴A(-，0)，B(，0)，C(0，t2)，
设点P的坐标为(p，-s²p2+ t2)，
同理求得直线PB的解析式为y=x+，
直线AQ的解析式为y=，
令x=0，则y=，  
即点E的坐标为(0，)，
同理求得直线AP的解析式为y=，
令x=0，则y=，
即点D的坐标为(0，)，
∴OD=，OE=，OC=，
∴．
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．