初中数学中考复习 考点15 二次函数解析式的确定及图像变换 （原卷版）

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考点十五 二次函数解析式的确定及图像变换

【命题趋势】
在中考中，二次函数的解析式主要在解答题中考查；二次函数图像的变换常在选择题和填空题中考查；二次函数的翻折、旋转常结合取值范围考查；二次函数与一元二次方程常在选择题和填空题中考查为主。


【中考考查重点】
一、 会根据题意求二次函数解析式；
二、会利用二次函数图像求一元二次方程的近似解




考点一：二次函数解析式的确定
方法
待定系数法
具体
方法
1. 巧设二次函数的解析式；

2. 根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；

3. 若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；

4. 若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.

1．（2020秋•广饶县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
2．（2021秋•瑶海区校级期中）已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2021 B．y＝2（x﹣1）2+2021
C．y＝2（x+1）2+2021 D．y＝﹣2（x+1）2+2021

考点二：二次函数图像的变换
1.二次函数图像的平移
平移前
平移方向（m＞0)
平移后
口诀


向左平移m个单位

“左加右减”
“上加下减”
向右平移m个单位

向上平移m个单位

向下平移m个单位


2.二次函数的图像的翻折、旋转
变化前
变换形式
变化后
简记


绕顶点旋转180°

a变号，h、k均不变

绕原点旋转180°

a、h、k均变号
沿x轴翻折

a、k变号，h不变
沿y轴翻折

a、h不变，h变号

3．（2021秋•利通区期末）将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式（　　）
A．y＝﹣x2﹣1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x2+1）2
4．（2021秋•天河区期末）抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
5．（2021秋•集贤县期末）将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3
6．（2021秋•金安区期中）平移抛物线y＝（x+1）2﹣9使其经过原点，下列操作正确的是（　　）
A．向右平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向上平移8个单位 D．向上平移9个单位
7．（2021秋•牡丹江期末）将抛物线y＝2（x+2）2﹣5向左平移3个单位长度后，再沿x轴翻折，则变换后所得抛物线的顶点坐标为 　　 ．



考点三： 二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．.
② 当时，图象与轴只有一个交点；

③ 当时，图象与轴没有交点.
a、当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
b、当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．


8．（2021•碑林区校级模拟）如果把对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+a﹣4沿y轴平移，使得平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点，那么下列平移方式正确的是（　　）
A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
9．（2021•南召县一模）若函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的根的情况为（　　）

A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根


1．（2021秋•东城区期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：　　 ．
2．（2020秋•顺平县期中）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
3．（2021•西湖区校级开学）已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
4．（2021秋•长安区校级期末）二次函数y＝（x+1）（x﹣3）向上平移2个单位，向左平移3个单位后抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（1，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）
5．（2021秋•武昌区校级期末）将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（　　）
A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2


6．（2022秋•武汉期末）将抛物线y＝x2﹣6x+5绕坐标原点旋转180°后，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣6x﹣5 B．y＝﹣x2+6x+5 C．y＝x2+6x+5 D．y＝x2+6x﹣5
7．（2020•阳新县模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1



1．（2021•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2
2．（2020•昌图县校级一模）如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　）

A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
3．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5

4.（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（　　）

A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
5．（2020•成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
6．（2020•大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）

A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
7．（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，则m，n的值为（　　）
A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3 C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3
8．（2019•淄博）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5


9．（2021•黔东南州）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10.（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）

A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
11．（2020•随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个



1．（2019•邵阳县模拟）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣2
2．（2018•北塔区模拟）抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2+1

3．（2021•诸暨市模拟）平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x经变换得到抛物线y＝x2﹣2x，则这个变换是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
4．（2021•日喀则市二模）将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位得到的抛物线是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2+3 D．y＝2（x+2）2﹣5
5．（2020•吴兴区校级三模）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
6．（2021•城固县二模）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线L1：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线L2，再将抛物线L2通过上下平移得到抛物线L3：y＝x2﹣2x+2，则抛物线L2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）


7．（2021•陕西模拟）将抛物线C1：y＝x2+4x+3沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线C2．若抛物线C1的顶点为A，点B是抛物线C2与y轴的交点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021•陕西模拟）已知抛物线L1：y＝mx2﹣2mx+5（m≠0）的顶点为A，抛物线L2与抛物线L1关于点B（2，0）成中心对称．若抛物线L2经过点A，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C． D．
9．（2021•长沙模拟）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且它们分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，分别与两抛物线交于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，y2总是负数；
②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是（　　）

A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
10．（2021•越秀区校级模拟）抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）（x﹣3） B．y＝2（x﹣1）（x﹣3）
C．y＝2（x﹣1）（x+3） D．y＝﹣2（x﹣1）（x+3）




11．（2021•寻乌县模拟）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2020，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
12．（2020•滦州市模拟）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　）

A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
13．（2021•平邑县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④