2022-2023学年河北省保定市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析

这是一份2022-2023学年河北省保定市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析，共51页。试卷主要包含了 下列各组数中互为相反数的是，51×109B， 下列计算正确是， 方程的解是， 已知实数a，b满足条件， 下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省保定市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）　
一．选一选（共15小题，满分45分，每小题3分）
1. 下列各组数中互为相反数的是（　　）
A. 5和 B. 和
C. -和 D. ﹣5和
2. 地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（　　）
A. 0.51×109 B. 5.1×108 C. 5.1×109 D. 51×107
3. 下列计算正确是（　　）
A. a2•a3=a5 B. （a3）2=a5 C. （3a）2=6a2 D.
4. 下列图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
5. 方程的解是（　　）
A. x﹣9 B. x=3 C. x=9 D. x=﹣6
6. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x（x+1）=1892 B. x（x−1）=1892×2
C. x（x−1）=1892 D. 2x（x+1）=1892
7. 有若干个完全相同的小正方体堆成一个如图所示几何体，若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图没有变，至多可以再添加小正方体的个数为（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 已知实数a，b满足条件：a2+4b2﹣a+4b+ =0，那么﹣ab的平方根是（　　）
A. ±2 B. 2 C. D.
9. 下列命题是真命题的是（　　）
A. 如果a+b＝0，那么a＝b＝0 B. 的平方根是±4
C. 有公共顶点的两个角是对顶角 D. 等腰三角形两底角相等
10. 根据下表中的信息解决问题：
数据
12
13
14
15
16
频数
6
4
5
a
1
若该组数据中位数没有大于13，则符合条件的正整数a的取值共有（　　）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
11. 下列计算正确的是（　　）
A =±3 B. 32=6 C. （﹣1）2015=﹣1 D. |﹣2|=﹣2
12. 已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E， AD=6cm，则OE的长为（ ）

A. 6cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm
13. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A x＞1 B. x≥1 C. x≤1 D. x≠1
14. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ）．
A. B. C. D.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（　　）

A. B. C. D. π
　
二．填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
16. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），卡片长为x，宽为y，没有重叠地放在一个底面为长方形（宽为a）的盒子底部（如图②），盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是_____（用只含b的代数式表示）．

17. 如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为　 　．

18. 若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a-b-c|-|a+c-b|=__________．
19. 一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为_____度．
20. 二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为________

三．解 答 题（共6小题，满分60分）
21. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员甲测试成绩表
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
7
7
5
8
7
8
7

（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；
（2）在他们三人中选择一位垫球成绩且较为稳定的接球能手作为人，你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
22. 如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到时，求点P的坐标．

23. 如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C没有重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．
（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF•AD；
（2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ．

24. 某商场准备进一批两种没有同型号的衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利没有少于780元，且A型号衣服没有多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
25. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）∠ACB=　 　°，理由是：　 　；
（2）猜想△EAD形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．

26. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．













2022-2023学年河北省保定市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）　　
一．选一选（共15小题，满分45分，每小题3分）
1. 下列各组数中互为相反数的是（　　）
A. 5和 B. 和
C. -和 D. ﹣5和
【正确答案】B

【详解】A、∵，∴5和两数相等，故此选项错误；
B、∵﹣|﹣|=﹣，﹣（﹣）=，∴和是互为相反数，故此选项正确；
C、∵﹣=﹣2和=﹣2，∴和两数相等，故此选项错误；
D、∵﹣5和，没有是互为相反数，故此选项错误．
故选B．
2. 地球表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（　　）
A. 0.51×109 B. 5.1×108 C. 5.1×109 D. 51×107
【正确答案】B

【详解】试题分析：510 000 000=5.1×108．故选B．
考点：科学记数法—表示较大的数．

3. 下列计算正确的是（　　）
A. a2•a3=a5 B. （a3）2=a5 C. （3a）2=6a2 D.
【正确答案】A

【详解】A、∵a2•a3=a5，故原题计算正确；
B、∵（a3）2=a6，故原题计算错误；
C、∵（3a）2=9a2，故原题计算错误；
D、∵a2÷a8= a-6=故原题计算错误；
故选A．
4. 下列图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念求解．
【详解】A、没有是对称图形，也没有是轴对称图形，故本选项错误；
B、没有是对称图形，也没有是轴对称图形，故本选项错误；
C、没有是对称图形，也没有是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
本题考查了对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后两部分重合．
5. 方程的解是（　　）
A. x﹣9 B. x=3 C. x=9 D. x=﹣6
【正确答案】C

详解】分式方程去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验，x=9是分式方程的解，
故选C．
6. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x（x+1）=1892 B. x（x−1）=1892×2
C. x（x−1）=1892 D. 2x（x+1）=1892
【正确答案】C

【详解】试题分析：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x－1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x－1)＝1892．
故选C．
点睛：本题考查由实际问题抽象出二元方程组．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
7. 有若干个完全相同的小正方体堆成一个如图所示几何体，若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图没有变，至多可以再添加小正方体的个数为（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C

【详解】若要保持俯视图和左视图没有变，可以往第2排右侧正方体上添加1个，往第3排中间正方体上添加2个、右侧两个正方体上再添加1个，
即一共添加4个小正方体，
故选C．
8. 已知实数a，b满足条件：a2+4b2﹣a+4b+ =0，那么﹣ab的平方根是（　　）
A. ±2 B. 2 C. D.
【正确答案】C

【详解】整理得：（a2﹣a+）+（4b2+4b+1）=0，
（a﹣0.5）2+（2b+1）2=0，
∴a=0.5，b=﹣0.5，
∴﹣ab=0.25，
∴﹣ab的平方根是，
故选C．
9. 下列命题是真命题的是（　　）
A. 如果a+b＝0，那么a＝b＝0 B. 的平方根是±4
C. 有公共顶点的两个角是对顶角 D. 等腰三角形两底角相等
【正确答案】D

【详解】解：A、如果a+b=0，那么a=b=0，或a=﹣b，错误，为假命题；
B、=4的平方根是±2，错误，为假命题；
C、有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误，为假命题；
D、等腰三角形两底角相等，正确，为真命题；
故选D．
10. 根据下表中的信息解决问题：
数据
12
13
14
15
16
频数
6
4
5
a
1
若该组数据的中位数没有大于13，则符合条件的正整数a的取值共有（　　）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
【正确答案】D

【分析】直接利用a＝1、2、3、4、5、6分别得出中位数，进而得出符合题意的答案．
【详解】当a=1时，有17个数据，最中间是：第9个数据，则中位数是13；
当a=2时，有18个数据，最中间是：第9和10个数据，则中位数是13；
当a=3时，有19个数据，最中间是：第10个数据，则中位数是13；
当a=4时，有20个数据，最中间是：第10和11个数据，则中位数是13.5；
当a=5时，有21个数据，最中间是：第11个数据，则中位数是14；
当a=6时，有22个数据，最中间是：第11和12个数据，则中位数是14；
故该组数据的中位数没有大于13，则符合条件的正整数a的取值共有：3个．
故选D．
此题主要考查了中位数以及频数分布表，正确把握中位数的定义是解题关键．
11. 下列计算正确的是（　　）
A. =±3 B. 32=6 C. （﹣1）2015=﹣1 D. |﹣2|=﹣2
【正确答案】C

【详解】A、=3，错误；
B、32=9，错误；
C、（﹣1）2015=﹣1，正确；
D、|﹣2|=2，错误，
故选C．
12. 已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E， AD=6cm，则OE的长为（ ）

A. 6cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm
【正确答案】C

【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，CD=AD=6cm，
∵OE∥DC，
∴OE是△BCD的中位线．
∴OE=CD=3cm．
故选：C．
13. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞1 B. x≥1 C. x≤1 D. x≠1
【正确答案】C

【详解】解：由题意得：1﹣x≥0，解得：x≤1．故选C．
14. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】∵关于 x的一元二次方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，
∴32﹣3k﹣6=0，解得k=1，
∴x2﹣x﹣6=0，
∴(x-3)(x+2)=0,
∴x=3或x=﹣2，
故选A．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（　　）

A. B. C. D. π
【正确答案】D

【详解】解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，∴AC=，AB=4，∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△ADE，∴△ABC的面积等于△ADE的面积，∠CAB=∠DAE，AE=AC=，AD=AB=4，∴∠CAE=∠DAB=90°，∴阴影部分的面积S=S扇形BAD+S△ABC﹣S扇形CAE﹣S△ADE=+×2×﹣﹣×2×=π．故选D．
点睛：本题考查了三角形、扇形的面积，旋转的旋转，勾股定理等知识点的应用，解此题的关键是把求没有规则图形的面积转化成求规则图形（如三角形、扇形）的面积．
　
二．填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
16. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），卡片长为x，宽为y，没有重叠地放在一个底面为长方形（宽为a）的盒子底部（如图②），盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是_____（用只含b的代数式表示）．

【正确答案】4b．

【详解】试题解析：根据题意得：x+2y=a，
则图②中两块阴影部分周长和2a+2（b-2y）+2（b-x）=2a+4b-4y-2x=2a+4b-2（x+2y）=2a+4b-2a=4b．
故答案为4b．
17. 如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为　 　．

【正确答案】10．

【详解】如图，

过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
又∵AB：AC=3：2，
∴AB=AC，
∵△ABD的面积为15
∴S△ABD=AB×DE=×AC×DF=15，
∴AC×DF=10
∴S△ACD=AC×DF=10
故答案为10．
点睛：本题考查了角平分线的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即△ABD边AB上的高与△ACD边AC上的高相等．
18. 若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a-b-c|-|a+c-b|=__________．
【正确答案】2b-2a

【详解】根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，
∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)=﹣a+b+c﹣a﹣c+b=2b﹣2a．
故答案为2b﹣2a
本题考查了值得化简和三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的值等于它的本身，零的值还是零，一个负数的值等于它的相反数，据此解答即可.
19. 一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为_____度．
【正确答案】130

【详解】分析：n边形的内角和是 因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，小的值小于1．
详解：设多边形的边数为x，由题意有

解得
因而多边形的边数是18，
则这一内角为
故答案为
点睛：考查多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.
20. 二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为________

【正确答案】-3

【分析】如图，画直线 由图像可得：当直线与函数的图像有交点时，则方程有实数根，从而可得到答案．
【详解】解：如图，画直线

当直线与函数的图像有交点时，
则方程有实数根，
由图像可得：当直线过的顶点时，有最小值，
此时：
故
本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握利用图像法解一元二次方程是解题的关键．
三．解 答 题（共6小题，满分60分）
21. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员甲测试成绩表
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
7
7
5
8
7
8
7

（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；
（2）在他们三人中选择一位垫球成绩且较为稳定的接球能手作为人，你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
【正确答案】（1）7分（2）选乙运动员更合适（3）

【分析】（1）观察表格可知甲运动员测试成绩众数和中位数都是7分；
（2）易知=7分，=7分，=6.3分，根据题意没有难判断；
（3）画出树状图，即可解决问题；
【详解】解：（1）甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分．
（2）∵=7分，=7分，=6.3分，
∴=＞，＞
∴选乙运动员更合适．
（3）树状图如图所示，

第三轮结束时球回到甲手中的概率是P（求回到甲手中）=．
22. 如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到时，求点P的坐标．

【正确答案】（1）反比例函数的解析式为y=﹣；（2）D（﹣2，）；﹣2＜x＜0或x＞3；（3）P（4，0）．

【详解】试题分析：（1）把点B（3，﹣1）带入反比例函数中，即可求得k的值；
（2）联立直线和反比例函数的解析式构成方程组，化简为一个一元二次方程，解方程即可得到点D坐标，观察图象可得相应x的取值范围；
（3）把A（1，a）是反比例函数的解析式，求得a的值，可得点A坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，解得x的值，即可求得点P的坐标.
试题解析：（1）∵B（3，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴-1=，
∴m=-3，
∴反比例函数的解析式为；
（2），
∴=，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
当x=-2时，y=，
∴D（－2，）；
y1＞y2时x的取值范围是-2；
（3）∵A（1，a）是反比例函数的图象上一点，
∴a=-3，
∴A（1，-3），
设直线AB为y=kx+b,
，
∴，
∴直线AB为y=x-4，
令y=0，则x=4，
∴P(4，0)
23. 如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C没有重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．
（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF•AD；
（2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ．

【正确答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）

【分析】（1）①用SAS证明△ABP≌△CBQ；②利用①的结论和△EPC与△EBQ组成的“8”字形证明△APF∽△ABP；
（2）△ABP≌△CBQ，证∠PCQ=90°，由②可得∠CBQ=∠CPQ，又CQ=AP，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴BP=BQ，∠PBQ=90°，
∴∠PBC+∠CBQ=90°
∴∠ABP=∠CBQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°，
∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，
∴∠CBQ=∠CPQ，
由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ
∵∠CPQ=∠APF，
∴∠APF=∠ABP，
∴△APF∽△ABP，

（2）由①得△ABP≌△CBQ，
∴∠BCQ=∠BAC=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠PCQ=45°+45°=90°
∴tan∠CPQ=,
由①得AP=CQ,
又AP:PC=1:3，
∴tan∠CPQ，
由②得∠CBQ=∠CPQ，
∴tan∠CBQ=tan∠CPQ=．
24. 某商场准备进一批两种没有同型号的衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利没有少于780元，且A型号衣服没有多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
【正确答案】（1）A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；（2）有三种进货：（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．

【详解】试题分析：（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880；
（2）关键描述语是：获利没有少于699元，且A型号衣服没有多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．
试题解析：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则：，
解之得.
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件,则A型号衣服购进(2m+4)件，
可得：，
解之得192⩽m⩽12，
∵m为正整数，
∴m=10、11、12，2m+4=24、26、28.
答：有三种进货：
(1)B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
(2)B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
(3)B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
点睛：点睛：本题主要考查二元方程组和一元没有等式组的实际问题的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作时间，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.
25. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）∠ACB=　 　°，理由是：　 　；
（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．

【正确答案】（1）90°；直径所对的圆周角是直角；（2）证明见解析；（3）

【详解】试题分析：（1）根据AB是⊙O的直径，点C在⊙O上利用直径所对的圆周角是直角即可得到结论；
（2）根据∠ABC的平分线与AC相交于点D，得到∠CBD=∠ABE，再根据AE是⊙O的切线得到∠EAB=90°，从而得到∠CDB+∠CBD=90°，等量代换得到∠AED=∠EDA，从而判定△EAD是等腰三角形．
（3）证得△CDB∽△AEB后设BD=5x，则CB=4x，CD=3x，从而得到CA=CD+DA=3x+6，然后在直角三角形ACB中，利用AC2+BC2=AB2得到（3x+6）2+（4x）2=82解得x后即可求得BD的长．
试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）
（2）△EAD是等腰三角形．
证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，
∴∠CBD=∠ABE
∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°
∴∠AEB+∠EBA=90°，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD
∴△EAD是等腰三角形．
（3）解：∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
∴在直角三角形AEB中，EB=10
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE
∴△CDB∽△AEB，
∴，
∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在直角三角形ACB中，
AC2+BC2=AB2
即：（3x+6）2+（4x）2=82，
解得：x=﹣2（舍去）或x=
∴BD=5x=.
点睛：本题考查了圆的综合知识，题目中涉及到了圆周角定理、等腰三角形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质，难度中等偏上.
26. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

【正确答案】（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D．

【详解】试题分析：把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.
作BH⊥AC于点H，求出的长度，即可求出∠ACB的度数.
延长CD交x轴于点G，△DCE∽△AOC，只可能∠=∠DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.
试题解析：（1）由题意，得
解得．
∴这条抛物线的表达式为．
（2）作BH⊥AC于点H，
∵A点坐标是（－1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（，0），
∴AC=，AB=，OC=3，BC=．
∵，即∠BAD=，
∴．
Rt△ BCH中，，BC=，∠BHC=90º，
∴．
又∵∠ACB是锐角，∴．
（3）延长CD交x轴于点G，
∵Rt△ AOC中，AO=1，AC=，
∴．
∵△DCE∽△AOC，∴只可能∠=∠DCE．
∴AG = CG．
∴．
∴AG=5．∴G点坐标是（4，0）．
∵点C坐标是（0，3），∴．
∴ 解得，（舍）.
∴点D坐标是





























2022-2023学年河北省保定市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）　
一、选一选（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为（　　）
A. 6或﹣6 B. 6 C. ﹣6 D. 3或﹣3
2. 已知点A（a，2015）与点A'（﹣2104，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 6 D. 4
3. 若，则的值是
A. 3 B. 2 C. 1 D. ―1
4. 在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是

图① 图②
A. 向下移动1格 B. 向上移动1格 C. 向上移动2格 D. 向下移动2格
5. 下列运算正确的是（　　）
A. a+2a2=3a3 B. a2•a3=a6 C. （a3）2=a5 D. a6÷a2=a4
6. 5月14﹣15日“”论坛峰会在北京隆重召开，促进了我国与世界各国的互联互通互惠，“”地区覆盖总人数约为44亿人，44亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A. 4.4×108 B. 4.4×109 C. 4×109 D. 44×108
7. 下列图案中，没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
8. 现将背同的4张扑克牌背面朝上，洗匀后，从中任意翻开一张是数字4的概率为（　　）

A. B. C. D.
9. 观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（　　）
A. ﹣121 B. ﹣100 C. 100 D. 121
10. 如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于

A. B. C. D.
11. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则ta=（　　）

A. 2 B. 2 C. D.
12. 如图，已知双曲线直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为

A. 12 B. 9 C. 6 D. 4
二、填 空 题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 分解因式：=_______．
14. 若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则 的值为_____．
15. 已知2a﹣3b=7，则8+6b﹣4a=_____．
16. 如图，的斜边，绕点顺时针旋转后得到，则的斜边上的中线的长度为________．

17. 如图，直角中，，，，以为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积是________.（结果保留）

18. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_______.

三、解 答 题（本题共9小题，共90分）
19. （1）计算：（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+cos45°．
（2）已知m2﹣5m﹣14=0，求（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m+1）2+1的值．
20. 解没有等式组，并求出它的所有整数解．
21. 如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE形状，并说明理由．

22. 某校开展“我最喜爱的一项体育”，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下没有完整的条形图和扇形图．

请以上信息解答下列问题：
（1）m=　 　；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为　 　；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有　 　名学生最喜爱足球．
23. 如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HF与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（到0.01米）.
（参考数据：cos75°≈02588， sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，，）

24. 学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽2个，豆沙粽1个，肉粽1个（粽子外观完全一样）．
（1）小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是　 　；
（2）小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子概率．
25. 某超市一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价没有低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可60箱．市场发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月牛奶的利润？利润是多少元？
26. 如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．

27. 如图，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．
（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（2）求△ODE面积的值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若没有存在，请说明理由．












2022-2023学年河北省保定市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）　
一、选一选（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为（　　）
A. 6或﹣6 B. 6 C. ﹣6 D. 3或﹣3
【正确答案】A

【分析】与原点距离为6的点有两个，分别在原点的左边和右边，左边用减法，右边用加法计算即可．
【详解】当点A在原点左边时，为0﹣6=﹣6；
点A在原点右边时为6﹣0=6．
故选A．
主要考查了数值的几何意义．注意：与一个点的距离为a的数有2个，在该点的左边和右边各一个．
2. 已知点A（a，2015）与点A'（﹣2104，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 6 D. 4
【正确答案】B

【详解】分析：根据关于原点对称的性质：横纵坐标均变为相反数，可直接列方程求解.
详解：∵点A（a，2015）与点A'（﹣2104，b）是关于原点O的对称点，
∴a=2014，b=﹣2015，
则a+b=2014﹣2015=﹣1．
故选B．
点睛：此题主要考查了关于原点对称的性质，关键是明确关于原点对称的特点为：横坐标、纵坐标均变为相反数，列方程解答即可，比较简单.
3. 若，则的值是
A. 3 B. 2 C. 1 D. ―1
【正确答案】A

【详解】试题分析：所求式子后两项提取﹣2变形后，将整体代入计算即可求出值：
∵，
∴．
故选A．
4. 在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是

图① 图②
A. 向下移动1格 B. 向上移动1格 C. 向上移动2格 D. 向下移动2格
【正确答案】D

【详解】由图可知，图①中的图形N向下移动2格后得到图②．故选D．
5. 下列运算正确的是（　　）
A. a+2a2=3a3 B. a2•a3=a6 C. （a3）2=a5 D. a6÷a2=a4
【正确答案】D

【详解】分析：根据合并同类项、同底数幂相乘的性质、幂的乘方、同底数幂相除的性质化简即可判断.
详解：A、a与2a2没有是同类项，没有能合并，故A错误；
B、根据同底数幂相乘，底数没有变，指数相加，应为a2•a3=a5，故B错误；
C、根据幂的乘方，底数没有变，指数相乘，应为（a3）2=a5，故C错误；
D、根据同底数幂相除，底数没有变，指数相减，即a6÷a2=a4，故D正确；
故选D．
点睛：此题主要考查了幂的运算性质，关键是灵活利用合并同类项、同底数幂相乘的性质、幂的乘方、同底数幂相除的性质化简，即可解决.
6. 5月14﹣15日“”论坛峰会在北京隆重召开，促进了我国与世界各国的互联互通互惠，“”地区覆盖总人数约为44亿人，44亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A. 4.4×108 B. 4.4×109 C. 4×109 D. 44×108
【正确答案】B

【详解】试题解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
所以，44亿这个数用科学记数法表示为4.4×109，
故选B．
7. 下列图案中，没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：对称图形是旋转180度与它本身重合，B是旋转120度与它本身重合，所以没有是对称图形，故选B．
考点：对称图形的识别
8. 现将背同的4张扑克牌背面朝上，洗匀后，从中任意翻开一张是数字4的概率为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据共有4张扑克牌，再根据概率公式即可得出答案．
试题解析：∵共有4张扑克牌，
∴P（数字为4）=
故选A．
考点：概率公式
9. 观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（　　）
A. ﹣121 B. ﹣100 C. 100 D. 121
【正确答案】B

【详解】试题分析：0=﹣（1﹣1）2，1=（2﹣1）2，﹣4=﹣（3﹣1）2，9=（4﹣1）2，﹣16=﹣（5﹣1）2，
∴第11个数是﹣（11﹣1）2=﹣100，
故选B．
考点：规律型：数字变化类．
10. 如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE．∴．
∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3．
∴．
故选B．
11. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则ta=（　　）

A. 2 B. 2 C. D.
【正确答案】B

【分析】根据CA是∠BCD的平分线，AD∥BC，可得DA=DC，然后过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，可得点F是AC中点，从而得到BE=CE，进而得到EF是△ABC的中位线，再由AD∥BC，可得DF=EF=2，然后根据勾股定理可得AF=，从而得到AC=，即可求解．
【详解】解：∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠DCA=∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，

∵AB⊥AC，
∴DE⊥AC，
∴点F是AC中点，
∴AF=CF，
∴，
∴BE=CE，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB=2，
∵AD∥BC，
∴，
∴DF=EF=2，
在Rt△ADF中，AD=6，
∴AF=，
∴AC=2AF=，
ta=．
故选：B
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，求正切值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12. 如图，已知双曲线直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为

A. 12 B. 9 C. 6 D. 4
【正确答案】B

【详解】∵点，是中点
∴点坐标
∵在双曲线上，代入可得
∴
∵点在直角边上，而直线边与轴垂直
∴点的横坐标为-6
又∵点在双曲线
∴点坐标
∴
从而，故选B
二、填 空 题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 分解因式：=_______．
【正确答案】．

【分析】将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】直接提取公因式即可：．
14. 若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则 的值为_____．
【正确答案】-3

【详解】解：因为的两根为x1，x2，
所以
=
故-3
15. 已知2a﹣3b=7，则8+6b﹣4a=_____．
【正确答案】-6

【详解】试题分析：∵2a﹣3b=7，∴8+6b﹣4a=8﹣2（2a﹣3b）=8﹣2×7=﹣6，故答案为﹣6．
考点：代数式求值；整体代入．
16. 如图，的斜边，绕点顺时针旋转后得到，则的斜边上的中线的长度为________．

【正确答案】4

【分析】根据图形旋转的性质，可知旋转前后两个图形全等，即，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】∵绕点顺时针旋转后得到，
∴，
∵为的斜边上的中线，
∴，
故4．
本题主要考查图形旋转的性质、直角三角形中线的性质，较简单，掌握基本的概念是解题关键．
17. 如图，直角中，，，，以为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是________.（结果保留）

【正确答案】

【详解】分析：连结AD．根据图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积-三角形ACD的面积-扇形ADE的面积，列出算式即可求解．
详解：连结AD．
∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4，
∴∠C=60°，AB=4，
∵AD=AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∴图中阴影部分的面积=4×4÷2﹣4×2÷2﹣=．
故答案为．

点睛：此题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是将没有规则图形的面积计算转化为规则图形的面积计算．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_______.

【正确答案】（3，2）．

【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．
【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，

∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD=OA=3，
在Rt△OPD中 ∵OP= OD=3，
∴PD=2
∴P(3，2) .
故答案为（3，2）．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
三、解 答 题（本题共9小题，共90分）
19. （1）计算：（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+cos45°．
（2）已知m2﹣5m﹣14=0，求（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m+1）2+1的值．
【正确答案】（1）；（2）15.

【详解】试题分析：（1）原式项利用负指数幂法则计算，第二项利用值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，一项利用角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用多项式乘以多项式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
试题解析：（1）原式=--+1+
=.
（2）（m-1）（2m-1）-（m+1）2+1
=2m2-m-2m+1-（m2+2m+1）+1
=2m2-m-2m+1-m2-2m-1+1
=m2-5m+1，
当m2-5m=14时，
原式=（m2-5m）+1=14+1=15．
考点：1.整式的混合运算—化简求值,2.实数的运算,3.零指数幂,4.负整数指数幂, 5.角的三角函数值
20. 解没有等式组，并求出它的所有整数解．
【正确答案】没有等式组的解集为﹣1.5≤x＜3，没有等式组的整数解为﹣1、0、1、2．

【详解】试题分析：分别求出每一个没有等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、小小无解了确定没有等式组的解集．
试题解析：解没有等式2x+3≥0，得：x≥﹣1.5，解没有等式5﹣x＞0，得：x＜3，
则没有等式组的解集为﹣1.5≤x＜3，
∴没有等式组的整数解为﹣1、0、1、2．
21. 如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）△BDE是等腰三角形；理由见解析.

【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；
（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，
由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，
∴AD=EC，
在△ACD和△EDC中，，
∴△ACD≌△EDC（SAS）；
（2）△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC=BD，DE=AC，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、平移的性质
22. 某校开展“我最喜爱的一项体育”，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下没有完整的条形图和扇形图．

请以上信息解答下列问题：
（1）m=　 　；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为　 　；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有　 　名学生最喜爱足球．
【正确答案】（1）150，（2）36°，（3）240．

【分析】（1）根据图中信息列式计算即可；
（2）求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可；
（3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论；
（4）根据题意计算即可．
【详解】（1）m=21÷14%=150，
（2）“足球“的人数=150×20%=30人，
补全上面的条形统计图如图所示；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×=36°；
（4）1200×20%=240人，
答：估计该校约有240名学生最喜爱足球．
故答案为150，36°，240．

本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
23. 如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HF与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（到0.01米）.
（参考数据：cos75°≈0.2588， sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，，）

【正确答案】3.05米.

【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
【详解】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=，
∴AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.2392，
∴GM=AB=2.2392，
在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHD=60°，sin∠FAG=，
∴sin60°=，
∴FG=2.165，
∴DM=FG+GM﹣DF≈3.05米．
答：篮框D到地面的距离是3.05米．

考点：解直角三角形的应用．
24. 学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽2个，豆沙粽1个，肉粽1个（粽子外观完全一样）．
（1）小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是　 　；
（2）小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率．
【正确答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）由甲盘中一共有4个粽子，其中豆沙粽子只有1个，根据概率公式求解可得；（2）根据题意画出树状图，由树状图得出一共有16种等可能结果，其中恰好取到两个白粽子有4种结果，根据概率公式求解可得．
试题解析：（1）∵甲盘中一共有4个粽子，其中豆沙粽子只有1个，
∴小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是，
故答案；
（2）画树状图如下：

由树状图可知，一共有16种等可能结果，其中恰好取到两个白粽子有4种结果，
∴小明恰好取到两个白粽子的概率为=．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
25. 某超市一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价没有低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可60箱．市场发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月牛奶的利润？利润是多少元？
【正确答案】（1）y=60+10x，（2）超市定价为33元时，才能使每月牛奶的利润，利润是810元．

【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每天多10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价﹣成本）×量，列出函数关系式，求出值．
【详解】（1）根据题意，得：y=60+10x，
由36﹣x≥24，得x≤12，
∴1≤x≤12，且x为整数；
（2）设所获利润为W元，
则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）=﹣10x2+60x+720=﹣10（x﹣3）2+810，
∴当x=3时，W取得值，值为810，36-x=36-3=33（元）
答：超市定价为33元时，才能使每月牛奶的利润，利润是810元．
本题是二次函数与函数的实际应用问题，正确理解题意，根据相关数量关系列出函数关系式是关键．
26. 如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．

【正确答案】①证明见解析；②△BCD的面积为：2．

【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；
②证明△ADE∽△CBE，得出，证明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG==2，即可得出△BCD的面积．
详解】①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：

∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
∴∠F=∠AEB，
∵C是的中点，
∴，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
∴∠AEC=∠AEB，
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴，即，
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
∴，即，
∴CB=2，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵点C为劣弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4，
∴CG==2，
∴△BCD的面积=BD•CG=×2×2=2．
27. 如图，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．
（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（2）求△ODE面积的值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4），y=﹣2x+4．（2）△ODE的面积有值1．点E的坐标为（1，2）．（3）（-1，2-2），（， ）.

【详解】试题分析：（1）在抛物线解析式y=﹣x2+4中，令y=0，解方程可求得点A、点B的坐标；令x=0，可求得顶点C的坐标．已知点B、C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式．
（2）求出△ODE面积的表达式，利用二次函数的性质求出值，并确定点E的坐标．
（3）本问为存在型问题．因为△OAC与△OPD都是直角三角形，需要分类讨论：
①当△PDO∽△COA时，由得PD=2OD，列方程求出点P的坐标；
②当△PDO∽△AOC时，由得OD=2PD，列方程求出点P的坐标．
解：（1）在y=﹣x2+4中，当y=0时，即﹣x2+4=0，解得x=±2；
当x=0时，即y=0+4，解得y=4．
∴点A、B、C的坐标分别为A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得．
∴直线BC的解析式为y=﹣2x+4．
（2）∵点E在直线BC上，∴设点E的坐标为（x，﹣2x+4）．
∴△ODE的面积S可表示为：．
∴当x=1时，△ODE的面积有值1．
此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，∴点E的坐标为（1，2）．
（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似．理由如下：
设点P的坐标为（x，﹣x2+4），0＜x＜2．
因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
①当△PDO∽△COA时，，即，
解得（没有符合题意，舍去）．
当时，．
∴此时，点P的坐标为．
②当△PDO∽△AOC时，，，
解得（没有符合题意，舍去）．
当时，．
∴此时，点P的坐标为．
综上所述，满足条件的点P有两个：P1，P2．