2021-2022学年海南省海口市海口中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年海南省海口市海口中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】化简集合即得解.

【详解】由题得，

所以.

故选：B

2．“，”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.

【详解】，时，，

，时，，

所以“，”是“”的充分而不必要条件，

故选:.

3．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由奇偶性排除，再由增减性可选出正确答案.

【详解】项为奇函数，项为非奇非偶函数函数，为偶函数，项中，在单减，项中，在单调递增.

故选：B

4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数、指数函数单调性并结合“媒介”数即可比较判断作答.

【详解】函数在上单调递增，而，则，

，函数在R上单调递减，，则，即，

所以a，b，c的大小关系为.

故选：C.

5．若第三象限角，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知结合求出即可得出.

【详解】因为第三象限角，所以，

因为，且，

解得或，

则.

故选：D.

6．已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（       ）

A． B． C．3 D．2

【答案】D

【分析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可得解.

【详解】设扇形半径为,易得,则由已知该扇形弧长为.

记扇形面积为,则,

当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形的圆心角为，则

故选：D

7．已知直线是函数图象的一条对称轴，的最小正周期不小于，则的一个单调递增区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由周期得出的范围，再由对称轴方程求得值，然后由正弦函数性质确定单调性．

【详解】根据题意，，所以，，，所以，，故，

所以.令，，

得，.令，得的一个单调递增区间为.

故选：B．

8．定义在R上的偶函数f(x)满足，当x∈[0，1]时，则函数在区间上的所有零点的和为（       ）

A．10 B．9 C．8 D．6

【答案】A

【分析】根据条件可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；根据函数的解析式及奇偶性，对称性可得出函数f(x)在的图象；令，画出其图象，进而得出函数的图象．根据函数图象及其对称性，中点坐标公式即可得出结论．

【详解】因为定义在R上的偶函数f(x)满足，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，

当x∈[0，1]时，，可以得出函数f(x)在上的图象，进而得出函数f(x)

在的图象.画出函数，的图象；

令，可得周期T1，画出其图象，进而得出函数的图象．

由图象可得：函数在区间上共有10个零点，即5对零点，每对零点的中点都为1，所以所有零点的和为.

故选：A．

二、多选题

9．下列结论正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】AB列举反例可直接排除，CD结合不等式性质可判断正确.

【详解】对A，当时，不成立，故A错；对B，当时，不成立，故B错；

对C，因为，所以，即，故C正确；

对D，因为，所以，即，故D正确.

故选：CD

10．下列关于函数的表述正确的是（       ）

A．函数的最小正周期 B．是函数的一条对称轴

C．是函数的一个对称中心 D．函数在区间上是增函数

【答案】AD

【分析】根据正弦函数的性质一一计算可得；

【详解】解：因为，所以的最小正周期，故A正确；

因为，故B、C错误；

当，所以，因为在上单调递增，所以在区间上是增函数，故D正确；

故选：AD

11．设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】AB

【分析】先作出函数的图像，有三个不同的实数根，化为函数与直线有三个交点，结合图像，即可得出结果.

【详解】解：作出函数图像如下：

又有三个不同的实数根，

所以函数与直线有三个交点，

由图像可得：.

故选：AB

12．已知函数的定义域为，当时，，当，（为非零常数）．则下列说法正确的是（       ）

A．当时，

B．当时，函数的值域为

C．当时，的图象与曲线的图象有3个交点

D．当时，的图象与直线在内的交点个数是

【答案】BCD

【分析】当时，则可转化为，从而可求出，求出结果后即可判断A选项；根据题意，依次求出，，的值域，从而得出函数的值域，即可判断B选项；当时，当，，从而得出和时的函数解析式，画出的图象与曲线的图象，即可判断C选项；结合函数的图象，确定交点个数，即可判断D选项.

【详解】解：A选项：已知当，（为非零常数）

当时，则可转化为

则，故A错误；

B选项：当时，

故当时，的值域为；

当时，的值域为；

当时，的值域为.

随着的依次取值，值域将变为，故B正确；

C选项：当时，当，，

则，，

则的图象与曲线的图象如图所示：

由图可知，的图象与曲线的图象有3个交点，故C正确；

D选项：当时，；当时，；

当时，当时，；

当时，；当时，；

若，则，

结合函数图象可知，直线与的图象在区间，均有两个交点，在上有一个交点，在区间上无交点，

所以的图象与直线在内的交点个数是，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．化简的结果为______.

【答案】0

【分析】由对数的运算求解即可.

【详解】

故答案为：

14．已知角的终边上一点P与点关于y轴对称，角的终边上一点Q与点A 关于原点O中心对称，则______．

【答案】0

【分析】根据对称，求出P、Q坐标，根据三角函数定义求出﹒

【详解】解：角终边上一点与点关于轴对称，

角的终边上一点与点关于原点中心对称，

由三角函数的定义可知，

﹒

故答案为：0

15．当，，满足时，有恒成立，则实数的取值范围为____________．

【答案】

【分析】根据基本不等式求得的最小值，由此建立不等式，求解即可.

【详解】解：，，则，

∴

，

当且仅当，即：时取等号，

∴，∴，∴．

实数的取值范围为．

故答案为：.

16．已知函数，的图像在区间上恰有三个最低点，则的取值范围为________．

【答案】

【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调递区间的应用求出结果．

【详解】解：，，

．

根据正弦型函数图象的特点知，轴左侧有1个或2个最低点．

①若函数图象在轴左侧仅有1个最低点，则，

解得，

，，此时在轴左侧至少有2个最低点．

函数图象在轴左侧仅有1个最低点不符合题意；

②若函数图象在轴左侧有2个最低点，则，解得，

又，则，

故，

时，在，恰有3个最低点．

综上所述，．

故答案为：．

四、解答题

17．已知函数.

(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图像.

(2)解不等式.

【答案】(1)表格、图象见解析；

(2)，.

【分析】（1）根据正弦函数的性质，在坐标系中描出上或的点坐标，再画出其图象即可.

（2）由正弦函数的性质得，，即可得解集.

【详解】(1)由正弦函数的性质，上的五点如下表：

函数图象如下：

(2)由，即，故，，

所以，，故不等式解集为，.

18．已知，求下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得结果；

（2）在代数式上除以，再结合弦化切可求得结果.

【详解】(1)解：因为，则，

原式.

(2)解：原式.

19．已知函数，且最小正周期为.

(1)求的单调增区间；

(2)若关于的方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据已知条件求得，再用整体法求函数单调增区间即可；

（2）根据（1）中所求函数单调性，结合函数的值域，即可求得参数的值.

【详解】(1)因为函数最小正周期为，故可得，解得，

则，

令，解得.

故的单调增区间是：.

(2)因为，由（1）可知，在单调递增，在单调递减，

又，，，

故方程在上有且只有一个解，只需.

故实数的取值范围为.

20．2009年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩120万元．现给出两种地价增长方式，其中是按直线上升的地价，是按对数增长的地价，t是2009年以来经过的年数，2009年对应的t值为0．

(1)求，的解析式；

(2)2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型．（参考数据：）

【答案】(1)，；，

(2)分析比较见解析；应该选择模型

【分析】（1）由，求得；由 ，求得；

（2）分别由，，，算出直线和对数增长的增长率与10%比较即可.

【详解】(1)解：由题知：，，

所以，解得：，

所以，；

又，，

所以，

解得：，

所以，；

(2)若按照模型，到2025年时，，，

直线上升的增长率为，不符合要求；

若按照模型，到2025年时，，

，

对数增长的增长率为，符合要求；

综上分析，应该选择模型．

21．已知函数且.

(1)若，求的值；

(2)若在上的最大值为，求的值.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断是奇函数，再由即可求解；

（2）讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得的值.

【详解】(1)因为的定义域为关于原点对称，

，

所以为奇函数，故.

(2)，

若，则单调递减，单调递增，

可得为减函数，

当时，，

解得：，符合题意；

若，则单调递增，单调递减，

可得为增函数，

当时，

解得：，符合题意，

综上所述：的值为或.

22．已知二次函数满足对任意，都有；；的图象与轴的两个交点之间的距离为.

（1）求的解析式；

（2）记，

（i）若为单调函数，求的取值范围；

（ii）记的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）或.

【分析】（1）根据二次函数的对称轴、求参数a、b、c，写出的解析式；

（2）（i）利用二次函数的性质，结合的区间单调性求的取值范围；

（ii）讨论、、，结合二次函数的性质求最小值的表达式，再令并应用数形结合的方法研究的零点情况求的取值范围.

【详解】（1）设由题意知：对称轴，

，又，则，

，

设的两根为，，则，，

由已知：，解得

.

（2）（i），其对称轴为

为单调函数，

或，解得或.

的取值范围是.

（ii），，对称轴.

①当，即时，在区间单调递增，

.

②当，即时，在区间单调递减，

③当，即时，，

函数零点即为方程的根

令，即，作出的简图如图所示

①当时，，或，解得或，有个零点；

②当时，有唯一解，解得，有个零点；

③当时，有两个不同解，，解得或，有4个零点；

④当时，，，解得，有个零点；

⑤当时，无解，无零点

综上：当或时，有个零点.

【点睛】关键点点睛：第二问，（i）分类讨论并结合二次函数区间单调性求参数范围，（ii）分类讨论求最小值的表达式，再应用换元法及数形结合求参数范围.