西安市铁一中学2022-2023学年高二数学上学期1月期末试卷（Word版附解析）

西安市铁一中学2022-2023学年上学期期末

高二数学

注意事项：

1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

4.考试结束后，只将答题卡交回。

一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．已知，，且，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

2．与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

3．如图，在三棱柱中，点是底面的重心，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

4．已知数列的前项和为，且，则的值为（    ）

A．-4 B．-2 C．-6 D．-8

5．若椭圆经过点，且焦点为，，则这个椭圆的离心率等于

A． B． C． D．

6．已知数列是等差数列，若，，则公差（    ）

A．1 B． C． D．

7．已知三棱台的六个顶点都在球O的球面上，，和分别是边长为和的正三角形，则球O的体积为（    ）．

A． B． C． D．

8．下列方程关于对称的是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）．

9．在平面直角坐标系中，已知圆，其中，则（    ）

A．圆过定点 B．圆的圆心在定直线上

C．圆与定直线相切 D．圆与定圆相切

10．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放人一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（    ）

A． B．事件与互斥

C． D．事件与对立

11．裴波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．裴波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示裴波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，下列命题中正确的是（  ）

A．三棱锥的体积与的取值无关

B．当时，点Q到直线AC的距离是

C．当时，

D．当时，过三点的平面截正方体所得截面的周长为

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若向量，，且，则______．

14．双曲线的右焦点到直线的距离为________．

15．已知向量与的夹角为，且，则实数的值为______.

16．已知正项数列的前n项和为，且对于任意，有，若a2=4，则_____，_____．

四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．设直线的方程为.

（1）求证：不论为何值，直线必过一定点；

（2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程；

（3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线的方程.

18．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》， 此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，抽查了100名学生进行测试，并按学生的成绩（单位：分）制成如图所示频率分布直方图.

（1）求的值；

（2）若成绩在80分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数；

（3）如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试.

19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面.

（1）当为何值时，平面？证明你的结论；

（2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围.

20．已知等差数列的前项和为，且，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，成等比数列，求正整数的值.

21．已知椭圆：（）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，为椭圆上任意两点，为坐标原点，且.求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值.

22．如图，点是圆内的一个定点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的值.

参考答案：

1．D

根据向量数量积列出方程，求出x＝1，利用向量夹角公式计算出答案.

∵

∴x＝1，

∴，

∴，

又∵，

∴向量与的夹角为

故选：D.

2．C

先求出直线交于轴交点，再设与直线平行的直线方程，代入点的坐标得解.

设直线交于轴于点，令，则，

所求直线与平行，设，把

代入得

所求直线方程为：

故选：C

本题考查与直线平行的直线方程，属于基础题.

3．A

如图，连接，并延长交于点D，根据重心的定义可得D为的中点，，利用空间向量的线性运算即可求解.

由题意知，如图，连接，并延长交于点D，

则D为的中点，，

有，

.

故选：A.

4．A

根据递推关系依次求得和的值.

依题意，数列的前项和为，

当时，，解得，

当时，，解得，

故选A.

本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项，属于基础题.

5．C

根据焦点坐标求出的值，根据椭圆过的定点，结合性质得到的值，再利用椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率.

椭圆焦点为，

设椭圆方程为，

又椭圆经过点，

解得或，

，

，故选C.

本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，以及椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.

6．D

利用等差数列的下标和性质即可求解.

∵，∴．

∵，∴，

∴公差．

故选：D

7．B

分别求出正三棱台的上下两个底面的外接圆的半径，然后由球的性质得：

，，解出，即可求得球O的体积.

设点，分别是正，的中心，球的半径为，且，，三点共线，正三棱台的高为，在等边中，由，由正弦定理可得： ，得，在等边中，由，由正弦定理可得： ，得，如下图，过点作，则在三角形中，

，所以，所以正三棱台的高为3，在中，，即，

在中，，即，

两式解得：，所以球O的体积为：.

故选：B.

8．B

利用互换位置后方程不变可得答案.

对于A，互换位置后方程为与不一样，故错误；

对于B，互换位置后方程为与原方程一样，故正确；

对于C，互换位置后方程为与原方程    不一样，故错误；

对于D，互换位置后方程为与原方程不一样，故错误.

故选： B.

9．BC

利用反证法可判断AD选项；求出圆心所在直线的方程，可判断B选项；判断圆与直线的位置关系，可判断C选项.

对于A选项，圆的方程可化为，

若圆过定点，则，可得，矛盾，A错；

对于B选项，圆的圆心坐标为，则圆心在直线上，B对；

对于C选项，圆心到直线的距离为

，故直线与圆相切，

同理可知，直线与圆也相切，C对；

对于D选项，设定圆的圆心为，半径为，设，

若定圆与圆外切，则，

化简得，

由二次函数的性质可知，关于的二次函数在时的值不可能恒为零，舍去；

若定圆与圆内切，则，

化简可得，

由二次函数的性质可知，关于的二次函数在时的值不可能恒为零，舍去.

同理可知，当时，不存在定圆与圆相切，D错.

故选：BC.

10．BCD

根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.

由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）：

共36种，

若，此时取或

所以，故A错误；

若，则恒成立，

所以与互斥，故B正确；

，故C正确；

因为恒成立.

所以为对立命题，

当时，恒成立，故D正确，

故选：BCD

11．ABD

利用递推公式逐项计算可得的值，可判断A选项；推导出，，两式相加可判断B选项；推导出，利用裂项相消法可判断C选项；推导出，利用裂项相消法可判断D选项.

对于A选项，，，，，A对；

对于B选项，当时，，①

，可得，②

①②得，B对；

对于C选项，对任意的，，则，

因此，，C错；

对于D选项，，

因此，

，D对.

故选：ABD.

12．ABD

根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

对选项A：由，因为到平面的距离为定值，

且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以A正确；

对选项B：当时，是的中点，

，

，所以为锐角，

所以,

所以点Q到直线AC的距离是，所以B正确.

对选项C：当时，，可得，，

取的中点分别为，连接，则，

在直角三角形中，，

则，所以不成立，所以C不正确．

对选项D：当时，取，连接，则，又，

所以，所以共面，即过三点的正方体的截面为，

由，则是等腰梯形，且，

所以平面截正方体所得截面的周长为，所以D正确；

故选：ABD

13．7

根据空间向量的数量积运算，代值计算即可.

依题意可得，则．

故答案为：.

14．

先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

由已知，，所以双曲线的右焦点为，

所以右焦点到直线的距离为.

故答案为：

15．

根据可得，再根据平面向量的数量积公式求解即可

由可得，即，，代入可得，化简得

故答案为：

平面向量的垂直：

若向量，则

16．     2     126

根据已知条件，对p，q的依次取特值，求出数列的前6项，即可得到结果．

解：正项数列的前项和为，且对于任意，有，

∵，

当时， ，所以，

当时，，所以，

当时，，所以，

当时，，所以，

当时，，所以，

所以；

故答案为：2；126．

本题考查数列的递推关系，数列的求和，属基础题，难度较易.

17．（1）证明见解析；（2）周长为；直线方程为；（3）.

（1）将直线方程重新整理，转化为求两直线交点，即得证；

（2）先求A,B坐标且确定的取值范围，再根据三角形面积公式列函数关系式，根据基本不等式求最值，确定的值，最后求周长以及直线方程；

（3）根据截距均为正整数，利用分离法，结合整除确定的值，再求直线方程.

解：(1)由得，

则，解得，

所以不论为何值，直线必过一定点；

(2)由得，

当时，，当时，，

又由，得，

，

当且仅当，即时，取等号.

，，

的周长为；

直线方程为.

(3) 直线在两坐标轴上的截距均为正整数，

即，均为正整数，而a也为正整数，

所以直线的方程为.

本题考查直线恒过定点问题、利用基本不等式求最值、直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值、分离法求正整数解，考查综合分析求解能力，属中档题.

18．（1）；（2）320人；（3）能通过测试.

（1）本题可根据频率分布直方图中数据得出结果；

（2）本题可根据图中数据得出成绩在80分及以上的频率为，然后与总人数相乘即可得出结果；

（2）本题可设抽查的平均成绩为，然后根据图中数据计算出，即可得出结果.

（1）由频率分布直方图性质可得：

，解得.

（2）由频率分布直方图得，成绩在80分及以上的频率为，

故估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数为：（人）.

（3）设抽查的平均成绩为，

则（分），

因为，所以该学校通过了测试.

19．（1），证明见详解；（2）

（1）要证平面，只需证垂直于平面内的两条相交直线，由题意可知，则只需证明，只有当四边形为正方形时满足.

（2）由题意可知，若存在点，使，则平面，即，则点应是以为直径的圆和边的一个公共点，即半径，求解即可.

（1）当时，四边形为正方形，则.

因为平面，平面，

所以，

又，平面，平面

所以平面.

故当时，平面.

（2）设是符合条件的边上的点.

因为平面，平面

所以，

又，，平面，平面

所以平面，

因为平面，

所以.

因此，点应是以为直径的圆和边的一个公共点.

则半径， 即.

所以.

本题考查根据线面垂直与线线垂直求参数，属于难题.

20．（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）根据等差数列的通项公式以及求和公式得出数列的通项公式；

（Ⅱ）求出，再由等比数列的性质求出.

（Ⅰ），解得

（Ⅱ），

，，成等比数列

，即

解得（舍）

21．(1)

(2)见解析.

（1）根据离心率与短轴端点到焦点的距离联立，可求得的值，从而可得椭圆的标准方程；

（2）分为直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线方程为，与椭圆方程联立消元，然后再根据，利用韦达定理可得与的关系，进而可知原点到直线的距离为定值.

（1）

由题意知，，，又，

所以，，

所以椭圆的方程为.

（2）

当直线的斜率不存在时，易知直线的方程为.

代入得，

所以，原点到直线的距离为.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.

由得

则，

，

则，由得，

即，即，

所以原点到直线的距离为

综上，原点到直线的距离为定值.

22．(1)

(2)

（1）根据垂直平分线可判断点轨迹满足椭圆的定义，故根据定义法求解曲线方程.（2）设出直线的方程，然后根据根与系数的关系求得点的坐标.由点，，共线可得点的横坐标，可得直线与轴的交点纵坐标为，由此可得，，计算后可得结果.

（1）

由题意得点在的垂直平分线上，

所以，

∴.

∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，

设椭圆的方程为,

则，，

∴.

所以曲线的方程为.

（2）

由题设知直线的斜率存在.设直线的方程为，

由消去整理得

，

设，，

则，

又，所以，

所以，

因为点，，共线，故，

即，

所以，

又直线与轴的交点纵坐标为，

所以，，

所以.