2023太原高三上学期期末测试数学含答案

2022~2023学年第一学期高三年级期末考试

数学试卷

（考试时间：上午8:00—10:00）

说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分．

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．设复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．已知，则向量与的夹角为（    ）

A．    B．    C．    D．

4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，，则该曲池的体积为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（    ）

A．96    B．120    C．240    D．360

6．已知，则（    ）

A．    B．    C．    D．

7．如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，当时，，且，则（    ）

A．20    B．30    C．35    D．40

二、选择题全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值是1                B．的最小值是4

C．的最大值是          D．的最小值是1

10．已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称          B．的图象关于点对称

C．将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象

D．方程在上有7个不相等的实数根

11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两个不同点，则下列结论正确的是（    ）

A．若点，则的最小值是3

B．的最小值是2

C．若，则直线的斜率为

D．过点A，B分别作抛物线C的切线，设两切线的交点为Q，则点Q的横坐标为

12．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，P为上底面上的动点，M为棱的中点，下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为定值1

B．当直线与平面所成角为时，点P的轨迹长度为

C．若直线平面，则线段长度的最小值为

D．直线被正四棱柱外接球所截得线段长度的取值范围是

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数____________．

14．的展开式中常数项为_________．（用数字作答）

15．在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设“试验结果为阳性”，“试验者患有此癌症”，据临床统计显示．已知某地人群中患有此种癌症的概率为0.001，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为_____________．

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，切点为T，延长交双曲线E的左支于点P．若，则双曲线E离心率的取值范围是__________．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）已知数列的前n项和为．

（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；

（2）设，记的前n项和为，若对任意正整数的n，不等式恒成立，求的最小值．

条件①，且；条件②为等比数列，且满足；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）

18．（本小题12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）求证：；

（2）求的取值范围．

19．（本小题12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差．

（ⅰ）利用该正态分布，求；

（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数．利用（ⅰ）的结果，求．

附：；若，则．

20．（本小题12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

21．（本小题12分）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆C经过点，且直，与圆相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足，求点M横坐标的取值范围．

22．（本小题12分）已知函数．

（1）若在处取得极大值，求的单调区间；

（2）若恰有三个零点，求实数a的取值范围．

2022-2023学年太原市第一学期期末高三数学试题

参考答案及评分建议

一、选择题：

B  D  C A  B  C  D  B

二、选择题：

9．AC   10．AB   11．ACD   12．ACD

三、填空题：

13．    14．    15．    16．

四、解答题：

17．解：（1）选择条件①，且，

由题意可得，∴，∴，

∴为公比的等比数列，

∵，∴，∴，∴；

选择条件②为等比数列，且满足，

由题意可得，

∴，∴；

（2）由（1）得,

∴,

∴，

∴的最小值为．

18．解：（1）由余弦定理得，

∵，∴，

由正弦定理得，∴，∴，

∵，∴，∴，∴；

（2）由（1）得，

∴，

∵，∴，∴，

∴，∴的取值范围为．

19．解：（1）由题意得，

；

（2）由题意得，

（ⅰ）∵，∴；

（ⅱ）由（ⅰ）得从该企业购买了1件这种产品，其质量指标值位于区间的概率为，∴，

∴．

20．解：（1）∵O为的中点，，∴，

∵平面平面，∴平面，∴；

（2）由（1）得平面，以点O为原点，所在的直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意可得，

设是平面的一个法向量，则

∴，令，则，∴，

由题意可知是平面的一个法向量，

∴，∴，

∴，，∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为．

21．解：（1）∵椭圆C经过点，∴，

由题意得直线的方程为，即，

∵直线与圆相切，∴，∴，

∴，∴椭圆C的方程为；

（2）设，点是的中点，

由得，∴，∴，

∵，

∴，∴，

∴直线的方程为，

∴点M的横坐标为，

∵，∴，∴．

∴“点M的横坐标的取值范围为．

22．解：（1）由题意得，

令，则或，

①当时，即时，

令，则：令，则，或，

∴在上递减，在上递增，

∴在处取得极小值，此时不符合题意；

②当时，即时，则，∴在R上递增，

∴在处不取极值，比时不符合题意

③当时，即时，

令，则；令，则，或，

∴在和上递增，在上递减，

∴在处取得极大值，此时符合题意；

综上，的单调减区间为，单调增区间为和；

（2）由题意得，显然是的零点，

则方程，即恰有两个不为2的实数根，

令，则，令，则；令，则，

∴在上递增，在上递减，

当时，的值域为；当时，的值域为，

∴，且，∴，且，

综上，实数a的取值范围为．