初中数学中考复习 专题17 锐角三角函数-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题17 锐角三角函数-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（解析版），共95页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题17 锐角三角函数
一、单选题
1．（2022·贵州毕节）计算的结果，正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．
【详解】
解：
＝
＝
＝．
故选：B
【点睛】
此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2022·天津）的值等于（       ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．
【详解】
作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：


∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴，
故选 B．
【点睛】
本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．
3．（2022·辽宁沈阳）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合图形利用正切函数求解即可．
【详解】
解：根据题意可得：
，
∴，
故选C．
【点睛】
题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．
4．（2022·吉林长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】
∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
5．（2021·广东深圳）计算的值为（       ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】

故选C．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
6．（2021·福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长．
【详解】

，
．
故选D．
【点睛】
本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键．
7．（2020·湖南长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（     ）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
【答案】A
【解析】
【分析】
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】
解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
8．（2020·贵州黔西）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（       ）

A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【解析】
【分析】
过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B．

【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
9．（2022·广西贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】
设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故选A．
【点睛】
本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
10．（2022·广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（       ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】
【分析】
在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．
【详解】
解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
11．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（       ）（参考数据：，，）


A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度．
【详解】
解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴，
∵BC＝44cm，
∴cm．
∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，
∴．
∵AD为BC边上的高，，
∴在中，
，
∵，cm，
∴cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
12．（2022·湖北武汉）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
证明四边形ADBC为菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】
解：连接AD，如图：

∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，特殊角的三角函数值，证明四边形ADBC为菱形是解题的关键．
13．（2022·湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．
【详解】
解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，


∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）．
故选：A．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．
14．（2021·山东济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】
解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴，
∴，，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
15．（2021·广西桂林）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】
解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴，
故选：D

【点睛】
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比．
16．（2021·黑龙江哈尔滨）如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意易得，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】
解：∵是的切线，
∴，
∵，，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．
17．（2021·广西柳州）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（       ）


A． B．6 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，，半径为4，求出，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】
解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，
∴，
∴，
线段扫过的图形为扇形，此扇形的半径为，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为4是解决本题的关键．
18．（2021·浙江金华）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（       ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】
过点A作，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
19．（2021·广东深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．
【详解】
∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠DEF=,
∴,
由题可知，△DCE为直角三角形，
在Rt△DEC中，
即： ,
∴,
故选：C
【点睛】
本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．
20．（2021·云南）在中，，若，则的长是（       ）
A． B． C．60 D．80
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB==80，
故选D．
【点睛】
本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
21．（2020·贵州黔南）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可．
【详解】
解：∵在中，，
∴，，，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数和解直角三角形的实际应用．注意数形结合思想的应用．
22．（2020·广西河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】
本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
23．（2020·吉林长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】
由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．
选项B、C、D都是错误的，
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
24．（2020·四川凉山）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）


A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；
【详解】
如图，取格点E，连接BE，


由题意得：，，，
∴．
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键．
25．（2022·内蒙古通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，计算出即可得到．
【详解】
解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．
26．（2022·广西贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，


∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
27．（2022·湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（       ）

A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．
【详解】
∵P点坐标为（1，1），
则OP与x轴正方向的夹角为45°，
又∵，
则∠BAO=45°，为等腰直角形，
∴OA=OB，
设OC=x，则OB=2OC=2x，
则OB=OA=3x，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．
28．（2022·四川宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根据折叠可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，则，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．
29．（2021·山东德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：，）

A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后因为楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化．
【详解】
由题意得：sin37°=，
∴h=5×=3，
∴调整后的楼梯长==6，
∴调整后的楼梯会加长：6-5=1m．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，掌握坡角的概念，熟记三角函数的定义是解题的关键．
30．（2021·山东日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过作于，于，得到，，设，，根据勾股定理得到，求得，，，于是得到结论．
【详解】
解：过作于，于，
，，
斜坡的斜面坡度，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
31．（2021·四川巴中）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）

A．sinB B．sinC
C．tanB D．sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【详解】
解：由勾股定理得：
,
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴，，，，只有A错误．
故选择：A．
【点睛】
此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答．
32．（2021·内蒙古呼和浩特）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（     ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．
【详解】

解： 设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：
，
解得x=，
则BD=，
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，
，
则∠BFD=22.5°，
∴外接圆直径d=BF=，
根据题意知周长÷d==，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理、多边形内角和、圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识，阅读理解题意是解决问题的关键．
33．（2020·广西柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．
34．（2020·山东济南）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（       ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
【答案】B
【解析】
【分析】
首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】
∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝≈0.4，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
二、填空题
35．（2022·广西柳州）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m．

【答案】50
【解析】
【分析】
直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．
【详解】
解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝，
∴，
∵BC＝30m，
∴，解得：AB=50m，
即迎水坡面AB的长度为50m．
故答案为：50
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
36．（2020·湖南湘潭）计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】

故答案为：．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
37．（2020·四川攀枝花）_______．
【答案】
【解析】
【详解】
.
故答案为.
38．（2020·江苏南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_____m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】7.5
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可；
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5．

【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确构造直角三角形是解题的关键．
39．（2020·湖北省直辖县级单位）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．

【答案】20
【解析】
【分析】
过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】
如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．

【点睛】
此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
40．（2021·广西梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）

【答案】326
【解析】
【分析】
根据正切的定义即可求出BC．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°，
，
∴（米）
故答案为：326
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
41．（2021·辽宁本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C和点D，则________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用正切的定义求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
42．（2021·湖北湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数）

【答案】20
【解析】
【分析】
过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得．
【详解】
解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，


由题意得：，，
，
在中，，，
在中，，
，
在中，，
即这架无人机的飞行高度大约是，
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
43．（2021·四川广元）如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．

【答案】
【解析】
【分析】
由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】
解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．
44．（2021·四川乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石顶点的仰角为，那么石碑的高度的长________米．（结果保留根号）

【答案】
【解析】
【分析】
先根据已知条件得出△ADC是等腰三角形，再利用AB=sin60°×AD计算即可
【详解】
解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60°
∴∠CAD=30°
∴△ADC是等腰三角形，
∴DA=DC又DC=5米
故AD=5米
在Rt△ADB中，∠ADB=60°
∴AB=sin60°×AD=米
故答案为：
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键
45．（2022·湖南湘西）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA
b2＝a2＋c2﹣2accosB
c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
从阅读可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcosA，将数值代入求得结果．
【详解】
解：由题意可得，



BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA
＝32＋42﹣2×3×4cos60°
＝13，
∴BC＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．
46．（2022·内蒙古通辽）如图，在矩形中，为上的点，，，则______．

【答案】##
【解析】
【详解】
解：设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键．
47．（2022·贵州遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米．

【答案】33792
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可．
【详解】
解：如图，过点O作，垂足为D，


根据题意，
∵，
∴，
∵在中， ，
∴，
∵，
∴由垂径定理可知：，
∴以为直径的圆的周长为，
故答案为：33792．
【点睛】
本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．
48．（2022·内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，）

【答案】17
【解析】
【分析】
如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BD，即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°，这样可以得到△COD∽△AOB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
【详解】
解：由题意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴，即，
∴AB=17(m)，
答：旗杆AB的高度约为17m．
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
49．（2022·江苏常州）如图，在四边形中，，平分．若，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】
过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．
【详解】
解：过点作的垂线交于，


，
四边形为矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，

，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．
50．（2022·广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝_____．

【答案】##0.625
【解析】
【分析】
先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH，得出
∠BAG=∠EBH，进而求出∠AOB=90°，再判断出△AOB~△ABG，求出，再判断出△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案．
【详解】
解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴，
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD=2AB，
∴AF=AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°，
∵BG=EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG=∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BG＝EH＝BE＝2，
∴BE=5，
∴AF=5，
∴，
∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
∴，即，
∴，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°=∠AOB，
∴∠BOM=∠AON，
∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，
∴∠OBM=∠OAN，
∴△OBM～△OAN，
∴，
∵点N是AF的中点，
∴，
∴，解得：BM=1，
∴AM=AB-BM=4，
∴．
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM是解本题的关键．
51．（2022·湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么__．

【答案】##0.75
【解析】
【分析】
根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题．
【详解】
解：∵大正方形ABCD的面积是100，
∴．
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴，
设，
则，
由勾股定理得，，
解得或（负值舍去），
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出AF的长是解题的关键．
52．（2022·黑龙江绥化）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据代入进行计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
53．（2022·贵州黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45°，点的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①米；②米；③若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.其中正确的是_______．（填写序号，参考数值：，）

【答案】①③④
【解析】
【分析】
过点D的水平线交AB于E，先证四边形EACD为矩形，ED=AC=12米，①利用三角函数求出AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°，②利用CD=AE=DEtan30°=4米， ③利用AB=18.8米＞12米，④点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，判断即可．
【详解】
解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=4米，故②不正确；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④．
故答案为①③④．


【点睛】
本题考查解直角三角形，矩形的判断与性质，掌握解直角三角形方法，矩形的判断与性质是解题关键．
54．（2021·贵州黔西）如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是___m．

【答案】100
【解析】
【分析】
过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，先解Rt△ACD，求出CD的长，则AH=CD，再解Rt△ABH，求出BH的长，然后根据BC=AD-BH即可得到这栋楼的高度．
【详解】
解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，

在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝150m，
∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m），
∴AH＝CD＝50m．
在Rt△ABH中，
∵∠BAH＝30°，AH＝50m，
∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m），
∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），
答：这栋楼的高度为100m．
故答案为：100．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，在此类题目中常用的方法是利用作高线转化为直角三角形进行计算．
55．（2021·贵州遵义）小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为 ___m．（结果精确到0.1m，参考数据：1.73）

【答案】8.5
【解析】
【分析】
先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE＝CD+DE即可得出结论．
【详解】
解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝4m，AB＝1.62m，
∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，
在Rt△AED中，
∵∠DAE＝60°，AD＝4m，
∴DE＝AD•tan60°＝4×＝4（m），
∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）
答：这棵树的高度约为8.5m．
故答案为：8.5．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
56．（2020·贵州黔南）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．

【答案】10
【解析】
【分析】
根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【详解】
解：在中，

∵，
∴．
在中，


．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．
57．（2020·辽宁阜新）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为_________m（结果精确到，参考数据：）．

【答案】4.7
【解析】
【分析】
如图所示作出辅助线，得到∠BAC=α=20°，AB=5，再利用余弦的定义，得到即可解答．
【详解】
解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，

由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，
则，
即，
故答案为：4.7．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线，熟悉余弦的定义．
58．（2020·湖北荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的，其中，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了_______km．

【答案】24
【解析】
【分析】
过点作，设，则，，在中，根据勾股定理得到，进一步求得，再根据三角函数可求，可得，，，从而求解．
【详解】
解：过点作，

设，
∵，
∴，，
在中，，
，
地在正中位置，
，
又∵，
，
∴，
∴，
小张某天沿路线跑一圈，他跑了．
故答案为：24．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
三、解答题
59．（2022·内蒙古通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位，）.

【答案】的长度约为9.8米
【解析】
【分析】
延长交的垂线于点，交于点,则四边形是矩形，根据图示，可得四边形是正方形，解，即可求解．
【详解】
解：如图，延长交的垂线于点，交于点,则四边形是矩形，


，
四边形是正方形，
，
，，
，
中，，
，
中，，
米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
60．（2022·黑龙江大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）

【答案】这条江的宽度AB约为732米
【解析】
【分析】
在和中，利用锐角三角函数，用表示出的长，然后计算出AB的长；
【详解】
解：如图，∵，
∴，
在中，∵，
∴米，
在中，∵，
∴（米），
∴（米） ，
答：这条江的宽度AB约为732米．


【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含表示出的长．
61．（2022·湖北武汉）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测杆顶E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：）

【答案】旗杆的高度约为18.9米．
【解析】
【分析】
过点D作DG⊥EF于点G，设EG=x，则EF=1.58+x．分别在Rt△AEG和Rt△DEG中，利用三角函数解直角三角形可得AG、DG，利用AD=20列出方程，进而得到EF的长度．
【详解】
解：过点D作DG⊥EF于点G，设EG=x，

由题意可知：
∠EAG=30°，∠EDG=60°，AD=20米，GF=1.58米．
在Rt△AEG中，tan∠EAG=，
∴AG=x，
在Rt△DEG中，tan∠EDG=，
∴DG=x，
∴x-x=20，
解得：x≈17.3，
∵EF=1.58+x=18.9(米)．
答：旗杆的高度约为18.9米．
【点睛】
此题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．
62．（2022·贵州铜仁）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为和桥墩底部B处的俯角为，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为，测得C、D两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩的高度．（结果保留整数，参考数据：）

【答案】103米
【解析】
【分析】
延长DC交AB于点E，设CE=x米，由题意可得AB⊥DE，解Rt△AEC求得AE，解Rt△BEC求得BE，解Rt△AED求得DE，根据CD=DE-CE列方程求得x即可；
【详解】
解：延长DC交AB于点E，设CE=x米，


∵AB、CD在同一平面内，AB⊥水平地面，点C、D在同一水平地面，
∴AB⊥DE，
Rt△AEC中，∠ACE=60°，EC=x米，则AE=EC•tan∠ACE=米，
Rt△BEC中，∠BCE=40°，EC=x米，则BE=EC•tan∠BEC=0.84x米，
Rt△AED中，∠D=30°，AE=米，则DE=AE÷tan∠D=3x米，
∵CD=DE-CE=3x-x=80米，
∴x=40米，
∴AB=AE+BE=米，
∴桥墩的高度为103米；
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握正切三角函数的相关概念是解题关键．
63．（2022·吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）

【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【解析】
【分析】
根据正弦的概念即可求解．
【详解】
解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
64．（2022·山东威海）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．

【答案】约为1.7米
【解析】
【分析】
过点M作MN⊥AB，利用正切函数得出AN≈，BN≈，结合图形得出，然后求解即可．
【详解】
解：过点M作MN⊥AB，


根据题意可得：，
∴AN≈
，
∴BN≈
∵AN+BN=AB=50，
∴，
解得：MN=m，
∴河流的宽度约为1.7米．
【点睛】
题目主要考查利用锐角三角函数解决实际问题，理解题意，结合图形进行求解是解题关键．
65．（2022·黑龙江绥化）如图所示，为了测量百货大楼顶部广告牌的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得，仪器高度忽略不计，求广告牌的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）

【答案】4.9m
【解析】
【分析】
先求出BC的长度，再分别在Rt△ADC和Rt△BEC中用锐角三角函数求出EC、DC，即可求解．
【详解】
根据题意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°，
则BC=AC-AB=30-10=20，
在Rt△ADC中，，
在Rt△BEC中，，
∴，
即
故广告牌DE的高度为4.9m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．
66．（2021·甘肃兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）

【答案】
【解析】
【分析】
根据，然后根据即可得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：m，
∵，
∴，即，
解得：m，
∴m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键．
67．（2021·湖南湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．

某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作，用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼的高度．（结果保留整数，，）
【答案】米．
【解析】
【分析】
利用俯角定义，结合正弦、正切的定义、含30°角的直角三角形的性质，分别解得的长，再计算AD的长即可．
【详解】
解：在中，





中，



（米）
答：万楼主楼的高度为米．
【点睛】
本题考查解直角三角形，涉及俯角问题、含30°角的直角三角形，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
68．（2020·西藏）如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF，卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角∠ACF＝60°，AC长7米．接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角∠B＝30°．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）．

【答案】2米
【解析】
【分析】
在Rt△ACF中，根据三角函数的定义得到AF＝AC•tan60°＝7米，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义得到AE＝AB•tan30°＝15×＝5米，进而得到结论．
【详解】
解：在Rt△ACF中，∵∠ACF＝60°，AC＝7米，
∴AF＝AC•tan60°＝7米，
∵BC＝8米，
∴AB＝15米，
在Rt△ABE中，∵∠B＝30°，
∴AE＝AB•tan30°＝15×＝5米，
∴EF＝AF﹣AE＝7﹣5＝2（米），
答：信号塔EF的高度为2米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是找到并运用题中相等的线段．
69．（2020·内蒙古鄂尔多斯）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）

【答案】177cm
【解析】
【分析】
记地面水平线为，通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt和在Rt中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15＝190cm，进而求OG即可．
【详解】
解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，
过点 A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt中，∠AOE＝26°，OA＝10，
则OE＝OA•cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，




在Rt中，∠BAF＝30°，AB＝8，
则BF＝AB•sin∠BOF＝8×＝4cm，
∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．

【点睛】
本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握构造直角三角形与矩形，利用锐角三角函数与矩形的性质是解题的关键．
70．（2022·广西河池）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

【答案】59m
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，先证明四边形BECD是矩形，BE＝CD＝36m，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，求得AE≈23.4m，进而得到居民楼AB的高度．
【详解】
解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，

由题意可知∠CDB＝∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是矩形，
∴BE＝CD＝36m，
由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，
∴∠EBC＝90°－∠BCE＝45°，
∴∠EBC＝∠BCE，
∴BE＝CE＝CD＝36m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CEtan33°≈23.4m，
∴AB＝AE＋BE＝23.4＋36＝59.4≈59（m）．
答：居民楼AB的高度约为59m．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
71．（2022·甘肃兰州）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）

【答案】m
【解析】
【分析】
根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】
解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，
设CF＝x，
∴CD＝CF+DF＝（x+3），
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31°，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
72．（2022·江苏盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．

(1)求、两点之间的距离；
(2)求长．
（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
【答案】(1)6.7m
(2)4.5m
【解析】
【分析】
（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
(1)
解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．

在中，，
，所以，
，所以，
在中，m，m，
根据勾股定理得m，
答：、两点之间的距离约6.7m．
(2)
如图2，过点作，垂足为，

则四边形为矩形，m，，
所以m，
在中，m，m，
根据勾股定理得m．
m．
答：的长为4.5m．
【点睛】
求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解
73．（2022·广东广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．


(1)求BC的长；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．
【答案】(1)；
(2)①；②旗杆AB高度约．
【解析】
【分析】
（1）根据BC =5CD，求解即可；
（2）①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，根据相似的性质求解即可；②当时，作点D到AB的垂线段DF，在Rt△ADF中，，求出，进一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
(1)
解：．
(2)
解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，


∴，
∴，
②当时，作点D到AB的垂线段DF，


则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，
Rt△ADF中，，
∴．
∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
∴旗杆AB高度约12.8m．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，近似运算．解题的关键是掌握相似三角形的性质，解直角三角形．
74．（2022·辽宁大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为，测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟．


(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米；
(2)请你利用小明测量的数据，求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据：）
【答案】(1)300
(2)白塔的高度约为米．
【解析】
【分析】
（1）由路程等于速度乘以时间即可得到答案；
（2）由题意可得： 而 再求解 再利用 再解方程即可．
(1)
解：∵索速车运行的速度是1米/秒，索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟，
∴（米）
故答案为：300
(2)
解：由题意可得：
而

∴
∴
所以白塔的高度约为米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，熟练的利用三角函数建立方程是解本题的关键．
75．（2022·青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型ABCD的面积.（结果保留整数，参考数据：，）

          图1                                                            图2
【答案】24
【解析】
【分析】
过作垂直的延长线于，交于点，构建等直角三角形；，则在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，即可求出CF，勾股定理求出DF即可．在根据等腰直角三角形的性质，得出△DAE的底和高即可求出面积．
【详解】
解：过作垂直的延长线于，交于点．
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，三角形的全等以及勾股定理，根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理求出三角形的各边是解题的关键．
76．（2022·贵州贵阳）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．


(1)求，两点之间的距离（结果精确到1m）；
(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)760米
(2)未超速，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）分别解，求得，根据即可求解；
（2）根据路程除以速度，进而比较即可求解．
(1)

四边形是平行四边形

四边形是矩形，

在中，

在中，


答：，两点之间的距离为760米；
(2)
，
小汽车从点行驶到点未超速．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
77．（2021·山东青岛）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．
（参考数据：，，，，，）

【答案】96米
【解析】
【分析】
延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【详解】
延长交于点，
过点作，交于点，
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，.
在中，，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：大楼的高度约为96米.


【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
78．（2021·四川内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）

【答案】米．
【解析】
【分析】
作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
【详解】
解：作于点，设米，

在中，，
则（米，
∵，且AE=8
∴
∴
在直角中，米，
在直角中，，
米．
，即．
解得：，
则米．
答：的高度是米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
79．（2021·广西河池）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为，从A处看风筝的仰角为，小明的父母从C处看风筝的仰角为．

（1）风筝离地面多少m？
（2）AC相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）50；（2）128.6
【解析】
【分析】
（1）如图，过作，根据的正弦及的长即可求得即风筝的高度；
（2）分别根据的余弦以及的正切求得，进而求得．
【详解】
（1）如图，过作


m，
风筝离地面50m
（2）




相距128.6m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题的关键．
80．（2021·辽宁鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走到达C处，再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）

【答案】
【解析】
【分析】
作于E，于F，易得四边形BCFE是矩形，则，，设，则，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，在中，，根据题意得到，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．
【详解】
解：如图，作于E，于F，

，
四边形BCFE是矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
答：公园北门A与南门B之间的距离约为．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键．
81．（2020·四川巴中）如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台合风中心距离小岛200海里．

（1）过点B作于点P，求的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：，，，）
【答案】（1）59°；（2）沿海城市B不会受到台风影响，见解析
【解析】
【分析】
（1）先由∠MAC=60°知∠BAC=30°，再由BP⊥AC知∠ABP=60°，结合∠CBN=29°，∠ABN=90°得∠ABC=119°，继而根据∠PBC=∠ABC-∠ABP可得答案；
（2）先求出∠C=31°，由tan31°=0.60知，设BP为x海里，表示出海里，海里，根据AC=200海里建立关于x的方程，解之求出x的值，与50进行大小比较可得答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴，
设BP为x海里，
则海里，海里，
∴，
解得：，
∵，
∴沿海城市B不会受到台风影响．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握直角三角形的有关性质和三角函数的定义及其应用．
82．（2020·四川广安）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）

【答案】（1）的长度为；（2）的长度为18.9cm
【解析】
【分析】
（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°=，求出CD的长．
（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=AO，再代入数计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）在中，，

答：的长度为；
（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO=（+x）厘米，AO=（154+x）厘米，
∵∠A=30°，
∴CO=AO，
+x=（154+x），
解得：x=154-78≈154-135.096≈18.9cm．
答：的长度为18.9cm．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用和圆的基本性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和圆的半径相等是解题关键．
83．（2020·辽宁辽宁）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）
（参考数据）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度．
（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可．
【详解】
解：（1）垂直于桥面

在中，

（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．


（2）在中，



（米）
答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【点睛】
本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
84．（2020·辽宁锦州）如图，的对角线交于点E，以为直径的经过点E，与交于点F,G是延长线上一点，连接，交于点H，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先根据圆周角定理可得，再根据菱形的判定与性质可得平分，然后根据角平分线的定义、等量代换可得，最后根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，据此根据圆的切线的判定即可得证；
（2）方法1：先在中，利用正切三角函数可得，再根据菱形的性质可得，然后在中，利用正切三角函数可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得；
方法2：先在中，利用正切三角函数可得，再根据菱形的性质可得，然后利用相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
（1）是直径
，即
四边形是平行四边形
平行四边形是菱形
平分

又




，即
又是直径
是的切线；
（2）方法1：，


四边形是菱形



，
，即
解得


即的直径为；
方法2：，


四边形是菱形





在和中，

，即
解得


即的直径为．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、正切三角函数、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），熟练运用正切三角函数、相似三角形的判定与性质是解题关键．
85．（2020·内蒙古赤峰）如图，AB是的直径，AC是的一条弦，点P是上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D.
（1）求证:PD是的切线；
（2）若tan∠PAC= ，AC = 12.求直径AB的长.

【答案】（1）证明过程见解析；（2）AB=13，过程见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OP，因为PDAC，两直线平行内错角相等，且PA=PC，可得∠DPA =∠PAC=∠PCA=∠PBA，又因为直径所对圆周角为直角，故∠APO+∠OPB=90°，其中∠OPB=∠OBP，即可证得∠DPO=90°，即PD为⊙O的切线；
（2）作PEAC，在等腰PAC中，三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知tan∠PAC=，AC=12，用勾股定理可得AP的长度，且∠PAC=∠PBA，故PB的长度也可算得，再用勾股定理即可求得AB的长度．
【详解】
解：（1）如图所示，连接OP，

∵PDAC，
∴∠DPA =∠PAC（两直线平行，内错角相等），
又∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，∠PAC=∠PCA，∠PAC是所对圆周角，∠PCA是所对圆周角，
∴=，且∠PBA是所对圆周角，故∠PAC=∠PCA=∠PBA，
∵AB是⊙O的直径，直径所对圆周角为直角，
∴∠APB=90°，故∠APO+∠OPB=90°，
又∵OP=OB，故OPB为等腰三角形，∠OPB=∠OBP，
∴∠APO+∠DPA=90°，即∠DPO=90°，
∴PD为⊙O的切线；
（2）如下图所示，作PEAC，

∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，等腰三角形三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知AC=12，
∴AE=6，且tan∠PAC==，故PE=4，
由勾股定理可得：，
由（1）已证得∠PAC=∠PCA=∠PBA，故tan∠PBA=，
∴，故，
由勾股定理可得：．
【点睛】
本题考查了等边对等角、等腰三角形三线合一、平行线间的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理，解题的关键在于应用等边对等角及平行线性质，证得图形中的相等角，利用角的代换来做题．
86．（2020·广西贵港）已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；
（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．
①求证：四边形是平行四边形：
②当时，求四边形的面积．

【答案】（1）2，4；（2）①见解析；②
【解析】
【分析】
（1）过点F作FH⊥AB，由翻折的性质可知：AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∠G＝∠A＝90°根据平行线的性质和等量代换可得∠CFE＝∠FEC，由等角对等边可得：CF＝CE，设AE＝CE＝x，BE＝6﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，进而可得BE、DF的长，由矩形的判定可得四边形DAHF是矩形，进而可求FH、EH的长，最后由勾股定理可得EF的长；
（2）①根据折叠的性质可得，进而可得，根据已知条件可得，从而易证，进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；
②连接与交于点，则且，又由①知：， ，则，继而易证∠MAD＝PAB，接根据三角函数求得PB，设，则，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解．
【详解】
解：（1） 2 ， 4 ；
过点F作FH⊥AB，
∵折叠后点A、P、C重合
∴AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，
∵CD∥AB
∴∠CFE＝∠FEA，
∴∠CFE＝∠FEC，
∴CF＝CE＝AE，
设AE＝CE＝CF＝x，BE＝AB﹣AE＝6﹣x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，即
解得： x＝4，即AE＝CE＝CF＝4
∴BE＝2、DF＝2，
∵∠D＝∠A＝∠FHA＝90°
∴四边形DAHF是矩形，
∴FH＝、EH＝AB﹣BE﹣AH＝6﹣2﹣2＝2
在Rt△EFH中，由勾股定理可得: ＝4

（2）①证明：如图2，
∵在矩形中，，
由折叠（轴对称）性质，得：，
∴，
∵点是的中点，∴，
又，∴，
∴，∴四边形是平行四边形：
②如图2，连接与交于点，则且，
又由①知：，∴，则，
又，∴，∴
在，，
而，∴，
又在中，若设，则，
由勾股定理得：，则，
而且，
又四边形是平行四边形，
∴四边形的面积为．

【点睛】
本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．