微专题 复数的几何意义 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 复数的几何意义 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共25页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：复数的几何意义
【考点梳理】
复数的几何意义

①复数的两种几何意义：一是复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应；二是复数z＝a＋bi与平面向量一一对应，其中a，b∈R. ②由几何意义可知|z|可表示复数z对应的点与原点的距离. ③|z1－z2|可表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离.

为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数.


【题型归纳】
题型一：复数的坐标表示
1．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点为（       ）
A． B． C． D．
3．复数z的共轭复数是，若复数在复平面内对应的点是（0，2），则z＝（       ）
A． B． C． D．

题型二：判断复数对应的点所在的象限
4．若复数z满足，则复平面内z对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．复数在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数，则（为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限


题型三：根据复数对应坐标的特点求参数
7．在复平面内，复数z对应的点为，设i是虚数单位，则（       ）
A． B． C． D．
8．在复平面内，复数与所对应的向量分别是和，其中O是原点，则向量对应的复数为（       ）
A． B． C． D．
9．若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为（       ）
A． B． C． D．





【双基达标】
10．已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
11．已知为虚数单位，a为实数，复数在复平面内对应的点在y轴上，则a的值是（       ）
A．-2 B． C． D．2
12．若复数在复平面对应点在第三象限，则a，b满足（       ）
A． B．
C． D．
13．在复平面内，O是原点．向量对应的复数为，其中为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数的共轭复数为（       ）
A． B．
C． D．
14．若，则在复平面内复数z对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是（       ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
16．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
17．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
18．瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（       ）
A． B． C． D．
19．已知复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（       ）
A． B． C． D．
20．下列命题正确的是（       ）
A．复数是关于的方程的一个根，则实数
B．设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，则与重合
C．若，则复数对应的点在复平面的虚轴上(包括原点)
D．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，若（是虚数单位，为复平面坐标原点，，），则
21．欧拉公式(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限是（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
22．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：；       乙：；
丙：；       丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（       ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
24．在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
26．若复数z满足（是虚数单位），则复数在复平面中对应的点在（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
27．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
28．设是虚数单位，则复数对应的点在复平面内位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
29．复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（       ）
A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i
30．若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【高分突破】
一、 单选题
31．若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
32．已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（       ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
33．设，，则（       ）
A． B． C． D．
34．若复数满足，则（       ）
A．
B．是纯虚数
C．复数在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
35．在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则向量对应的复数为（　　）
A． B．
C． D．
36．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（       ）
A． B． C． D．
37．已知（i为虚数单位，为z的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
38．下列关于复数的命题中正确的是（       ）
A．若是虚数，则不是实数
B．若，且，则
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．复数对应的点在实轴上方
39．已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（       ）
A．复数的模
B．若复数，则（即复数的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限
C．若复数是纯虚数，则或
D．对任意的复数，都有
40．已知，，，则（       ）
A．的虚部是 B．
C． D．对应的点在第二象限
41．若，其中为虚数单位，则下列关于复数的说法正确的是（       ）
A． B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点位于第四象限
三、填空题
42．若复数满足，则复数的最大值为______.
43．在复平面内，复数z对应的点的坐标是.则___________.
44．在复平面内，复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围是________．
45．已知复数，且在复平面内对应的点在第四象限，写出的一个整数值为______.
46．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点构成的图形的面积为________．
47．已知，复平面内表示复数的点所对应的数为纯虚数，则_____________．
四、解答题
48．实数分别取什么值时，复数对应的点在：
（1）第三象限；
（2）直线上.
49．已知复数（）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
50．已知复数，（其中i为虚数单位）.
（1）当复数是纯虚数时，求实数m的值；
（2）若复数对应的点在直线上，求实数m的值.
51．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.
（1），，计算与；
（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.
52．复数，当m取何实数时：
(1)z为实数；
(2)z为纯虚数；
(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分．

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先由复数的除法运算化简，再求出复数对应的点的坐标即可.
【详解】
，则对应的点的坐标为.
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】
解：
所以复数在复平面内对应的点为；
故选：D
3．A
【解析】
【分析】
设复数，，表示出，又因为复数在复平面内对应的点是（0，2），列出关于的方程，解出，即可求出复数z.
【详解】
设复数，，
，
因为复数在复平面内对应的点是（0，2），
所以，
所以.
故选：A.
4．A
【解析】
【分析】
先求出z的标准复数形式，再根据复数的几何意义确定所在的象限.
【详解】
由题意 ，在复平面上对应的点为 ，在第一象限；
故选：A.
5．A
【解析】
【分析】
根据复数的除法结合复数的几何意义求解即可
【详解】
，故z在复平面肉对应的点位于第一象限.
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
先将已知化为的表达式，用复数的除法运算计算出结果，
然后判断所处象限即可.
【详解】
由得：
所以
所以在复平面内对应的点为，位于第三象限
故选：C.
7．D
【解析】
【分析】
根据复数对应点写出复数的代数形式，再应用复数的除法化简即可.
【详解】
由题设，，故.
故选：D
8．D
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义即可求解.
【详解】
解：因为复数与所对应的向量分别是和，其中O是原点，
所以，，
所以，
所以对应的复数为，
故选：D.
9．C
【解析】
【分析】
先求出，再由复数的除法运算求得，再求的虚部即可.
【详解】
由题意得，，则，则复数的虚部为.
故选：C.
10．D
【解析】
【分析】
根据题意可得，即可得出.
【详解】
因为在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得.
故选：D.
11．A
【解析】
【分析】
化简复数，因为复数在复平面内对应的点在y轴上，故实部为零，虚部不为零，即可求参数．
【详解】
由，
因为复数在复平面内对应的点在y轴上，所以
则
故选：A
12．D
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案.
【详解】
∵，
又因为复数在复平面对应点在第三象限，
所以，解得.
故选：D.
13．C
【解析】
【分析】
根据对称求得点的坐标，从而求出对应的复数
【详解】
由题意，得，，
所以向量对应的复数为
所以向量对应的复数的共轭复数为，
故选：C．
14．B
【解析】
【分析】
先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.
【详解】
因为，
所以，
故z对应的点位于复平面内第二象限．
故选：B．
15．B
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义求出复数对应点的坐标即可判断.
【详解】
在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称.
故选：B.
16．D
【解析】
【分析】
根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.
【详解】
因为，所以，
所以复数所对应的点的坐标为.
故选:D.
17．C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则．故选C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
18．B
【解析】
【分析】
将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复数在复平面内对应的点在第几象限，从而得到结果.
【详解】
得，
当时，，复数对应的点在第一象限；
当时，，复数对应的点在第二象限；
当时，，复数对应的点在轴上；
当时，，复数对应的点在第四象限；
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数三角形式熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点.
19．A
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出
【详解】
解：因为复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，
所以，
设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
故选：A
20．C
【解析】
【分析】
结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A：复数是关于的方程的一个根，所以：，
，故A错误；
对于B：设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，
即这两个向量的模长相等，但是与不一定重合，故B错误；
对于C：若，设，故：，整理得：，故，故C正确；
对于D：已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
若，所以，
，
，
解得：，，故，故D错误．
故选：C．
21．B
【解析】
【分析】
根据欧拉公式有，判断即可确定对应点所在象限.
【详解】
由题意知：，而，
∴，故对应点在第二象限.
故选：B
22．A
【解析】
【分析】
根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．
【详解】
复数，
则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第一象限.
故选：A
23．B
【解析】
【分析】
设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
设，
由于对应点在第二象限，所以，
，，
，.
甲，
乙，
丙，
丁，
由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.
故选：B
24．D
【解析】
求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限.
【详解】
复数的共轭复数为，
其对应的点位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，属于基础题.
25．A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简，求出即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限.
【详解】
，
，所以在复平面内对应的点坐标为，
所以在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.
26．C
【解析】
【分析】
先对复数进行化简，然后结合复数的几何意义即可求解．
【详解】
由，得
，所以复数在复平面中对应的点为，在第三象限．
故选：C．
27．D
【解析】
【分析】
先化简，再利用复数的除法化简得解.
【详解】
.
所以复数对应的点在第四象限，
故选：D
【点睛】
结论点睛：复数对应的点为，点在第几象限，复数对应的点就在第几象限.
28．C
【解析】
【分析】
利用复数的乘法法则化简复数，由此可得出结论.
【详解】
，因此，复数在复平面内的点位于第三象限.
故选：C.
29．A
【解析】
【分析】
根据复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，写出这个点关于原点对应的点的坐标，把点的坐标形式写成复数的代数形式，得到结果．
【详解】
解：∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）
∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）
对应的向量＝﹣3﹣4i
故选：A．
30．A
【解析】
【分析】
首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】
解：因为，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：A
31．D
【解析】
【分析】
由，利用复数除法得到z，再利用复数的几何意义判断.
【详解】
解：因为，
所以，
所以则z在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
32．A
【解析】
【分析】
设出复数z的代数形式，再利用复数相等求出复数z即可作答.
【详解】
设，，则，由得：，
即，于是得，解得，则有对应的点为，
所以在复平面内复数z对应的点在第一象限.
故选：A
33．B
【解析】
【分析】
首先求，再求，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.
【详解】
，复数对应的点是，位于第三象限，且，所以.
故选：B
34．D
【解析】
【分析】
利用复数的除法求复数及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.
【详解】
由题设，且对应点在第一象限，A、C错误；
不是纯虚数，B错误；
由在复平面内对应的点为，所以，D正确.
故选：D
35．D
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点，推出点的坐标，进而可得出结果.
【详解】
由题意可知，点的坐标为，则点的坐标为，
故向量对应的复数为.
故选：D.
36．D
【解析】
【分析】
依题意根据复数的几何意义得到，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得.
【详解】
解：由题知，，则，所以，
故选：D．
37．B
【解析】
【分析】
设复数，利用复数的运算法则和共轭复数的定义，求得的值，进而求得复数，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】
由题意，设复数，则，
因为，即，
可得，解得，所以，
则复数在复平面内对应点的坐标为，其坐标位于第二象限.
故选：B.
38．AD
【解析】
【分析】
由虚数的概念可判断ABC，由复数的几何意义可判断D.
【详解】
对于A，根据虚数的定义，A正确；
对于B，虚数不能比较大小，B错误；
对于C，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C错误；
对于D，对应点的坐标为，因为，所以点在轴上方，D正确．
故选：AD．
39．AB
【解析】
【分析】
求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．
【详解】
解：对于，复数的模，故正确；
对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故正确；
对于，若复数是纯虚数，
则，解得，故错误；
对于，当时，，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．
40．BC
【解析】
【分析】
由复数相等，求出的值，然后求出，根据复数的相关概念判断选项.
【详解】
由复数相等可得解得所以，
的虚部是2，所以A选项错误；
，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
对应的点在虚轴上，所以D选项不正确.
故选：BC.
41．AD
【解析】
【分析】
先设出复数，由求出，进而根据复数的模长、虚部、共轭复数、所在象限依次判断即可.
【详解】
设，则，，则，即得，即，
，A正确；的虚部为，B错误；，C错误；在复平面内对应的点为，位于第四象限，D正确.
故选：AD.
42．
【解析】
【分析】
设，（），结合条件得在复平面内对应点的轨迹，再由的几何意义求解即可．
【详解】
解：设，（）则由,
得，即．
复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图：

表示复数在复平面内对应点到点的距离
所以最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.
43．##
【解析】
【分析】
根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.
【详解】
在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则，
所以.
故答案为：
44．
【解析】
由已知建立不等式组，解之可得答案．
【详解】
根据题意得出，解得或，所以实数的取值范围是．
故答案为：．
45．0(答案不唯一)
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算及复数对应的点所在象限列出不等式求解.
【详解】
因为，
所以复数在复平面内对应的点为，
则解得．又为整数，可取–3，–2，–1，0，1，2，3.
故答案为：0．（答案不唯一，为–3，–2，–1，0，1，2，3均可）
46．
【解析】
【分析】
根据已知条件，求得复数在复平面内的轨迹方程，再求轨迹对应点构成图形的面积即可.
【详解】
不妨设复数，则，即，
则，其表示以为圆心且半径的圆的内部以及圆上的点，
则这些点构成的图形的面积为.
故答案为：.
47．6
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义以及纯虚数的概念即可求出．
【详解】
复数对应点的坐标为，若点在虚轴上，则，解得．
故答案为：6.
48．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得即可求解；
（2）找出复数对应的点的坐标，代入直线的方程即可求解.
【详解】
因为是实数，所以，也是实数.
（1）由题意可得 即，
解得：
即当时，点在第三象限.
（2）对应点，
由题意可得，
整理可得：，
解得：，
即当时，点Z在直线上.
49．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由实部为0且虚部不为0列式求解的值；
（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
【详解】
解：（1）由题意，解得．
（2）∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，
∴，
解得：．∴实效a的取值范围是．
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
50．（1）,（2）
【解析】
（1）复数z是纯虚数，其实部为0，虚部不为0，解方程与不等式组即可求得答案；
（2）依题意，可得，解出即可求得实数m的取值．
【详解】
（1）由题意有时，
解①得或，解②得且，
综合可得时，复数为纯虚数.
（2）由题意复数对应的点在直线上，
则有：，
解得：，
所以当时，复数对应的点在上.
【点睛】
本题考查复数的概念及几何意义，解题关键是根据复试的几何意义列出不等式及等式求解，属于中等题.
51．（1），；（2）证明详见解析，当时.
【解析】
【分析】
（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，可知，，然后进行数量积的坐标运算即可；
（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，以及复数的几何意义表示出、计算其数量积，利用作差法比较的大小，并得出何时取等号.
【详解】
解：（1）
，
所以
证明（2），


，
，


所以，当且仅当时取“”，此时.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
52．(1)或
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）由虚部为0可得；
（2）由实部为0，虚部不为0可得；
（3）由虚部大于0可得．
(1)
因为z为实数，所以，解得或
(2)
由z为纯虚数，则解得
(3)
由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或