2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合A中的在集合中进行筛选即可求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可得出结果.
【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，
又因为，故.
故选：D.
3．过点和直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可得解.
【详解】因为直线过点和，
所以，
所以直线方程为，即.
故选：A.
4．函数的定义域是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以，解得.
【解析】定义域.
5．圆和圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内含C．相离D．外切
【答案】A
【解析】写出圆心坐标和半径，求出圆心距即可得出两圆的位置关系.
【详解】设圆的圆心为，半径，
圆即，设其圆心，半径，
圆心距，，
所以两圆相交.
故选：A
【点睛】此题考查两圆的位置关系，关键在于准确写出圆心坐标和半径大小，通过圆心距与半径之和及半径之差的绝对值之间的大小关系判断位置关系.
6．如图，是的直观图，其中，，那么是一个（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定
【答案】A
【分析】将直观图还原为投影图，分析几何图形的形状.
【详解】
将直观图还原，则，，所以是正三角形.
故选：A.
7．已知函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数为偶函数排除选项D；利用时排除选项C；利用时排除选项A；进而仅有选项B正确.
【详解】函数定义域为，
由，
可得为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项D；
由当时，仅有，可知选项C图象错误；
由当时，，则
则选项A图象错误.仅有选项B正确.
故选：B
8．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件得该直三棱柱底面为等腰直角三角形，补全为长方体求外接球半径即可得表面积.
【详解】
因为，，所以为等腰直角三角形，
将直三棱柱补全为如图长方体，
则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，
因为，，所以外接球直径，
所以外接球半径，表面积.
故选：C.
9．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数函数和指数函数的性质，即可求解．
【详解】，，，
．
故选：B
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由三视图还原为几何体，再利用柱体的体积公式求解即可.
【详解】由三视图还原几何体，如图，
该几何体是由两个四分之一圆（半径为）组成的图形作为底面，高为的柱体，
所以该几何体体积为.
故选：C.
.
11．在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，k，b为常数，若该食品在时的保鲜时间为120小时，在时的保鲜时间为15小时，则该食品在时的保鲜时间为
A．30小时B．40小时C．50小时D．80小时
【答案】A
【分析】列方程求出和的值，从而求出当时的函数值．
【详解】解：由题意可知，，，
．
故选A．
【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，考查函数值的计算，考查了实际应用的问题，属于中档题．题目给定与的函数关系式，里面有两个参数，需要两个已知条件来求出来，根据题目所给已知条件列方程组，解方程组求得的值，也即求得函数的解析式.
12．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则
②若，，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的序号是（ ）
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
【答案】A
【解析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．
【详解】解：对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，
又因为，，所以，结合得．由此可得①是真命题；
对于②，因为且，所以，结合，可得，故②是真命题；
对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，
而平面是正方体下底面所在的平面，
则有且成立，但不能推出，故③不正确；
对于④，设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，
则有且，但是，推不出，故④不正确．
综上所述，其中正确命题的序号是①和②
故选：
【点睛】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
二、填空题
13．直线与直线之间的距离为_____．
【答案】
【分析】由两平行线之间的距离公式可计算出直线与之间的距离.
【详解】由平行线间的距离公式可知，直线与之间的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查两平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.
14．若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次函数的图象与性质，结合函数的定义域和值域，即可得出m的取值范围．
【详解】解：函数，其中，函数图象如图所示，
且，，
由函数y的值域为，
所以m的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
15．如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线的条数为______．
【答案】3
【分析】空间中直线的位置关系有平行、相交、异面，既不平行也不相交，则异面.
【详解】解：因为直线与不共面，故与直线异面的直线的条数为3条，
故答案为：3.
16．我们定义函数（表示不大于的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于的最小整数）为“上整函数”；例如，；，.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为小时，则李刚应付费为______元（用含或代数式表示）.
【答案】
【分析】根据题目信息，借助条件所给的“上整函数”表示应付费用.
【详解】根据收费规则，不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.
故该停车场收费应使用“上整函数”表示较好，
所以当停车时间为x小时，应付费.
故答案为：.
三、解答题
17．已知直线满足下列条件，求直线方程：
(1)经过两条直线和的交点，且平行于直线；
(2)经过两条直线和的交点，且垂直于直线.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得两条直线的交点坐标，由平行关系得直线的斜率，写出直线的方程；
（2）求得两条直线的交点坐标，由垂直关系得直线的斜率，写出直线的方程；
【详解】（1）联立，解得，
因为所求直线平行于直线，所以所求直线斜率，
所求直线方程为，即.
（2）联立，解得，
设已知直线的斜率为，所求直线的斜率为，则，，所以.
故所求直线方程为，即.
18．如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：
(1)；
(2)平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在正方体中，平面，
∵平面，∴，
又四边形为正方形，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴.
（2）与（1）中证明同理可证，又，平面
，
∴平面．
19．已知圆：被轴截得的弦长为，为坐标原点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过直线：上一点作圆的切线，为切点，当切线长最短时，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）圆心为到轴的距离为，则，得到答案.
（2），故当最小时，最短，根据直线垂直计算得到答案.
【详解】（1）圆：，圆心为到轴的距离为，
故，故，故.
（2），故当最小时，最短，
当直线与直线垂直时，最小，此时直线，
联立方程，解得，即.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，切线长，转化为的最小值是解题的关键.
20．已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.
求证：（1）E、F、D、B四点共面.
（2）平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用证明E、F、D、B四点共面；
（2）先证明平面，平面，利用面面平行的判定定理证明平面平面.
【详解】证明（1）∵E、F分别是、的中点，∴，
∵.
∴四边形是平行四边形，
∴.
∴，
即、确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.
（2）∵M、N分别是、的中点，
∴.
又平面，
平面.
∴平面.
连接，则.
∴四边形是平行四边形，
∴.又平面，平面.∴平面.
∵、都在平面内，且，
∴平面平面.
【点睛】（1）证明共面利用平面公理及推论；
（2）基本位置关系（垂直、平行）的证明利用判定定理.
21．已知函数是偶函数.
(1)求函数的表达式；
(2)若方程有实数根，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义求解；
（2）方程有实根转化为函数的图像与直线有交点，然后求出函数的值域即可得．
【详解】（1）∵函数为偶函数，∴，即，
化简得，解得.∴.
（2）∵方程有实数根，
即方程有解.令，
则有解等价于函数的图像与直线有交点.
∵，
又，∴.故的取值范围为.
22．在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，四边形是矩形，平面.
(1)求证：平面；
(2)若，，，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明线面平行，再由面面平行的判定定理得面面平行平面平面，，从而可证得线面平行平面；
（2）由体积公式变形设，得，再证明平面，然后由体积公式计算体积．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵四边形是矩形，∴，
平面，平面，∴平面，同理平面，
∵平面，平面，，
∴平面平面，
∵平面，∴平面
（2）设，则为中点，连结，，
则，
在中，，，，易知，∴，
∵平面，，∴平面，
又平面，∴，又，平面，
∴平面，
故为A到平面的距离，
，
∴，
∴三棱锥的体积.