2022-2023学年浙江省宁波金兰教育合作组织高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省宁波金兰教育合作组织高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则的子集有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】根据集合间的关系确定子集，即可得的子集个数.

【详解】解：∵集合，∴的子集有：.

则的子集有4个.

故选：D.

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.

【详解】对于函数，则有，解得且，

所以函数的定义域为，

故选：B.

3．下列各图中，不可能是函数图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的定义，可得答案.

【详解】D选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，

其他选项均满足函数的概念，是函数的图象.

故选：D

4．设，则“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由包含关系判断即可.

【详解】不等式：，所对集合为，不等式化为：，于是得“”所对集合为，显然是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t分钟后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有一个的物体，放在的空气中冷却，2分钟后物体的温度是，那么4分钟后该物体的温度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可求得，从而可求得时的温度.

【详解】因为，

则，得，

所以4分钟后该物体的温度：

.

故选：A.

6．16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则a，b、c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分数指数幂的运算和指数函数的单调性可得、，即可求解.

【详解】∵，所以，

又∵，即，

因此，.

故选：C.

7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：

若某户居民本月缴纳的水费为99元，则此户居民本月的用水量为（    ）A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可得水费与用水量的解析式，进而根据水费即可求得用水量.

【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，

则，

整理得：，

当时，，

当时，，

因此，由得：，

解得，所以此户居民本月的用水量为.

故选：A.

8．已知函数满足条件：对于任意的，存在唯一的，使得，当成立时，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题可知时与时函数值域相等，据此可得，从而可根据求得，进而求得.

【详解】设当时，的值域为A，当时，的值域为B.

则根据题意可得，

当时，在上单调递增，

则，即，

则，∵，

即且，

则，

故选：C.

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．函数在其定义域内是减函数

B．命题“，”的否定是“，”

C．函数与是同一个函数

D．、、为任意的实数，若，则

【答案】BD

【分析】利用反比例函数的单调性可判断A选项；利用存在量词命题的否定可判断B选项；利用函数相等的概念可判断C选项；利用不等式的性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，函数在定义域上不单调，A错；

对于B选项，由存在量词命题的否定可知，B对；

对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，

故函数与不是同一个函数，C错；

对于D选项，因为，由不等式的性质可得，D对.

故选：BD.

10．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（    ）

A．的最大值为1 B．在区间上单调递减

C．的解集为 D．当时，

【答案】ABC

【分析】根据偶函数的性质结合函数单调性逐项判断即可.

【详解】解：函数是定义在R上的偶函数，所以，又当时

所以当时，，故D错误；

当时，，所以在单调递增，单调单调递减，所以，由于偶函数关于轴对称，所以在单调递增，单调单调递减，所以，的最大值为1，故A正确，B正确；

当时，，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故C正确.

故选：ABC.

11．设正实数x，y，满足，则（    ）

A． B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为4

【答案】ACD

【分析】根据已知等式，利用换元法转化可判断A，C，根据基本不等式的应用判断B，D.

【详解】解：选项A，由，可得，所以，故选项A正确；

选项B，由，可得，当且仅当，即时等号成立，故选项B错误；

选项C，，当时，等号成立，故选项C正确；

选项D，由，当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.

故选：ACD.

12．把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“类增函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（    ）

A．若为“类增函数”，则

B．若为“类增函数”，则不一定是增函数

C．函数在上是“类增函数”

D．函数在上不是“类增函数”（表示不大于x的最大整数）

【答案】CD

【分析】对A选项通过条件及赋值得到，对B通过构造函数即可判断，对C举反例，通过计算即可判断，对D选项，显然取整函数满足条件（1），通过设字母，将分整数与小数部分即可证明，即可判断.

【详解】对于A，若函数为“类增函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确；

对于B，若，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法正确；

对于C，当时，，不满足条件（2），所以不是“类增函数”，故C说法错误；

对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“类增函数”，故D说法错误.

故选：CD.

【点睛】关键点睛：本题为新定义函数，对于A,B选项通过合理赋值即可求出，而从B,C选项的判断可以给我们一些启示，对于一些新定义问题，我们可以通过举一些正例或是反例来判断选项，本题C选项和D选项融合了另外两个常考的新定义函数，狄利克雷函数与高斯取整函数，而C选项我们通过举例两个无理数即可反驳，D选项的难点在于其证明，其关键点在于我们需要设出数的正数部分与小数部分，结合分类讨论这样得到与，的关系.

三、填空题

13．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则______.

【答案】

【分析】由奇偶性和单调性即可确定.

【详解】由题知幂函数是奇函数，故或或，

又在上单调递减，则，故，

即，所以.

故答案为：.

14．若“”是假命题，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据题意可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.

【详解】解：∵“”是假命题，

∴，为真命题，

即在上恒成立，

当时，，当且仅当时，等号成立，

所以.

故答案为：.

15．已知函数的图象关于y轴对称，且关于x的方程有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数______.

【答案】（答案不唯一，只需满足即可）

【分析】根据函数得对称性可求得，再根据方程有两个相等的实根，利用根的判别式可求得的关系式，从而可得出答案.

【详解】解：已知，

∵的图象关于y轴对称，∴对称轴，∴，

则方程即为，即，

∴，∴，

当时，，

∴满足条件的二次函数可以为.

故答案为：.（答案不唯一，只需满足即可）

16．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于8万元，同时奖金不超过企业年产值的12%.若函数，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】由题意可知函数的单调性，分离常数即可得取值范围.

【详解】由题意为增函数，

故，解得.

又根据题意可得对恒成立，

故在恒成立.

由对勾函数性质可知：

函数在区间上为增函数，

故，

由可得在区间上恒成立，

所以，

综上有，

即m的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．化简下列各式：

(1)；；

(2)若.求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据根式与指数幂的关系，集合指数运算法则计算即可；

（2）根据指数与对数之间的关系，将指数式化为对数，结合指数运算及对数恒等式即可.

【详解】（1）解：

.

（2）解：，则，

所以.

18．设全集为，集合.

(1)若，求；

(2)在①；②；③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）解出或，集合，利用交集和补集的含义即可.

（2）首先得到，然后分和两种讨论即可.

【详解】（1）解：因为全集为，且或，

当时，，所以或

∴或.

（2）解：选择①②③，均可得.

当时，，解得；

当时，或，解得或，即.

综上所述，实数的取值范围是.

19．设函数.

(1)若不等式的解集，求的值；

(2)当时，设，满足是对任意，都有成立，求实数b的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由不等式的解集结合韦达定理即可求解；

（2）根据题意可知是R上的单调递增函数，只需每一段都是单调递增，且在临界点处满足“左不高于右”即可.

【详解】（1）由题意可知：为方程的两个根，

，解得：，

即.

（2）由已知得：，

因为对任意，都有成立

所以是R上的单调递增函数，

∴

解得：.

 (1)写出y关于x的函数关系式；

(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.

【答案】(1)

(2)线上直播150小时可使y最小为35万元

【分析】（1）由得出，再由该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和得出y关于x的函数关系式；

（2）由基本不等式求解即可.

【详解】（1）由题得，当时，，则，

故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为

（2）由（1）知，

当且仅当，即时等号成立，即线上直播150小时可使y最小为35万元.

21．已知函数.若为奇函数.

(1)求实数m的值；

(2)判断函数在上的单调性，并给予证明；

(3)若成立，求实数t的取值范围.

【答案】(1)

(2)在上单调递减，证明见解析

(3)

【分析】（1）利用得到关于的方程解出即可；

（2）对，且，，最后判定符号即可得到其单调性；

（3）分离常数，，再求出值域，即可得到，最后，解出范围即可.

【详解】（1）因为为奇函数，且由得

所以，即.

∴

∴，∴

（2）由（1）得，在上为递减的函数.设对，且，则

∵，且，∴，

∴

∴，即，所以在上单调递减.

（3）由题意得，

因为而∵，∴∴，

（令，则∴或）

∴所以，∴.

22．已知函数.

(1)当时，求的值；

(2)当时，求不等式的解集；

(3)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)0

(2)

(3)

【分析】（1）直接代入，证明函数为偶函数即可；

（2）将代入，分和两种讨论即可；

（3）将原不等式转化为（*）对任意的恒成立，去绝对值分类讨论，所以分为，和讨论即可.

【详解】（1）当时，，所以任取，则有恒成立，

即为偶函数，

∴.

（2）当时，，∴或

∴或

∴或，

所以不等式的解集为

（3）不等式化为

即：（*）对任意的恒成立

因为，所以分如下情况讨论：

①时，不等式（*）化为恒成立

即对恒成立

∵的对称轴为，故其在上单调递增，只需，∴

②当时，不等式（*）化为恒成立

即对恒成立.

由①知，∴在上单调递减

∴只需，∴或.

∵，∴

③当时，不等式（*）化为恒成立

即对恒成立，

所以在上单调递增，

只需，∴或

由②得.

综上所述，a的取值范围是：.

【点睛】关键点睛：本题的难点在于第三问，我们选择将绝对值的式子放到一边，得到，而遇到绝对值的情况我们要想办法去绝对值，这样我们就是遇到两个临界点和，显然，所以接下来只需将分别三段去讨论，转化为常见的恒成立问题.方法点睛：对于恒成立问题我们通常有以下几种处理方法：

（1）分离参数法.（2）函数整体讨论法.（3）化为与的不等关系处理.本题选择第三种方法较为简单.