2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 32.齐次化方法

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中的几何意义为：直线与曲线的交点与原点的连线的斜率，即的斜率，设为，由韦达定理知，，从而能通过最初的二次曲线和直线相交，得出的性质，倒过来，我们也可以通过的性质与二次曲线得出的性质．
若定在不在坐标原点，我们就需要先平移，设平移后的直线为（这样齐次化更加方便，相当于“1”的妙用），与平移后的圆锥联立，构造，然后等式可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，，，即可得出答案.
二．典例分析
具体操作步骤
第一步：将坐标系平移到（不妨设其在第一象限）后得到新的椭圆方程：
.
第二步，写出直线方程：令，则令.
第三步：联立方程：，凑出满足题干的斜率形式即可.
例1．.（2017年全国1卷）．已知椭圆，不过点的直线与椭圆交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点．
证明：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如下图所示：
，即．所以．
因为，则转换到新坐标为，即
．设直线的方程为，将原椭圆方程转化为，
则转换到新坐标为，展开得，构造齐次式
整理得，两边同除以，则
所以，因此．
而，所以对于任意都成立
则，故对应原坐标为，所以直线恒过定点
例2.（2020山东卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
解析：（1）椭圆方程为：.
（2）将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．
设，因为则，即．
代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．
例3.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
解析：双曲线方程为，设，
∵AP,AQ的斜率之和为0，∴，
故将双曲线方程为变形为：，
且设直线，
由式有：
,（两边同除以），
即，而是此方程的两根.
∴，故直线斜率为−1.
习题演练．抛物线，过原点的两条相互垂直的直线交抛物线于两点，求证：直线过轴上一定点．
证明：设 = 1 \* GB3 ① 抛物线： = 2 \* GB3 ② = 1 \* GB3 ①转化为，代入 = 2 \* GB3 ②（目的是转化为二次齐次式）得，即，可转化为，因为，所以．所以直线恒过点