2023宁波北仑中学高二下学期开学考试数学含答案

北仑中学2022学年第二学期高二年级期初返校考试数学试卷

（全年级+外高班使用）

命题:高二数学备课组  审题: 高二数学备课组

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若直线与直线垂直，则a的值为

A．-3 B．1 C．3 D．5

2．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是

A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差

B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数

C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数

D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差

3．已知空间向量，，，若，则

A．2 B． C．14 D．

4．在平行六面体中，点在上，且，若，则

A． B．1 C． D．

5．若双曲线的左焦点关于其渐近线的对称点恰好落在双曲线的右支上，则双曲线的渐近线方程为

A.      B.         C.       D.

6．若函数存在极值，则实数的取值范围是

A．（0，1]          B.（0，1）         C.（-∞，1]           D.（-∞，1）

7．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为

A． B． C．2          D．

8．已知，，是函数（，）的零点，且，若，则当，变化时，的最小值是

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是

A．周岁以上的参保人数最少

B．周岁人群参保的总费用最少

C．丁险种更受参保人青睐

D．周岁及以上的参保人数占总参保人数的

10．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是

A．若点在平面内，则必存在实数，使得

B．直线与所成角的余弦值为

C．点到直线的距离为

D．存在实数、使得

11．已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，点，在上，点，在上，且，，，，为坐标原点，记，的面积分别为，，则下列结论正确的是

A． B． C． D．

12．已知a为常数，函数有两个极值点，则

A．         B．      C．       D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知事件，相互独立，且，，则   ▲   .

14．已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点为上一点，若的面积为7，且内切圆的半径为，则的标准方程为   ▲   .

15．如图,在四棱台 中, , ,则 的最小值为   ▲   .

16．已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为   ▲   .

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，经测量得到的数据位于[75,125],频率分布直方图如图所示.

(1)补全频率分布直方图；
(2)若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2；

(3)当一件产品的质量指标值位于(80，122.5)时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率.

18．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．

①与直线垂直；②过点；③与直线平行．

问题：已知直线l过点，且__________．

(1)求直线l的一般式方程；

(2)己知，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得最大．

19．已知函数．

(1)当时，判断函数的单调性；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．

20．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点F在棱上，且P与E位于平面的两侧．

(1)证明：平面．

(2)若，且在上的投影向量为，求平面与平面夹角的余弦值．

21．已知等轴双曲线的右焦点为，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P 在第一象限，O是原点.

(1)求直线l斜率的取值范围；

(2)设的面积分别为，求的取值范围.

22．已知函数

(1)若存在零点，求实数a的取值范围；

(2)若是的零点，求证：