2022-2023学年天津四十七中高三（上）期末数学试卷(含答案解析)

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2022-2023学年天津四十七中高三（上）期末数学试卷1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  “”是“函数的图象与x轴只有一个公共点”的(    )A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件3.  函数的图象大致是(    )A.  B.
C.  D. 4.  已知，，，则下列关系正确的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  某校通过问卷调查了解500名学生周末参加体育锻炼的时间，频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：则在调查的学生中周末参加体育锻炼的时间不少于60分钟的人数是(    )
A. 125 B. 175 C. 200 D. 3006.  表面积为的正四面体的外接球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 7.  下列关于函数的命题，正确的有个(    )
它的最小正周期是
是它的一个对称中心
是它的一条对称轴
它在上的值域为A. 0 B. 1 C. 2 D. 38.  已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线：和：的距离之和的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 9.  平面内，定点A，B，C，D满足，且，动点P，M满足，，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知复数z满足，则z的虚部为______.11.  展开式中的常数项是______.12.  设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为______.13.  甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则______；若随机从甲箱中取出3个球，设取到红球个数为随机变量X，则X的数学期望为______.14.  设x，，若，则的最大值是______.15.  已知函数，函数恰有三个不同的零点，则m的取值范围是______.16.  已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且
求A；
若，求的值；
若的面积为，，求的周长．17.  如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，N为PD的中点．
求证：平面PBC；
求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.  已知椭圆C：的离心率为，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为
求椭圆C的标准方程；
若直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于，，若，求证：直线l过一定点，并求出定点坐标．19.  已知正项等差数列与等比数列满足，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．
求数列和的通项公式；
记，其中，求数列的前2n项和；
令，求证20.  已知函数，
已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
当时，若对于任意，，都存在，使得，证明；
答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：由，得或，
所以
由，得或，
所以或，
从而
故选：
先求出集合A，B，再结合补集、交集的定义，即可求解．
本题主要考查补集、交集的定义，属于基础题．
 2.【答案】B 【解析】解：当时，函数的图象与x轴只有一个公共点，满足题意，
当时，函数的图象与x轴只有一个公共点，则，解得，
综上所述：或
故选：
考虑和两种情况，计算得到，根据范围大小得到答案．
本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
 3.【答案】B 【解析】解：根据题意，设，其定义域为，
，为偶函数，排除A，
在区间上，，，
有，则函数在区间上为增函数，排除C、D，
故选：
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除A，再利用导数分析在区间上的单调性，排除C、D，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，属于基础题．
 4.【答案】A 【解析】解：，
由于在R上递增，所以，即，
，
所以，即
故选：
根据指数函数的单调性、对数函数的知识求得正确答案．
本题主要考查实数的大小比较，考查指数函数的性质以及对数运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 5.【答案】C 【解析】解：根据频率分布直方图知，设调查的学生中周末参加体育锻炼的时间在内的频率为x，
则，
解得，
所以不少于60分钟的频率为：，
对应的人数是人
故选：
根据频率分布直方图求出调查的学生中周末参加体育锻炼的时间在内的频率，计算不少于60分钟的频率和对应的人数即可．
本题考查了频率分布直方图应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
 6.【答案】B 【解析】解：表面积为的正四面体的棱长为
将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为，
正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，
外接球的表面积的值为
故选：
表面积为的正四面体的棱长为，将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．
本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于基础题．
 7.【答案】C 【解析】解：，
所以，故错误；
令，解得，当时，，
故是函数的一个对称中心，故错误；
令，解得，当时，，所以是函数的一条对称轴，故正确；
当时，故正确．
故选：
根据三角恒等变换化简函数为正弦型三角函数，利用正弦型函数的对称轴、对称中心、周期，值域求解判断即可．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质，属于中档题．
 8.【答案】D 【解析】解：设双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，
渐近线方程为，所以，
所以；
又因为，所以，
所以，
所以抛物线的焦点为，
即，解得，所以抛物线方程为；
过点M作MA垂直于直线，垂足为点A，作准线于点C，连接MF，
根据抛物线的定义得，
设M到的距离为，M到直线的距离为，
则，
根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，有最小值．
因为到直线：的距离为，
所以的最小值是，
由此可得所求距离和的最小值为
故选：
根据给定条件，借助双曲线的性质求出抛物线焦点F的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值即可．
本题考查了双曲线的渐近线方程应用问题，也考查了点到直线的距离公式、抛物线的定义和简单几何性质应用问题，是中档题．
 9.【答案】D 【解析】解：由题可知，则D到A，B，C三点的距离相等，
所以D是的外心，
又，
变形可得，
所以，同理可得，，
所以D是的垂心，
所以的外心与垂心重合，
所以是正三角形，且D是的中心；
由，解得，
所以的边长为；
如图所示，以A为坐标原点建立直角坐标系，

则，，，，
可设，其中，而，
即M是PC的中点，则，
，
当时，取得最大值为
故选：
由题意知D是的外心，判断D也是的垂心，即外心与垂心重合，是正三角形，D是的中心；
再求得DA和边长的值，以A为坐标原点建立直角坐标系，利用坐标表示向量，从而求出的最大值．
本题考查了平面向量的数量积与模长公式应用问题，也考查了三角函数求最值的应用问题，是难题．
 10.【答案】 【解析】解：设，
则，
，
，即，解得，，
故z的虚部为
故答案为：
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数虚部的概念，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数虚部的概念，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：设展开式的通项为   ，
若求常数项，令，，则常数项为
故答案为：
本题可把通项写出，然后将x项的指数合并，并令指数为0，即可求．
本题考查二项式定理，属于基础题．
 12.【答案】或 【解析】解：圆，即，
所以圆心C为，半径，
又直线l被圆截得的弦长，
圆心C到直线l的距离，
①当直线l过且斜率不存在时，l的方程为，满足圆心到的距离为1，
，满足题意，
②当直线l过且斜率存在时，
设l为，即，
圆心C到直线l的距离，解得，
直线l方程为，
综合可得直线l的方程为或，
故答案为：或
首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 13.【答案】  【解析】解：由题意可得，，
若随机从甲箱中取出3个球，
设取到红球个数为随机变量X，则X服从超几何分布，
故
故答案为：；
结合已知条件，结合互斥事件的加法公式，即可求解，再结合超几何分布的期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：，，
，
整理可得，
解关于的一元二次不等式可得
的最大值为：
变形已知式子结合基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式可得．
本题考查基本不等式以及一元二次不等式的解法，属中档题．
 15.【答案】 【解析】解：函数，
数恰有三个不同的零点，
即为有三个不同的实根，
作出和的图象，

直线与曲线相切时，，由，可得
当与 相切时，两图象恰有三个交点，此时，
结合图象可得或
故答案为：
求得的解析式，由题意可得有三个不同的实根，作出和的图象，考虑直线与曲线相切的情况，结合图象即可得到所求范围．
本题考查分段函数的运用，函数零点个数解法，注意运用转化思想和数形结合思想方法，以及导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．
 16.【答案】解：
由正弦定理可得：，
可得：，
为三角形内角，，解得，，

由已知，得，，
，，
，
，
，
由余弦定理得，，
即，解得，
的周长为 【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，由C为三角形内角，，解得，结合范围，即可求得A的值．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式即可求解．
由已知利用三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理可求的值，即可得解的周长．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 17.【答案】解：过A作于点E，则，以A为原点，AE、AB、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
为PD的中点，

，，
设平面PBC的法向量为，则，
令，则，，，
，即，
又平面PBC，平面
由知，，，
设平面PAD的法向量为，则，
令，则，，，
，
故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为
令，，设，
，，

由知，平面PBC的法向量为，
直线CM与平面PBC所成角的正弦值为，
，化简得，即，
，，
故 【解析】过A作于点E，以A为原点，AE、AB、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次写出A、B、E、D、C、P、N的坐标．
根据法向量的性质求得平面PBC的法向量，由以及线面平行的判定定理即可得证；
同理求得平面PAD的法向量，由空间向量数量积的坐标运算求出，即可得解；
设，由，，可用含的式子表示出点M的坐标，由题可知，，于是列出关于的方程，解之即可．
本题考查空间中线与面的位置关系、二面角和线面角的求法，熟练利用空间向量处理二面角、线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：椭圆C：的离心率为，则，
椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4，则，
于是，，从而，故椭圆C的标准方程为：；
由与消去y整理得：，
设，，则，，
由于，则直线BP：，由得：，同理，
若，则，则，将代入整理得：
，将韦达定理代入整理得：或，
当时，直线l：过定点，
与条件“直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，”矛盾；
当时，直线l：可化为：，过定点，
综上，直线l过一定点，定点坐标为 【解析】由椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4，由定义可得，再由离心率求得c，进而得b；
联立直线l与椭圆C的方程，将目标转化为韦达定理，代入化简，得到k与m的关系即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，利用韦达定理设而不求，将目标转化为韦达定理进行求解，属于中档题．
 19.【答案】解：设正项等差数列的公差为d，，等比数列的公比为q，既是和的等差中项，又是其等比中项，
可得，即，
代入，，可得，
则，，故；；
；
则数列中前2n项中奇数项与偶数项各n项，设奇数项的和为T，偶数项的和为H，
则；
，，
相减可得，
所以
所以
证明：，
 【解析】直接利用等差数列和等比数列的性质的应用求出数列的通项公式；
利用乘公比错位相减法和裂项相消法的应用求出数列的和；
利用放缩法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 20.【答案】解：，
由为的极值点，
所以，解得，
，
由，得，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
，
所以过点的切线的方程为
，
则，
当时，，
所以在上单调递增，
令，
，，对称轴方程为，
当时，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
当时，，
有两个不等实数根，
，，
所以得出，
所以得出，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：
，
所以，
又，
所以，
即，
则



由，则，设，
设，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以恒成立，
即
由，
则，
由，则在上单调递增，
所以，可得成立． 【解析】求出导数，由条件得，解出参数a，利用导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线的方程．
由题意得，求出导数得，令，通过讨论在的函数值的符号，得出单调区间．
根据函数的解析式可得，又，从而得到关系，由在上单调递增，只需证明即可，作差将前面的关系代入构造函数即可证明．
本题考查极值点求参数，利用导数的几何意义求切线的方程，含参数的单调性讨论以及不等式的证明，属于中档题．