高考数学三轮冲刺压轴小题12 复杂的三视图问题 (2份打包，解析版+原卷版)

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复杂的三视图问题

一．方法综述
三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.
还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同.
根据几何体的三视图确定直观图的方法：
（1） 三视图为三个三角形，对应三棱锥；
（2） 三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；
（3） 三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；
（4） 三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；
（5） 三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱.
对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体.
二．解题策略
类型一 构造正方体（长方体）求解
【例1】某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：①体积可能是；②体积可能是；③和在直观图中所对应的棱所成的角为；④在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对；其中所有正确结论的编号是（ ）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【来源】河南省开封市2021届高三三模文科数学试题
【答案】D
【解析】对①：如图，则，故①正确；
对②：如图，则，故②正确；
对③：如图和在直观图中所对应的棱分别为和，由为正三角形，所以和在直观图中所对应的棱所成的角为，故③正确；
对④：如图，平面平面，
平面平面，平面平面，平面平面，故④正确.
故选：D.
【方法点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法 
1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；
2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；
3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
【举一反三】
1．（2020·江西高三）某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题中三视图还原几何体，可得边长为的正方体中，
由四个顶点、、、构成的三棱锥，
如图所示，

可知三棱锥高，三棱锥底面积，
故三棱锥体积.故选：B.
2、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC，其中点A为中点，所以.故选B.

3．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．4 B．8 C．12 D．14
【答案】A
【解析】几何体为三棱锥,直观图如下，

.故选:A
类型二 旋转体与多面体组合体的三视图
【例2】（2020·内蒙古高三）如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，其中腰长为，高为3，而球体的半径为3，所以该组合体的体积为：
.故选：C
【点睛】考查三视图的还原，以及还原之后几何体的表面积，考验空间想象能力，对常见的几何体要熟悉.
【举一反三】一个四棱柱被截去一个半圆柱后剩余部分的三视图如图，则截去部分与剩余几何体的体积比为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】还原三视图的几何体图所示，

可知原四棱柱的底面为直角梯形且，，，，，四棱锥的侧棱长为，故，半圆柱，则半圆柱剩余＝半圆柱：半圆柱．故选C.
类型三 与三视图相关的外接与内切问题
【例3】（2020·辽宁鞍山一中高三月考）已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.

如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x,
由题得在直角△OME中，，又MF=OG=1,AF=,
，解（1）（2）得故选B.
【指点迷津】（1）三视图的定义正确读取图中线的位置关系和数量关系.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径.（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径.
【举一反三】
1．（2020·四川成都七中高考模拟）某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】几何体为如图三棱锥S-ABC，SA=2,SC=4,BD=2,体积为，其外接球球心为SB中点,外接球半径为，所以几何体的体积与其外接球的体积之比为，选A.

2.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为

A．30p B．41p C．30p D．64p
【来源】甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（一）数学（文）试题
【答案】B
【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，

正方体的棱长为，､为棱的中点，根据几何体判断：球心应该在过､的平行于底面的中截面上，
设球心到截面的距离为，则到的距离为，
∴，，解得出：，，
该多面体外接球的表面积为：.故选：B.
3．（2020·山西高三）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图，其中， ， 平面 ，计算可得，，放在外接球中，把直角三角形恢复为正方形，恰好在一个球小圆中，AC为球小圆的直径，分别过和做圆的垂面，得出矩形和矩形，两矩形对角线交点分别为，连接并取其中点为，则为球心，从图中可以看出点共面且都在的外接圆上，在中， ，，利用正弦定理可以求出的外接圆半径
， ， ，平面，则，则球的半径 ，外接球的表面积为，选A.
【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面平面，和我们做的平面是同一个平面，另外作平面和平面的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决.
类型四 与三视图相关的最值问题
【例4】（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））已知在直三棱柱中，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为.设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．

【答案】
【解析】【分析】利用与投影面所成角为，将正视图的面积和侧视图的面积用的三角函数表示，利用辅助角公式结，可求解的最大值.
【详解】


与投影面所成角为时，平面如图所示，
，
，
，
故正视图的面积为
侧视图的面积为，


，，
故的最大值，故答案为.
【点睛】本题考查了三视图的投影的认识和理解，以及二倍角公式与利用辅助角公式求最值，属于中档题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .
【举一反三】
1.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为
（A）2 （B）2 （C）4 （D）2
【答案】 C

【指点迷津】构造长方体，体对角线为已知长度的棱，长方体三个面为投影面.根据题意，用长方体的棱长表示a+b，用不等式求其最值.
2、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最大值为（ ）

A.32 C.64
【答案】C
【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图，
其中，平面，.作，，且、交于点，连接，则.设，根据图中的几何关系，有，，两式联立消去得，再由均值不等式，得.故选C.

3．（2020·西安市长安区第五中学高三（理））如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）

A．8 B．4
C． D．
【答案】C
【解析】由三视图可知：该几何体的直观图如图所示，
由三视图特征可知，平面,平面,
,面积最小的为侧面，
∴ 故选C.

三．强化训练
1．（2020·福建高三）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，某商鞅铜方升模型的三视图，如图所示(单位：寸)，若取3，则该模型的体积（单位：立方寸）为（ ）

A．11.9 B．12.6 C．13.8 D．16.2
【答案】B
【解析】由三视图可知，商鞅铜方升模型为一个直四棱柱与一个圆柱构成的组合体
直四棱柱的体积；圆柱的体积
该模型的体积
故选：
2．（2020·北京人大附中高三）已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（　　）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】根据几何体的三视图知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图所示；

则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为．故选：D．
3．（2020·北京市十一学校高三）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

由三视图可知，该四棱锥直观图如图（图中正四棱柱的底面边长为，高为，为棱的三等分点），由图可知四棱锥底面为边长为和的矩形，高为的四棱锥，体积为，故选A.
4．（2020·湖南雅礼中学高三月考（理））一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）

A．168 B．98 C．108 D．88
【答案】D
【解析】【分析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案．
【详解】由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，
底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，
∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16，
∴几何体的表面积S＝2××6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88．故选：D．

5．（2020·重庆一中高三月考（理））如图的虚线网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图.在该几何体的直观图中，直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据三视图还原出几何体为三棱锥，设在平面的射影为，
则根据三视图可知，两两垂直，以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，所以，所以直线与所成角的余弦值为.故选：B.

6．（2020·江西高三）半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
该几何体的体积为，
故选：D.

7. （2020·江西高三期末（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，，．

取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，
所以球心在上．
设球半径为，则在中，，
由勾股定理得，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为．故选C．
8.（2020合肥市高三）我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为

A． B．40 C． D．
【答案】D
【解析】


由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为， 分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为 ，故选D.
9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知几何体是一个底面半径和高都是6的圆柱，挖去一个半圆锥的几何体如图：
几何体的体积为：．
故选：A．

10．榫卯（sǔnmǎo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方为长方体（底面为边长是1的正方形，高为2），下方为圆柱（底面圆半径为2，高为2）．
其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积，所以．
其体积圆柱与长方体体积之和，所以．故选A．
11．如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）理科数学试题
【答案】A
【解析】

如图，该几何体可看成由长方体和四棱锥组合而成，
该几何体的表面积为四棱锥的侧面积、长方体的侧面积和一个底面面积之和，
其中，，，平面平面，
，则可得，，故，则．
又等腰底边上的高为，故，，
则该几何体的表面积为：.
故选：A．
12．（2020·安徽高三月考）一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，.现将两块三角板拼接在一起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是等腰直角三角形，
外接圆的圆心为的中点,

取中点，连接，
∥,,
二面角为直二面角,且为交线,
平面，过球心，①
又为，且为斜边
为的外接圆圆心，
故球心在过的直线上，②
由①②知，球心为，
，，,
，,故选：A
13．已知正方体（如图1），点在侧面内（包括边界）.若三棱锥的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是（ ）

A． B．
C． D．
【来源】北京市海淀区2021届高三二模数学试题
【答案】D
【解析】由俯视图可知，点在棱上运动.
对于A选项，若点与点重合，则三棱锥的左视图如A选项所示；
对于B选项，若点与点重合，则三棱锥的左视图如B选项所示；
对于C选项，若点为线段的中点，则三棱锥的左视图如C选项所示；
对于D选项，当点在棱上运动时，左视图中右边的一条边与底边垂直，
且右边的一条边的边长与正方体的棱长相等，左视图不可能如D选项所示.
故选：D.
14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是某几何体的三视图，则该几何体的各个面中最大面积为（ ）

A．6 B． C． D．
【来源】贵州省普通高等学校招生2021届高三适应性测试（3月）数学（文）试题
【答案】B
【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；
如图所示：

故，，，，故选：B.
15．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（ ）

A． B．2 C．4 D．12π
【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021届高三高考数学（文）一诊试题
【答案】D
【解析】根据几何体的三视图，可知其为三棱锥，因为底面为等腰直角三角形，故外接圆心为斜边的中点，过中点做底面的垂线，则球心在垂线上，

设该几何体的球心为O，R=，.
故选：D.
16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，该几何体的直观图是底面为正三角形的直三棱柱中的一个四棱锥，如图所示，D是棱AB的中点.

结合三视图知，四棱锥底面梯形的面积为，
顶点到底面梯形的距离，即到底面梯形的距离，为等边三角形的高，即，
故几何体的体积为.
故选:B.
17．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体内切球的表面积（单位：）是（ ）

A． B． C． D．
【来源】安徽省江淮十校2021届高三下学期4月第三次质量检测理科数学试题
【答案】B
【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面.
则，又，所以面，.
∴该几何体的表面积.
体积.
设内切球半径为，则，，因此表面积等于，
故选：B.

18．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面中，最大的面积为（ ）

A．2 B． C． D．
【来源】安徽省五校联盟2021届高三下学期第二次联考理科数学试题
【答案】C
【解析】结合正方体，作出三棱锥（它在正方体中位置），与正方体的右侧面垂直，则与平面内的直线垂直，同理，，，
，，，最大为．
故选：C．

19．如图，正四棱锥的高为12，，，分别为，的中点，过点，，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（ ）

A． B．
C． D．
【来源】江西省南昌市2021届高三二模数学（理）试题
【答案】C
【解析】研究平面DPB，设AC与BD的交点为O，BM与EF交点为N,

为的中点，
为的中点，，
，
又因为,
过点作，
设，
，，
又，，
,
,
为4个格，为8个格，
故选：C
20．三棱柱被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．6 C． D．
【来源】景德镇市2021届高三第三次质检数学（理）试题
【答案】A
【解析】三视图还原后的实物图如图所示，

相当于从三棱柱ABC-EFD中截取一个三棱锥B-DFG，故体积为：
.
故选：A
21．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．
C． D．
【来源】河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题
【答案】B
【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆锥内部挖去了长，宽，高3的棱柱，
利用体积公式可知，几何体的体积为，
故选：B．
【方法点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．
22．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据几何体的三祝图可知，还原到正方体如图，

该几何体是底面为直角梯形(上底是1，下底是，高是)，高为的四棱推，
∴该几何体的体积，
故选：A
23．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥，
取中点，连接，则底面中心在上，连接，可得平面，
由三视图可知，，
设底面边长为，则，则，
则在等腰直角三角形中，，
是底面中心，则，
则，解得，
则，底面边长为，
则正视图（等腰三角形）的腰长为.
故选：B.

24．某几何体的三规图如图所示. 则其外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【来源】百师联盟2020-2021学年高三下学期开年摸底联考考理科数学试卷（全国Ⅰ卷）
【答案】C
【解析】构造一个长方体，三棱锥的三视图即为图中所示，将三棱锥补成直三棱柱，只需要求出直三棱柱的外接球面积即可，因为它们有同一个外接球.
设球心为，的外接圆圆心为，
，，，
由正弦定理得：
，球的表面积为.
故选：C．

25．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

如图，三视图的直观图为三棱锥为，且，
按如图所示放在长方体中，则其外接球的直径等于长方体的对角线长，且，
因为长方体的对角线长为，
则外接球半径为，且体积为.
故选：B.
26．（2020·湖北高三期末（理））中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）

【答案】2800
【解析】由题设提供的三视图可知该几何体是一个上下底边长分别为正方形的四棱台，其体积。
27．（2020·陕西高三（理））某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则棱长为a的正方体的外接球的表面积为

【答案】
【解析】由题意可知该几何体的直观图如图所示，
则该几何体的体积，解得，则正方体的棱长为，
则其外接球的直径，
所以棱长为的正方体外接球的表面积
，

28．（2020·深圳市高级中学高三（理））某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为__________．

【答案】
【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，由此求出该几何体的外接球的半径，进而求出高 ，即可求出它的体积．

详解：根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为，即 则球心到底面等边得中心 的距离 故三棱锥的高 故三棱锥的体积
即答案为.
29．（2020·福建高三期末（理））农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．

【答案】
【解析】(1)每个三角形面积是，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，
可求出该四面体的高为，故四面体体积为，
因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是；
(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，
连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为，
所以， 所以球的体积.
故答案为：；.
30．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球的截面，截面面积最小为______．

【来源】内蒙古锡林郭勒盟全盟2021届高三第二次模拟考试数学（理科）试题
【答案】
【解析】由正视图和俯视图在长方体中还原出三棱锥的直观图如图所示，
该三棱锥的各顶点都在球的表面上，
即球为三棱锥的外接球，
∴球也是长方体的外接球.
设球的半径为，则，解得，
由三棱锥的直观图可得三棱锥的最短棱为，
设的中点为，∵是的中点，∴，
当截面面积最小时，截面，
设截面圆半径为，
则，解得，
此时，截面面积为.
故答案为：.

31．一个直三棱柱的三视图如图所示，则该直三棱柱的体积为_______，它的外接球的表面积为________．

【答案】
【解析】由三视图可得直三棱柱直观图如下图所示，

其中，，，，
直三棱柱的体积；
，，，
，，外接圆半径，
直三棱柱外接球半径，
直三棱柱外接球表面积.
故答案为：；.