初中数学中考复习专题11 二次函数综合（解析版）

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这是一份初中数学中考复习专题11 二次函数综合（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

《2020中考数学考前重难点限时训练》
专题11 二次函数综合解析版
（限时：45分钟）
一、选择题（本大题共8道小题）
1. 若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x的取值范围是 (　　)
A.x<-4或x>2 B.-4≤x≤2
C.x≤-4或x≥2 D.-4【答案】D　
[解析]∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4，0)，
∵a<0，∴抛物线开口向下，
则使函数值y>0成立的x的取值范围是-42. 将二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与直线y=2有两个交点，则a的取值范围是 (　　)
A.a>3 B.a<3 C.a>5 D.a<5
【答案】D　
[解析]∵y=x2-4x+a=(x-2)2+(a-4)，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为y=(x-1)2+(a-3).
令2=(x-1)2+(a-3)，即x2-2x+a-4=0，由Δ=4-4(a-4)>0，得a<5.
3. 一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是 (　　)

【答案】A　
[解析]∵双曲线y=cx位于第一、三象限，
∴c>0，∴抛物线与y轴交于正半轴.
∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，∴a<0，b>0，即-b2a>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.
4. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 (　　)

A.18 m2 B.183 m2 C.243 m2 D.4532 m2
【答案】C　
[解析]如图，过点C作CE⊥AB于E，设CD=x，

则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x.
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∴BE=12BC=6-12x，
∴AD=CE=3BE=63-32x，AB=AE+BE=x+6-12x=12x+6，
∴梯形ABCD的面积=12(CD+AB)·CE=12(x+12x+6)·(63-32x)=-338x2+33x+183=-338(x-4)2+243，
∴当x=4时，S最大=243，即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大，最大面积为243 m2，故选C.
5. 已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x<-1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 (　　)
A.a<2 B.a>-1 C.-1【答案】D　
[解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，∴Δ=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0，解得a<2.
∵抛物线的对称轴为直线x=--2a2=a，抛物线开口向上，而当x<-1时，y随x的增大而减小，
∴a≥-1，∴实数a的取值范围是-1≤a<2.故选D.
6. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;
②小球抛出3秒后，速度越来越快;
③小球抛出3秒时速度为0;
④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.
其中正确的是 (　　)

A.①④ B.①② C.②③④ D.②③
【答案】D　
[解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m，故①错误;
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确;
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确;
④设函数解析式为:h=a(t-3)2+40，
把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-409，
∴函数解析式为h=-409(t-3)2+40.
把h=30代入解析式得，30=-409(t-3)2+40，解得t=4.5或t=1.5，
∴小球的高度h=30 m时，t=1.5 s或4.5 s，故④错误，故选D.
7. 在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则 (　　)
A.M=N-1或M=N+1 B.M=N-1或M=N+2
C.M=N或M=N+1 D.M=N或M=N-1
【答案】C　
[解析]先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，计算当y=0时，关于x的一元二次方程根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若为一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答.∵y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，∴Δ=(a+b)2-4ab，又∵a≠b，(a+b)2-4ab=(a-b)2>0，∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点，∴M=2.∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1，∴当a≠b，ab≠0时，(a+b)2-4ab=(a-b)2>0，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N;
当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1.综上可知，M=N或M=N+1.故选C.
8. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3，0)，其对称轴为直线x=-12.结合图象分析下列结论:①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时，y随x的增大而增大;④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-13，x2=12;⑤b2-4ac4a<0;⑥若m，n(m2，其中正确的结论有 (　　)

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C　
[解析]①由图象可知a<0，b<0，c>0，
∴abc>0，故①正确;
②由于对称轴是直线x=-12，
∴a=b.
∵图象与x轴的一个交点是(-3，0)，∴另一个交点是(2，0)，
把(2，0)代入解析式可得4a+2b+c=0，
∴6a+c=0，∴3a+c=-3a，
∵a<0，∴-3a>0，∴3a+c>0，故②正确;
③由图象可知当-12 ④一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=2，∴一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-13，x2=12，正确;
⑤由图象顶点的纵坐标大于0可知，4ac-b24a>0，∴b2-4ac4a<0，正确;
⑥若m，n(m2，⑥正确，综上，正确的结论有5个，
故选C.
二、填空题（本大题共5道小题）
9. 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，则方程ax2=bx+c的解是　　　　.

【答案】x1=-2，x2=1　
[解析]∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，∴y=ax2，y=bx+c的解为x1=-2，y1=4，x2=1，y2=1.即方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1.
10. 已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　　　　.
【答案】(1，4)　
[解析]∵A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，
∴代入得c=3，-4+2b+c=3，解得b=2，c=3，
∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，顶点坐标为(1，4).
11. 已知二次函数y=-(x-1)2+2，当t【答案】1≤t<5　
[解析]抛物线的对称轴为直线x=1，因为a=-1<0，所以抛物线开口向下，所以当x>1时，y的值随x值的增大而减小，因为t12. 已知函数y=-x2+2x(x>0)，-x(x≤0)的图象如图所示，若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为　　　　.

【答案】0 [解析]由y=x+m与y=-x2+2x联立得x+m=-x2+2x，整理得x2-x+m=0，当有两个交点时，b2-4ac=(-1)2-4m>0，解得m<14.
当直线y=x+m经过原点时与函数y=-x2+2x(x>0)，-x(x≤0)的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0，∴m的取值范围为013. 如图，抛物线y=-14x2+12x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为　　　　.

【答案】25　
[解析]当y=0时，-14x2+12x+2=0，解得x1=-2，x2=4，∴点A的坐标为(-2，0).
当x=0时，y=-14x2+12x+2=2，∴点C的坐标为(0，2).
当y=2时，-14x2+12x+2=2，解得x1=0，x2=2，
∴点D的坐标为(2，2).
设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将A(-2，0)，D(2，2)代入y=kx+b，得-2k+b=0，2k+b=2，解得k=12，b=1，
∴直线AD的解析式为y=12x+1.
当x=0时，y=12x+1=1，∴点E的坐标为(0，1).
当y=1时，-14x2+12x+2=1，解得x1=1-5，x2=1+5，
∴点P的坐标为(1-5，1)，点Q的坐标为(1+5，1)，
∴PQ=1+5-(1-5)=25.
三、解答题（本大题共3道小题）
14. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A，D重合).
(1)求抛物线和直线l的解析式;
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值;
(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

　
【答案】(1) y=-x2+3x+4， y=-x-1；(2)18；(3) (2+14，-3-14)，(2-14，-3+14)，(4，-5)，(-4，3).
[解析] (1)将点A，D的坐标代入y=kx+n得:
-k+n=0，5k+n=-6，解得:k=-1，n=-1，
故直线l的表达式为y=-x-1.
将点A，D的坐标代入抛物线表达式，
得-1-b+c=0，-25+5b+c=-6，　解得b=3，c=4.
故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.
(2)∵直线l的表达式为y=-x-1，
∴C(0，-1)，则直线l与x轴的夹角为45°，即∠OAC=45°，
∵PE∥x轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.
又∵PF∥y轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF.

设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，
则点F(x，-x-1)，
∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18，
∵-2<0，∴当x=2时，PE+PF有最大值，其最大值为18.
(3)由题意知N(0，4)，C(0，-1)，∴NC=5，
①当NC是平行四边形的一条边时，有NC∥PM，NC=PM.
设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点M的坐标为(x，-x-1)，
∴|yM-yP|=5，即|-x2+3x+4+x+1|=5，
解得x=2±14或x=0或x=4(舍去x=0)，
则点M坐标为(2+14，-3-14)或(2-14，-3+14)或(4，-5);
②当NC是平行四边形的对角线时，线段NC与PM互相平分.
由题意，NC的中点坐标为(0，32)，
设点P坐标为(m，-m2+3m+4)，
则点M(n'，-n'-1)，
∴0=m+n'2，32=-m2+3m+4-n'-12，
解得:n'=0或-4(舍去n'=0)，故点M(-4，3).
综上所述，存在点M，使得以N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标分别为:
(2+14，-3-14)，(2-14，-3+14)，(4，-5)，(-4，3).
15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，-2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x=-1.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若点P在第二象限内，且PE=14OD，求△PBE的面积.
(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】(1) y=14x2+12x-2；(2) 58；(3) -20+255，55或-285，45.

[解析] (1)由题意得点A的坐标是(2，0)，抛物线的对称轴是直线x=-1，则点B(-4，0)，
设函数表达式为:y=a(x-2)(x+4)=a(x2+2x-8)，
将C(0，-2)的坐标代入，得-8a=-2，
解得:a=14，
故抛物线的表达式为:y=14x2+12x-2.
(2)易得直线BC的表达式为:y=-12x-2.
设点D(x，0)，
则点P(x，14x2+12x-2)，点E(x，-12x-2)，
∵PE=14OD，点P在直线BC上方，
∴PE=(14x2+12x-2+12x+2)=14(-x)，
解得:x=0或-5(舍去x=0)，则点D(-5，0).
故S△PBE=12×PE×BD=12×14OD×BD=12×54×1=58.
(3)由题意得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，存在:BD=BM和BD=DM两种情况，

易得BD=1.
①当BD=BM，M点在线段CB的延长线上时，过点M作MH⊥x轴于点H，
易得△MHB∽△COB，则MHMB=COBC，
即MH1=225，解得MH=55.
令y=-12x-2=55，解得x=-20+255，
故点M-20+255，55.
②当BD=DM'时，
设点M'x，-12x-2，其中x<-4.则M'D2=[x-(-5)]2+-12x-2-02=1.
整理得x2+485x+1125=0.
解得x1=-4(舍去)，x2=-285.
当x=-285时，-12x-2=45.故点M'-285，45.
综上所述，点M坐标为-20+255，55或-285，45.
16. 如图，二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=25x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.
(1)点D的坐标是　　　　.
(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D，C重合)，点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA，DB分别交于点P，Q，使得△DPQ与△DAB相似.
①当n=275时，求DP的长;
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　　　　.

【答案】(1) (2，9) ； (2) ①954或352 ，②95 [解析](1)直接用顶点坐标公式求即可;
(2)由题意可知点C2，95，A-52，0，点A关于对称轴对称的点为132，0，借助直线AD的解析式求得B(5，3);①当n=275时，N2，275，可求DA=952，DB=35，DN=185，CD=365.当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，DP=954;当PQ与AB不平行时，DP=352;②当PQ∥AB，
DB=DP时，DB=35，DN=245，所以N2，215，则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，
95 解:(1)(2，9)
(2)∵对称轴为直线x=2，
∴y=25×2+1=95，
∴C2，95.
由已知可求得A-52，0，
点A关于直线x=2对称的点的坐标为132，0，
则直线AD关于直线x=2对称的直线的解析式为y=-2x+13，
令-2x+13=25x+1，得x=5，25×5+1=3，
∴B(5，3).
①当n=275时，N2，275，
由D(2，9)，A-52，0，B(5，3)，C2，95，可得DA=952，DB=35，DN=185，CD=365.
当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，
∵PQ∥AB，∴△DAC∽△DPN，
∴DPDA=DNDC，
∴DP=954;
当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，
易得△DNP∽△DCB，
∴DPDB=DNDC，
∴DP=352.
综上所述，DP=954或352.
②95 ∴DPDA=DNDC，即35952=DN365，
∴DN=245，
∴N2，215，
易知在N2，215与C2，95之间时，有且只有一个△DPQ与△DAB相似.
∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，
95 故答案为95