初中数学中考复习 专题11 四边形问题（原卷版）

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品

专题11  四边形问题

【考点1】多边形的内角和与外角和

【例1】（2020·湖北宜昌·中考真题）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（    ）．

A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短

C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长

【变式1-1】（2020·内蒙古赤峰·中考真题）一个边形的内角和是它外角和的4倍，则______．

【变式1-2】（2020·山东烟台·中考真题）若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和等于     ．

【考点2】平行四边形的判定与性质的应用

【例2】（2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）若，，且，求的长

【变式2-1】（2020·四川中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____．

【变式2-2】（2020·四川广元·中考真题）已知，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．

（1）求证：；

（2）若，的面积为2，求的面积．

【变式2-3】（2020·四川乐山·中考真题）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．

（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是      ；

（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．

【考点3】矩形的判定与性质的应用

【例3】（2020·湖南郴州·中考真题）如图，在矩形中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点，则__________．

【变式3-1】（2020·广东广州·中考真题）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【变式3-2】10．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为、的中点，延长至点E，使，连接．

（1）求证：；

（2）若，且，，求四边形的面积．

【考点4】菱形判定与性质的应用

【例4】（2020·广东广州·中考真题）如图，中，．

（1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点．

①求证：四边形是菱形；

②取的中点，连接，若，，求点到的距离．

【变式4-1】（2020·北京中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

【变式4-2】（2020·山东临沂·中考真题）如图，菱形的边长为1，，点E是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点F，G，，的中点分别为M，N．

（1）求证：；

（2）求的最小值；

（3）当点E在上运动时，的大小是否变化？为什么？

【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变，理由见解析.

【变式4-3】（2019·辽宁中考真题）如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为___．

【考点5】正方形的判定与性质的应用

【例5】（2020·江苏盐城·中考真题）如图，点是正方形，的中心．

（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接求证：．

【变式5-1】（2020·四川内江·中考真题）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．

（1）连结CQ，求证：；

（2）若，求的值；

（3）求证：．

【变式5-2】（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．

（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是____；

（2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．

1．（2020·浙江绍兴·中考真题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形

B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形

C．平行四边形→正方形→菱形→矩形

D．平行四边形→菱形→正方形→矩形

2．（2020·山东烟台·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·四川中考真题）多边形的内角和不可能为（　　）

A．180° B．540° C．1080° D．1200°

4．（2020·广西河池·中考真题）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　）

A．5 B．6 C．4 D．5

5．（2020·云南中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点，是的中点，则与的面积的比等于（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·四川眉山·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　  ）

A．个 B．个 C．个 D．个

7．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）正n边形的一个内角等于135°，则边数n的值为_________．

8．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．

9．（2020·河南中考真题）如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________．

10．（2020·湖南）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将，分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为_____．

11．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若，，,则线段AE的长为_____．

12．（2020·四川中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____．

13．（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．

14．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，正六边形内部有一个正五形，且，直线经过、，则直线与的夹角________．

15．（2020·辽宁铁岭·中考真题）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是____________．

16．（2020·辽宁盘锦·中考真题）如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________．

17．（2020·山东聊城·中考真题）如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．

18．（2020·四川中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．

（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．

（2）连接DF，若BC＝，求DF的长．

19．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点作于，延长交于点．

（1）如图1，若，，易证：；

（2）如图2，；如图3，，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．

20．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）连接，若，，，求四边形的面积．

21．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践

在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．

实践发现：

对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．

（1）折痕BM　   　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　   　；进一步计算出∠MNE＝　   　°；

（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　   　°；

拓展延伸：

（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．

求证：四边形SATA'是菱形．

解决问题：

（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值　   　．

22．（2020·湖南益阳·中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为．

①求的长．

②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．