2023届广东省深圳市罗湖区高三上学期期末质量检测数学试题（word版）

机密★启用前    试卷类型：A

深圳市罗湖区2022-2023学年高三上学期期末质量检测

数学                            2023.1

注意事项：

1.本试卷共4页，共22题，满分150分，考试用时120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.

3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.

4.非选择题的答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.

5.考试结束后，考生上交答题卡.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则的子集个数为

A.0 B.1 C.2 D.无穷多个

2.已知复数，则

A. B. C. D.

3.已知向量，，若，则

A.6 B.5 C.4 D.3

4.某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为

A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元

5.圆与圆公共弦长为

A. B. C. D.

6.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是

A.  B.

C.  D.

7.某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是

A. B. C. D.

8.正四面体中，是侧棱上（端点除外）的一点，若异面直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.等比数列的公比为，前项和为，且，以下结论正确的是

A.是等比数列  B.数列，，成等比数列

C.若，则是递增数列 D.若，则是递增数列

10.已知随机变量，函数，则

A.当时，取得最大值

B.曲线关于直线对称

C.轴是曲线的渐近线

D.曲线与轴之间的面积小于1

11.已知，为椭圆左、右顶点，为的右焦点，是的上顶点，，f的垂直平分线交于，，若，，三点共线，则

A.  B.的离心率为

C.点到直线的距离为 D.直线，的斜率之积为

12.已知，函数，则

A.的图象关于原点对称 B.有四个极值点

C.在上单调递增 D.的最大值不大于

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若是第三象限角，且，则______.

14.已知，则的最小值为______.

15.若正方形的顶点均在半径为1的球上，则四棱雉体积的最大值为______.

16.已知的顶点，点，均在抛物线上.若，的中点也在上，的中点为，则______，的面积______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设求数列的前100项和.

18.（12分）

在中，角，，对边分别为，，，且，.

（1）求；

（2）若，边上中线，求的面积.

19.（12分）

快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间，，，，并据此画得频率分布直方图如下：

（1）求的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；

（2）若重量在（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为，求的分布列和数学期望.

注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.

20.（12分）

如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，求直线与平面所成角的正弦值.

条件①：异面直线与所成的角为45°；

条件②：是等腰三角形.

21.（12分）

是平面直角坐标系上一动点，两直线，.已知于点，位于第

一象限；于点，位于第四象限.若四边形的面积为2.

（1）若动点的轨迹为，求的方程.

（2）设，过点分别作直线，交于点，.若与的倾斜角互补，证明直线的斜率为一定值，并求出这个定值.

22.（12分）

已知函数，其中是非零实数.

（1）讨论函数在定义域上的单调性;

（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.

深圳市罗湖区2022-2023学年高三上学期期末质量检测

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7.解析：因为抽到的次品可能来源于，两条生产线，设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的一件产品是次品”，则由全概率公式得

，

又由条件概率得.

8.【解析】：

取中点记为，连接，.过作的垂线垂足为.过作的平行线交于.易得，，

因为，所以.

设正四面体边长为1，，有.

，

因为

所以，即

综上：

也可以取特殊位置法，更快作答。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

第9题，增加条件.

12.【解析】：（1）因为是奇函数，所以图象关于原点对称，故选A；

（2）因为，不妨令，

令，则，得，

分别在同一坐标系画出与的图象，如下图：

它们在第一象限只有一个交点，交点的横坐标不能具体求出，肯定小于1，

故当时，导数为零的点只有两个，故最多只有两个极值点，错；

（3）当时，，而（由基本不等式得），

所以当时，，即当时，，

根据对称性得在上单调递增，故选C；

（4）又因为交点的横坐标，

所以当时，在上单调递增，在上单调递减，

当时取得最大值，故D错.

另法：由C正确得，故D错.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.   14.9   15.   16.，

16.【解析】：不妨设，，

则的中点在上，

所以，整理得，

所以，是方程的两根，

所以，，即，的面

积

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

【解析】（1）法一：由得，

所以

，

因为，所以，即.

法二：当时，由两式相减得，

所以数列是等差数列.

由，得，所以.

所以.

（2）法一：由题意得，，

设数列，的前50项和分别为，，

所以，，

所以的前100项和为.

法二：由题意得，

则，即数列是首项为19，公差为18的等差数列，

所以的前50项和为，

即数列的前100项和为23000.

18.（本小题12分）

【解析】（1）由正弦定理有.

因为，有.

因为，故，

（2）法一：在和中，，

因为，，则

因为，所以

所以

法二：因为，所以，

有.下同法一.

法三：如图.作交于，则，，，

即，解得.

下同法一.同理也可有其他辅助线做法

法四：因为，则.两边平方可得.

下同法一.

19.（本小题12分）

【解析】（1）因为频率分布直方图的组距为10，

所以落在区间，，上的频率分别为0.20，0.32，0.18，

故.

因为落在区间上的频率为，

而落在区间上的频率为，

所以第70百分位数落在区间之间，设为，

则，解得，

所以估计第70百分位数为31.

（2）由（1）知，重量落在的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2，

因为可取0，1，2，3，且，

则，，

，，

所以的分布列为：

所以的数学期望为（或直接由）.

20.（本小题12分）

【解析】（1）证明：取的中点为，连结，，因为是的中点，

所以且，

又因为且，

所以且，

所以四边形是平面行边形，

即，

而平面，所以平面.

（2）因为，，且，平面，

所以，

又因为，所以分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系.

选择条件①，因为为异面直线与所成的角，即，

所以，，

设，则，

解得，

所以，，

，，

所以，，，

设平面的法向量，则

令，则，，即，

所以.

选择条件②，设，则，，，

因为是等腰三角形，所以上式中只能，即，

所以，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则

令，则，，即，

所以.

21.（本小题12分）

【解析】（1）法一：设，依题意得且，

即且，

设直线，则，

解得，

所以，

，

所以四边形的面积为，

即，所以动点的轨迹方程为.

法二：设，依题意得且，

即且，

设，则，

因为直线的方向向量为，所以，，即，

所以，

所以四边形的面积为，

即动点的轨迹方程为.

（2）法一：设直线（）或），

则，

联立得，

整理得，

所以，即，

所以，

同理得，，

所以直线的斜率，得证.

法二：设直线为，联立得，

整理得，

所以，，

因为直线，的斜率分别为，，

依题意得，

即，

化简得，

所以，

即，

即，

因为，所以，

即，

所以当时，即当时得证.

22.（本小题12分）

【解析】（1）当时，的定义域为，当时，的定义域为.

（1）当时，.在上单调递增；

（2）当时，.在上单调递减.

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.

（2）令.由题恒成立.

①当时，.

因为，故不合题意.

②当时，则不等式恒成立的必要条件为：.

令，

则，故在上单调递增.

注意到，故由可知.

下证充分性：

当时，令，则.

故在上单调递增.

所以.

法一：令，

则，.故单调递减.

因为，故当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

所以.

法二：易证（此处略去证明），从而当时，.

故.

综上所述：.