初中数学中考复习 专题09 反比例函数【考点精讲】（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题09 反比例函数【考点精讲】（解析版），共22页。试卷主要包含了图象的特征，反比例函数的图象和性质等内容，欢迎下载使用。
      考点1：反比例函数图象与性质1．图象的特征：反比例函数的图象是一条双曲线，它关于坐标原点成中心对称。2．反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质:函数图象所在象限性质(k≠0，k为常数)k>0一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y随x增大而减小k<0二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y随x增大而增大  【例1】（2021·山西）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ）A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；故选：D．【例2】如图，函数与y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）A． B． C． D．【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【详解】解：在函数和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、D错误，选项B正确，当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，故选：B．  （1）当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小;（2）当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.    1．（2021·江苏宿迁市）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【分析】利用分比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0； ∵0＜1＜3，-2＜0∴y2＜y1＜0，y3＞0∴．故选A．2．（2021·湖南娄底市）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数（a为常数且）的性质表述中，正确的是（    ）①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③；④A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】该函数可改写为（a为常数且），此时可以类比反比例函数的性质进行判断，或者利用赋值法也可快速进行选择，选择正确的选项即可．【详解】解：，又∵，∴随着x的增大，也会随之增大，∴随着x的增大而减小，此时越来越小，则越来越大，故随着x的增大y也越来越大．因此①正确，②错误；∵，∴，∴，故，因此③正确，④错误；综上所述，A选项符合．故选：A．3．（2021·福建）若反比例函数的图象过点，则k的值等于_________．【分析】结合题意，将点代入到，通过计算即可得到答案．【详解】∵反比例函数的图象过点∴，即故答案为：1． 考点2：确定反比例关系式1．反比例函数的解析式的确定求反比例函数的解析式跟求一次函数一样，也是待定系数法。2．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图： 【例3】（2021·内蒙古呼和浩特市）正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为，则__________．【分析】将A点坐标为分别代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可求解．【详解】和过点A故答案为．【例4】如图直线y＝mx与双曲线交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM＝2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】解：由题意得：S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM|k|＝1，则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选：B．  求函数解析式关键在于掌握利用待定系数法求函数的解析式。即解设求该函数解析式为 (k≠0,k为常数)，再将函数上一个点坐标代入即可解得。  1．（2021·江苏苏州市）如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．【分析】先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案．【详解】解：把代入，得．∴．∵轴，∴点横坐标为．把代入，得．∴．∵点为的中点，∴．∴．∵点在直线上，∴．∴．2．（2021·河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．【详解】解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，设B(a，a)，则有，∴，即B(，)，∴小正方形的边长为，∴小正方形的面积为，大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，∴大正方形的面积为，∴图中阴影部分的面积为16-8=8．3．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．（1）y与x的函数表达式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式；（2）代入x的值即可求得函数值．【答案】解：（1）设y1，y2＝b（x﹣2），则yb（x﹣2），根据题意得，解得，所以y关于x的函数关系式为y4（x﹣2）；（2）把x＝﹣1代入y4（x﹣2）；得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15． 考点3：反比例函数的综合运用反比例函数的实际问题是中考命题的热点，与生活联系，与物理学相联系的问题在中考中所占的比重较大。 【例5】（2021·四川自贡市）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（    ）A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18VC．当时， D．当时，【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．【详解】解：设，将代入可得，故A错误；∴蓄电池的电压是36V，故B错误；当时，，该项正确；当当时，，故D错误，故选：C．【例6】（2021·湖南常德市）如图，在中，．轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为．（1）求n的值；（2）求反比例函数的解析式．【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可；（2）证明，求出BE的长即可得出结论．【详解】解：（1）∵A，且轴∴AH=，OH=n又的面积为．∴ ,即 解得，；（2）由(1)得，AH=，OH=1∴AO=2如图，∵，轴，∴，四边形AHOE是矩形，∴AE=OH=1又 ∴∴，即： 解得，BE=3∴B(-3,1)∵B在反比例函数的图象上，∴ ∴．  利用反比例函数解决实际问题，要做到①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明.【失分警示】1．利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；2．利用出数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义。   1．（2021·浙江丽水市）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（    ）A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B．2．（2021·江苏扬州市）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（    ）A．①② B．①③ C．②③ D．①【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），∴PC==，PD==，∵，，即，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正确；△PDC的面积===，故③正确；=====，故②错误；故选B．3．（2021·浙江宁波市）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．【详解】解：根据题意，∵点称为点的“倒数点”，∴，，∴点B不可能在坐标轴上；∵点A在函数的图像上，设点A为，则点B为，∵点C为，∴，①当点B在边DE上时；点A与点B都在边DE上，∴点A与点B的纵坐标相同，即，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；②当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，∴，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；故答案为：或． 考点4：一次函数与反比例函数的综合运用 【例7】（2021·山东威海市）已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________．【分析】设点A坐标为，则点B的坐标为，将点B坐标代入，解出x的值即可求得A点坐标．【详解】解：∵点A为直线上一点，∴设点A坐标为，则点B的坐标为，∵点B在双曲线上，将代入中得：，解得：，当时，，当时，，∴点A的坐标为或，故答案为：或．【例8】（2021·四川凉山彝族自治州）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．（1）求k的值；（2）求直线MN的解析式．【分析】（1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值；（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式．【详解】解：（1）设点A坐标为（m，n），∵∠ABO=90°，∴B（m，0），又AN=，∴N（m，），∵△AOB的面积为12，∴，即，∵M为OA中点，∴M（，），∵M和N在反比例函数图像上，∴，化简可得：，又，∴，解得：，∴，∴M（2，3），代入，得；（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），设直线MN的表达式为y=ax+b，则，解得：，∴直线MN的表达式为．   1．解答本考点的有关题目需要注意以下要点：反比例函数与一次函数的交点问题，可以利用待定系数法. 2．反比函数图像常见的辅助线作法：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线段构成三角形或四边形，求面积。  1．（2021·贵州安顺市）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的坐标是，则点的坐标是（    ）A． B． C． D．【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，∴关于原点中心对称，∵点的坐标是，∴点的坐标是．故选C．2．（2021·山东菏泽市）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．【详解】（1） 四边形是矩形，， 为线段的中点 将代入，得 将，代入，得： ，解得 （2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P当三点共线时，有最小值，设直线的解析式为将，代入，得，解得令，得 3．（2021·山东东营市）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；（3）直接写出不等式的解集．【分析】（1）过点A作轴于点E，根据三角函数的性质，得点A，将点A代入，得；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）连接OB、、，结合（1）的结论，得点B；结合题意得；把代入，得点C；设点的坐标为，通过计算即可得到答案；（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案．【详解】（1）如图，过点A作轴于点E，∵，，∴，，∴点A，∴双曲线的解析式为，把，分别代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为；（2）如图，连接OB、、把代入，得，∴点B，∴，∴，把代入，得，∴点C设点的坐标为，∵∴，∵，∴点P的坐标为；（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A、点B∴或．