2022-2023学年广西钦州市第四中学高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西钦州市第四中学高一上学期11月期中考试数学试题

一、单选题

1．以下给出了4个对应关系：，，对应关系：，，；，对应关系中的元素对应它除以4的余数；

{你们班的同学}，{身高}，：每个同学的身高；

{三角形的周长}，{所有的三角形}，：周长相等的三角形；

其中可称为映射的对应关系共有（    ）个

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】题目考察映射的概念，即一个变量有且只有一个应变量与之相对应，可称之为映射关系

【详解】①集合A中的元素 在集合B中没有与它相对应的元素，不可构成映射，故错误；

②任何一个整数除以4的余数只能是0，1，2，3中的一个，所以集合A中的元素在集合B中有且只有一个元素与它相对应，可构成映射，故正确；

③M中任意一个元素（同学），在N中有且只有一个元素与它相对应，可构成映射，故正确；

④因为相同的周长对应无数个不同的三角形，所以M中任意一个元素，在N中不是有且只有一个元素与它相对应，不可构成映射，故错误.

则有两个可称为映射的对应关系

故选：C

2．已知实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.

【详解】解：因为满足，

则

，

当且仅当时取等号，

故选：．

【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

3．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据题意求出条件的取值范围，再根据是的充分不必要条件列不等式组求得实数的取值范围．

【详解】解：由得，

所以，，

若是的充分不必要条件，则，解得，

所以实数的取值范围．

故选：A．

4．设全集，集合，若，则的值为（    ）

A．4 B．2 C．2或4 D．1或2

【答案】B

【分析】由可知，由此即可解出，则可求出，再由可知，由此即可求出答案.

【详解】因为

所以

所以解得：，

或

所以，

所以，

所以解得：或，

且解得：且

所以.

故选：B

5．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集并集的定义即可求出.

【详解】，

，.

故选：C.

6．若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（    ）

A．3个 B．4个 C．7个 D．8个

【答案】C

【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可.

【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有.

故选：C

7．若函数，则的单调递减区间是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将复合函数拆成两个简单函数,利用两个简单函数的单调性以及”同增异减”原则可确定复合函数的单调区间.

【详解】将原函数看成复合函数

因为是关于u的减函数，u在为增函数，在为减函数,

由复合函数的性质知，的单调递减区间是.

故选B.

【点睛】本题考查了复合函数的单调区间的求法,属于中档题.

求复合函数的单调区间,一般是通过将复合函数拆成两个简单函数,再利用两个简单函数的单调性以及”同增异减”原则,可确定复函数的单调区间.

8．设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（    ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)

【答案】B

【解析】函数y＝x3与y＝的图象的交点的横坐标即为的零点，将问题转化为确定函数的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．

【详解】设，则是增函数，又

.

所以，

所以x0所在的区间是(1，2)

故选：B

【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定理，属于中档题.

9．已知函数，若其值域为，则可能的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令则，由选项的的范围分别求值域即可得解.

【详解】令则，对称轴为.

当时，，此时，不满足题意；

当时，，此时，不满足题意；

当时，，此时，不满足题意；

当时，，此时，满足题意.

故选D.

【点睛】本题主要考查了换元法求值域，注意新元的范围，属于基础题.

10．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用指数函数的单调性比较、与的大小关系，利用幂函数的单调性比较、与的大小关系，由此可得出结论.

【详解】指数函数为上的减函数，则，即，

幂函数在上为增函数，则，即.

因此，.

故选：D.

11．定义运算 ，则函数的图像是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合函数新定义与指数函数图像求解即可.

【详解】解：因为运算，

所以，，

所以，根据指数函数图像可知A选项满足题意.

故选：A

12．化简(的结果是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据平方差公式以及分数指数幂的运算即可求解.

【详解】因为,所以原式的分子分母同乘以,

所以原式,

,,

故选：B.

二、填空题

13．若函数的值域为，则为__________.

【答案】

【分析】分段函数分段求出值域，然后再求并集。

【详解】时，，，∴，

时，，，

综上函数的值域为，即。

故答案为：。

【点睛】本题考查求分段函数值域，分段函数值域应该对每一段分别求出值域，然后求并集。

14．计算的值为__________．

【答案】

【分析】原式，计算即可.

【详解】.

故答案为:110.

15．若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为___________

【答案】3

【分析】先对进行化简，得到为奇函数，再结合的定义域，可得，从而求出实数的值.

【详解】函数定义域为R，且

令，可得：，所以是奇函数，所以为奇函数，且定义域为R，故最大值与最小值互为相反数，所以，即，，解得：.

故答案为：3

16．设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为_____.

【答案】

【分析】由奇函数的性质可得函数的单调性及，；结合函数单调性可确定在不同区间内的正负，进而得到结果.

【详解】若奇函数在上为增函数，则在上也为增函数

当时，，则；

当时，，则

当时，

故答案为：

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性求解函数不等式的问题，关键是能够通过奇偶性确定函数的单调性，进而得到函数在不同区间内的正负.

三、解答题

17．已知函数是上的奇函数，且.

(1)求实数、的值；

(2)判断函数在上的单调性，并加以证明.

【答案】(1).

(2)单调递增，证明见解析.

【分析】（1）由奇函数的定义建立方程组，求解即可；

（2）根据函数的单调性的定义可判断和证明..

【详解】（1）解：因为函数是上的奇函数，且，所以.

所以，所以，所以函数是奇函数，所以.

（2）解：在上单调递增.证明如下：

由(1)知，任取，则，

则.

，，，，

又，，，

在上单调递增.

18．规定为不超过t的最大整数，例如，.对任意实数x，令，，进一步令.

（1）分别求和；

（2）求x的取值范围，使它同时满足，.

【答案】（1），3；（2）.

【分析】（1）直接利用题目信息的要求求出函数的值；

（2）利用已知，，，又，根据规定为不超过t的最大整数，可得不等式组，解出即为x的取值范围.

【详解】（1）∵当时，，

，

.

（2），，

.

解得.

故满足题意的x的取值范围为.

【点睛】本题为创新题，考查函数与方程的综合运用，解题的关键在于对题目中新定义､新概念的理解和应用，例如本题中若，则必有成立，属于较难题.

19．国庆期间，某旅行社带旅游团去风景区旅游，若旅游团人数不超过，游客需付给旅行社飞机票每张元；若旅游团人数多于，则给予优惠：每多人，机票每张减少元，直到达到最多人数为止.旅行社需付给航空公司包机费元．

(1)写出飞机票的价格单位：元关于旅游团人数单位：人的函数关系式．

(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润

【答案】(1)

(2)60

【分析】（1）利用分段函数即可得到飞机票的价格关于旅游团人数的函数关系式；

（2）利用分段函数的值域即可求得旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润

【详解】（1）由题意，得

即

（2）设旅行社获利元，

则

即

因为在区间上单调递增，

所以当时，取最大值元．

又，，

所以当时，取得最大值．

又因为，

所以当旅游团人数为时，旅行社可获得最大利润．

20．已知全集，集合，，．

（1）若，求；

（2）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．问题：已知，：______，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）答案见解析.

【解析】（1）由得到，化简集合B，再利用交集运算求解.

（2）选择条件①．根据是的充分不必要条件，即求解；选择条件②．根据是的充分不必要条件，由求解．

【详解】（1）当时，，

解得或．

所以或．

所以或．

（2）方案一：选择条件①．

因为是的充分不必要条件，

所以，

因为，

所以或．

所以或，．

所以．

即，

解得．

方案二：选择条件②．

因为是的充分不必要条件，所以，

因为，

所以或．

所以或，．

所以．

即，

解得．

【点睛】方法点睛：解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，

21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

问题：已知集合，，是否存在实数，使得______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】答案见解析

【分析】先化简集合A、B，再选择一个条件，利用集合间的关系，按实数分类讨论并列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的范围.

【详解】，

当时，；当时，；

当时，                                        

若选择，则，                                 

当时，要使，则，所以；  

当时，，满足题意；                            

当时，，不满足题意．                         

所以选择，则实数的取值范围是                        

若选择，

当时，，，满足题意；               

当时，，不满足题意；                          

当时，，，不满足题意．            

所以选择，则实数的取值范围是                   

若选择，

当时，，，而，不满足题意；

当时，，，而，满足题意；                 

当时，，，而，满足题意．  

所以选择，则实数的取值范围是

22．已知函数定义域集合为A，集合，集合.

（1）若，求的取值范围；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由对数函数性质确定集合，根据交集的结果得参数范围；

（2）由必要不充分条件得，由集合包含关系可得参数范围．

【详解】（1） ，.

因为，所以或，所以.

（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以A是C的真子集，

，

即

所以