2023 数学新中考二轮复习热点透析 核心考点12概率与统计

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核心考点12 概率与统计
考向分析
1．从考查的题型来看，以选择题或填空题的形式进行考查的题目相对简单,属于中、低档题;以解答题的形式进行考查的题目相对较难,属于中、高档题.
2．从考查的内容来看,主要涉及的有：统计的意义;表示一组数据平均水平的量；表示一组数据波动水平的量；表示一组数据分布的量；事件发生的可能性；事件的概率计算。
3．从考查的热点来看,重点涉及的有：抽样调查的方式;频率的计算;平均数、中位数、众数的选用与计算;方差的计算;随机事件概率的计算;频率估算概率的计算及应用;统计与概率的以实际生活为背景的综合问题的应用解决.
考点详解
一．统计的意义
1．统计学是研究如何收集、处理、分析数据从而得出结论或找出规律的科学．
2. 总体、个体及样本
在统计中，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这一部分个体叫做总体的样本，样本中个体的数目叫做样本容量。其中，具有代表性的样本叫做随机样本．
3. 收集数据的方法一般有两种，即普查和抽样调查．
二．表示一组数据平均水平的量
1．平均数
（1）平均数：一般地，如果有个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“拔”。
（2）加权平均数：如果个数中， 出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。
2. 平均数的计算方法
（1）定义法：当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：
（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。
（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）．
3. 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
4. 中位数：一般地，将个数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（为奇数时），或最中间两个数据的平均数（为偶数时），称为这组数据的中位数.
三、数据的收集与整理
1．对于总体、个体、样本、样本容量、样本平均数、总体平均数的判断，在做题时只需严格根据定义判断即可，特别注意判断个体时必须是考察对象．
2．对于全面调查、抽样调查的选择：当考察数据较少时选择全面调查，但涉及人身安全时一定要选择全面调查；当考察数据较多时选择抽样调查．注意抽样时要全面、广泛，要有代表性．
3．对于统计图的考查，常涉及条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数分布直方图、频数折线图．做题时，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；扇形统计图能直接反映部分占总体的百分比大小．多个统计图时要注意各个统计图中各个项目数据之间的对应关系，防止弄混各个统计图的数据．
四、数据的集中与波动
1．对于平均数的计算方法，可以针对不同题型进行选择：
（1）当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：．
（2）当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中．
（3）当所给数据都在某一常数a的附近上下波动时，一般选用简化公式：．
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，．是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据） ．
2．对于涉及众数、中位数的试题：求众数时只需找到出现次数最多的数；求中位数时分两种情况，一是当数据是偶数个时，中位数是中间两个数的平均数；二是当数据是奇数个时中位数是中间数．特别注意求中位数时一定要弄清楚数据是偶数个还是奇数个．
3．对于数据的波动的考查主要涉及：
（1）极差——最大值与最小值的差；
（2）方差：，其中是数据的平均数；
（3）标准差：．
特别注意：计算方差时先求出数据的平均数再代入公式计算即可；极差也能表述数据的波动但不准确，所以如果准确判断数据的波动都用方差或标准差．
五、事件发生的可能性
1．必然事件和不可能事件-确定事件
在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件；
在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定事件．
2．随机事件或不确定事件
（1）在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件．
（2）一个确定事件是发生还是不发生，答案是确定的；
而一个随机事件是发生还是不发生，具有不确定性．
3．事件发生的可能性
（1） 各种事件发生的可能性有大有小，需要用数学符号语言表述，通常用字母“”表述．
（2） 各种事件发生的可能性有大有小，可用数学语言来描述。依照可能性由大到小依次表述为某个事件：“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等．
（3）一般来说，随机事件发生的可能性大小，要经过大数次的试验来确定．
六、事件的概率计算
1． 概率
（1）用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率，通常用字母“”表示．
（2）不可能事件的概率为“0”；而必然事件的概率为“1”。这样，随机事件的概率为大于0小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数．
2．频率
（1）在大量重复某同一试验时，事件发生的次数÷试验的总次数所得的值，我们把它称为事件发生的频率．
（2）事件的概率是一个确定的常数；而频率是不确定的，与试验次数的多少有关。用频率表示概率，得到的只是近似值，为了得到概率的可靠地估计值，试验的次数要足够大，我们常用频率去估计概率．
3．等可能事件的概率
（1）等可能试验：①试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；②任何两个结果不可能同时出现.符合上述两个条件的试验叫做等可能试验；各个结果出现的事件称为等可能事件.
（2）等可能事件的概率计算方法：
一般地，如果一个试验共有个等可能的结果，事件包含其中的个结果，那么事件的概率 .
4．等可能试验结果的分析方法（枚举法）
线段法；树形图；表格法.它们是枚举法的不同表现形式.
真题再现
一、单选题
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列说法正确的是（       ）
A．在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被轴中是随机事件
B．要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生
C．预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包
D．了解某班学生的身高情况适宜抽样调查
【答案】C
【分析】
根据随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点依次判断即可得到答案．
【详解】
解：在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被轴中是不可能事件，故A选项不正确；
要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100，故B选项错误；
预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，故该口罩的合格率为90%，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包，故C选项正确；
了解某班学生的身高情况适宜全面调查，故D选项错误；
　故选：C．
2．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）小明收集了鄂尔多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（       ）

A．平均数是 B．众数是10 C．中位数是8.5 D．方差是
【答案】D
【分析】
由折线图得到相关六天的用水数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【详解】
解：由折线图知：1日用水4吨，二日用水2吨，三日用水7吨，四日用水10吨，5日用水9吨，6日4吨，
平均数是：（4＋2＋7＋10＋9+4）÷6＝6，
数据2，4，4，7，9，10的中位数是（4+7）÷2=5.5，
4出现的次数最多，故众数为4，
方差是S2＝×[（2−6）2＋（4−6）2＋（4−6）2＋（7−6）2＋（9−6）2+（10-6）2]=．
综上只有选项D正确．
故选：D．
3．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不完整)，下列结论错误的是（       ）

A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．扇形统计图中的m为10%
C．若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人
D．样本中选择公共交通出行的有2400人
【答案】D
【分析】
结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．
【详解】
解：A、本次抽样调查的样本容量是，正确，不符合题意；
B、 故扇形图中的m为10%，正确，不符合题意；
C、若“五一”期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，正确，不符合题意；
D、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，错误，符合题意；
故选：D．
4．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（     ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
①根据三角形中位线、中线的性质，结合平行四边形的判定与性质解题；②由单循环赛对A队，E队进行推理即可；③根据正六边形的性质、位似的定义解题；④由平均数定义解题．
【详解】
解：①如图，是的中线，是的中位线，连接，
由中位线定义可知，

四边形是平行四边形
对角线互相平分，故①正确；

②由单循环比赛可知，每支队伍最多赛5场，A对已经赛5场，即每支队伍都与A队比赛过，而E队只比赛1场，据此可知，E队没有与B对比赛过，故②错误；
③两个正六边形不一定位似，没有确定位似中心，只能是相似的，故③错误；
④小王的捐款数比他所在学习小组中13人捐款的平均数多2元，小王的捐款数不会是最少的，捐款数可能最多，也可正确在第12位，故原命题正确，是真命题，符合题意B故④正确，
其中真命题的个数有①④，2个，
故选：B．
5．（2021·内蒙古·中考真题）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
画树状图，共有12个等可能的结果，取出的鞋是同一双有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：设两双鞋的型号分别为：，
其中A1，A2为一双，B1，B2为一双，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种，
则取出的鞋是同一双的概率为：，
故选：A．
6．（2021·黑龙江绥化·中考真题）近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用种支付方式和仅使用种支付方式的员工支付金额（元）分布情况如下表：
支付金额（元）



仅使用
36人
18人
6人
仅使用
20人
28人
2人
下面有四个推断：
①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用两种支付方式的为800人；
②本次调查抽取的样本容量为200人；
③样本中仅使用种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．
其中正确的是（       ）A．①③ B．③④ C．①② D．②④
【答案】A
【分析】
①用样本估计总体的思想；
②根据表可以直接算出样本容量；
③利用中位数的定义可以直接判断；
④根据众数的定义可以直接判断．
【详解】
解：根据题目中的条件知：
①从企业2000名员工中随机抽取了200人，同时使用两种支付方式的人为：（人），
样本中同时使用两种支付方式的比例为：，
企业2000名员工中，同时使用两种支付方式的为：（人），
故①正确；
②本次调查抽取的样本容量为200；
故②错误；
③样本中仅使用种支付方式的员工共有：60人，其中支付金额在之间的有，36人，超过了仅使用种支付方式的员工数的一半，由中位数的定义知：中位数一定不超过1000元，
故③是正确；
④样本中仅使用种支付方式的员工，从表中知月支付金额在之间的最多，但不能判断众数一定为1500元，
故④错误；
综上：①③正确，
故选：A．
7．（2021·山东聊城·中考真题）为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：
废旧电池数/节
4
5
6
7
8
人数/人
9
11
11
5
4
请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（       ）
A．样本为40名学生 B．众数是11节
C．中位数是6节 D．平均数是5.6节
【答案】D
【分析】
根据样本定义可判定A，利用众数定义可判定B，利用中位数定义可判定C，利用加权平均数计算可判定D即可．
【详解】
解：A. 随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A样本为40名学生不正确；
B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B众数是11节不正确，
C. 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为6节与7节的平均数节，故选项C中位数是6节不正确；
D. 根据样本平均数节
故选项D平均数是5.6节正确．
故选择：D．
8．（2021·湖北随州·中考真题）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断．
【详解】
解：∵两个小正方形的面积为和，
∴两个小正方形的边长为和，
∴大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，
故选：A．
9．（2021·四川广元·中考真题）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（       ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【分析】
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【详解】
解：A、原来数据的平均数是2，添加数字3后平均数为，所以平均数发生了变化，故A不符合题意；
B、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故B与要求相符；
C、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和 3，故C与要求不符；
D、原来数据的方差=，
添加数字3后的方差=，故方差发生了变化，故选项D不符合题意．
故选：B．
10．（2021·湖南长沙·中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（       ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．
【答案】A
【分析】
先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数，
只能是1与3的和，
即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，
，
丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，
，
甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，
，
丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，
戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9，
故选：A．
11．（2021·河北·中考真题）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2中 “（       ）”应填的颜色是（       ）


A．蓝 B．粉
C．黄 D．红
【答案】D
【分析】
根据同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，可求出总人数，可求出喜欢红色的14人，则可知喜欢粉色和黄色的人数分别为16人和15人，可知“（       ）”应填的颜色．
【详解】
解：同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，有5人，占10%，5÷10%=50（人），
喜欢红色的人数为50×28%=14（人），
喜欢红色和蓝色一共有14+5=19（人），
喜欢剩余两种颜色的人数为50-19=31（人），其中一种颜色的喜欢人数为16人，另一种为15人，由柱的高度从高到低排列可得，第三条的人数为14人，“（       ）”应填的颜色是红色；
故选：D．
12．（2021·浙江嘉兴·中考真题）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（          ）

A．中位数是 B．众数是
C．平均数是 D．4日至5日最高气温下降幅度较大
【答案】A
【分析】
根据中位数，众数，平均数的概念及折线统计图所体现的信息分析求解．
【详解】
解：由题意可得，共7个数据，分别为26；30；33；33；23；27；25
从小到大排列后为23；25；26；27；30；33；33
位于中间位置的数据是27，
∴中位数为27，故选项A符合题意；
出现次数最多的数据是33，
∴众数是33，故选项B不符合题意；
平均数为（26+30+33+33+23+27+25）÷7=，故选项C不符合题意；
从统计图可看出4日气温为33℃，5日气温为23℃，
∴4日至5日最高气温下降幅度较大，故选项D不符合题意；
故选：A．
二、填空题
13．（2021·山东青岛·中考真题）已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为、，则___．（填“”、“”、“”）

【答案】＞
【分析】
先计算两组数据的平均数，再计算它们的方差，即可得出答案．
【详解】
解：甲射击的成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，
乙射击的成绩为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，
则甲= ×（6+7×3+8×2+9×3+10）=8，
乙=×（6+7×2+8×4+9×2+10）=8，
∴S甲2=×[（6-8）2+3×（7-8）2+2×（8-8）2+3×（9-8）2+（10-8）2]
=×[4+3+3+4]
=1.4；
S乙2=×[（6-8）2+2×（7-8）2+4×（8-8）2+2×（9-8）2+（10-8）2]
=×[4+2+2+4]
=1.2；
∵1.4＞1.2，
∴S甲2＞S乙2，
故答案为：＞．
14．（2021·四川内江·中考真题）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 __．
【答案】
【分析】
卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，再根据概率公式=满足条件的样本个数总体的样本个数，可求出最终结果．
【详解】
解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，
根据概率公式，（轴对称图形）．
故答案为：．
15．（2021·辽宁盘锦·中考真题）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是________
【答案】
【分析】
首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【详解】
解：∵，
由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：1≤x≤5，
∴整数解有：1，2，3，4，5；
∴它是偶数的概率是．
故答案为：．
16．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．
【答案】3
【分析】
分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．
【详解】
解：（1）假设袋中红球个数为1，
此时袋中由1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
（2）假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：

由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，
（3）假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：

由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故答案为：3．
17．（2021·贵州安顺·中考真题）贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组．有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是___________．
【答案】
【分析】
画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种，
∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为，
故答案为：．
三、解答题
18．（2021·贵州铜仁·中考真题）某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了：非常了解、：比较了解、：基本了解、：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频率直方图，根据以上信息回答下列问题：

等级
频数
频率

20
0.4

15


10
0.2


0.1
（1）频数分布表中____________，____________，将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多少人？
（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据频率分布表计算出被调查的总人数，即可算出；
（2）利用样本估计总体的统计思想，先求出调查结果中“非常了解”和“比较了解”的频率之和，再乘上该校总人数即可得到；
（3）利用树状图列出所有的情况，选出满足条件的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）被调查的总人数为：（人），
（人），
，
故答案是：，
（2）根据频数分布表知，“非常了解”和“比较了解”的频率之和为：，
利用样本估计总体的思想，若该校有学生1000人，校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有：（人）；
（3）设3男生对应大写字母，两女生对应大写字母，在这5个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队的所有结果，利用树状图呈现如下：

共有种等可能结果，满足所选两个学生中至少有一个女生有：种，
由概率公式得所选两个学生中至少有一个女生的概率为：．
19．（2021·福建·中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，
【分析】
（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
【详解】
（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：
，，
，，共四种．
其中田忌获胜的对阵有
，，共两种，
故此时田忌获胜的概率为．
（2）不是．
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
，，，
，，．
齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是
，，，
，，，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率．
20．（2021·山东青岛·中考真题）为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．

【答案】不公平，见解析
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之积小于4的情况，再利用概率公式求出合唱《大海啊，故乡》和合唱《红旗飘飘》的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】
解：根据题意画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的有5种结果，
∴合唱《大海啊，故乡》的概率是，
∴合唱《红旗飘飘》的概率是，
∵，
∴游戏不公平．
21．（2021·四川内江·中考真题）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）
【分析】
（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：

（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；
（4）列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲

（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）

（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）

（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）


所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
22．（2021·辽宁沈阳·中考真题）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是__________．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：

















由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为．