2022-2023学年江西省宜春市丰城市高三（上）期末数学试卷（解析版）

2022-2023学年江西省宜春市丰城市高三（上）期末

数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数在复平面内对应的点为，是的共轭复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在数列中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知空间中两条不重合的直线，，则“与没有公共点”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  若命题“，”是假命题，则实数的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如果平面向量，，那么下列结论中不正确的是(    )

A.  B.
C. 的夹角为 D. 向量在方向上的投影为

6.  在正方体中，直线与所成角的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  两个工厂生产同一种产品，其产量分别为，为便于调控生产，分别将、、中的值记为，，并进行分析．则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数的所有正极值点由小到大构成以为公差的等差数列，若将的图象上所有的点向左平移个单位得到的图象，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若一个三棱锥的底面是斜边长为的等腰直角三角形，三条侧棱长均为，则该三棱锥的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知是虚数单位，则实数的值为______．

14.  设等比数列的前项和为，且，则______．

15.  已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为          ．

16.  在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，满足，．
若，的夹角为，求；
若，求与的夹角．

18.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点，为的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．

19.  本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
求函数在上值域．

20.  本小题分
已知函数其中是实数，且．
求的值及曲线在点处的切线方程；
求在区间上的最大值．

21.  本小题分

已知数列和满足，，，．

证明：是等比数列，是等差数列；

求和的通项公式．

22.  本小题分
已知函数是定义域为的奇函数．
求实数，的值及函数的值域；
若不等式成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数在复平面内对应的点为，是的共轭复数，
．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查由数列递推关系求数列的项，属于基础题．
由数列的递推式，分别求得，，，．

【解答】

解：在数列中，，，
则，，，
．
故选D．

3.【答案】 

【解析】解：，是空间中的两条直线，
由与没有公共点，可得或与异面，
反之，由，可得与没有公共点．
“与没有公共点”是“”的必要不充分条件．
故选：．
由平行直线、异面直线的定义结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查充分必要条件的判定，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：若命题“”是假命题，
则它的否定命题“，”是真命题，
当时，，
所以的取值范围是．
故选：．
根据命题与它的否定命题一真一假，写出它的否定命题，再求的取值范围．
本题考查了命题与它的否定命题应用问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，
对于，因为，所以，故A正确；
对于，因为，故，故B正确；
对于，因为，所以与的夹角为，故C正确；
对于，在方向上的投影为：，，故D错误．
故选：．
直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定、、、的结论．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据正方体的性质可知，
所以是直线与所成角，
由于三角形是等边三角形，所以，
即直线与所成角的大小为．
故选：．
根据异面直线所成角的定义，先找出两直线所成的角，进而可求．
本题主要考查了异面直线所成角的求解，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为在上单调递减，
又，
所以，
因为在上单调递增，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，
故选：．
利用函数的单调性以及中介值“”或“”，比较即可．
本题主要考查了对数函数与指数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由得：，解得：，即；
由得：，解得：，即；
由得：，解得：，即；
又，当且仅当时取等号，
．
故选：．
解方程可依次求得，，，结合基本不等式可得大小关系．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意知，的最小正周期，
所以，所以，
将其图象上所有的点向左平移个单位得到的图象，
则
故选：．
易知的最小正周期，再由求得的值，然后根据函数图象“左加右减”的平移原则，得解．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的周期性，理解函数图象“左加右减”的平移原则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，
在上单调递增；
又是定义在上的偶函数，
在上单调递减；
，
由得：，则，解得：，
的解集为．
故选：．
根据函数解析式和奇偶性可确定的单调性，结合可得自变量的大小关系，由此可解不等式求得结果．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由，若函数在区间内有最小值．此时函数必定存在极值点，
由，设，为一元二次方程的两根，有，
故只需要即可，
令，有，解得．
故选：．
依题意可知函数在区间必定存在极值点，对求导，可令，只需，解该不等式组即得答案．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：一个三棱锥的底面是斜边长为的等腰直角三角形，三条侧棱长均为，
三棱锥设为，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，
在面上的射影为中点，平面．
，为底面三角形的外心，设为的外接球球心．，外接球的半径为：．
此三棱锥外接球的表面积为．
故选：．
在面上的射影为中点，则平面求出，，为的外接球球心．求解外接球的半径，然后求解外接球的表面积．
本题考查空间点、线、面位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
解得．
故答案为：．
利用实数能比较大小，虚数不能比较大小，再结合对数的运算法则求解．
本题考查复数定义的应用，对数的运算法则，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以当时，，
所以，即，
所以等比数列的公比为，
当时，，
所以，解得，
所以
故答案为：．
由题知当时，，进而结合已知得公比为，再求得即可求解．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系的应用，还考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础题．
由题意，设圆锥的高为，根据圆锥的底面半径为，其体积为求出，再求得母线的长度，然后确定圆锥的侧面积即可．

【解答】

解：由圆锥的底面半径为，其体积为，
设圆锥的高为，则，解得，
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：，，
，，
由，得，
由正弦定理，得，，
又，，，
由余弦定理，
得，，．
故答案为：．
由二倍角公式求出，由正弦定理求得，从而可求出，的值，再利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

17.【答案】解：由，，
又，的夹角为，
则；
由，
则，
则，
设与的夹角为，
则，
又，
则，
即与的夹角为． 

【解析】由平面向量数量积运算，结合向量模的运算求解即可；
由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题．
 

18.【答案】证明：底面是正方形，与交于点，
为中点，
又为的中点，
，
平面，平面，
平面；
底面是正方形，
，
又平面，平面，
，
，
平面，
又平面，
平面平面． 

【解析】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，属于基础题．
根据中位线得到，即可得证；
根据题意得到平面，即可得证．
 

19.【答案】解：，
所以最小正周期，
令，，
解得，，
故函数的单调递增区间为．
，
，
，
．
即函数在上值域为． 

【解析】利用诱导公式和辅助角公式可得，即可求出周期和单调增区间；
由，可得，利用正弦函数的性质可得值域．
本题考查正弦函数的周期性、单调性及部分区间上的值域，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，

---------------分
，点
点 处的切线方程为：，即---------------分
由得：，---------------分
 在区间上为递增函数---------------分
当时， 在区间上的最大值--------------分 

【解析】求出函数的导数，利用函数的极值点求解即可．求出切线的斜率，然后求解切线方程．
利用函数的单调性求解函数的最值即可．
本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查计算能力．
 

21.【答案】证明：
，
，
即，
又，
是首项为，公比为的等比数列，
，
，
所以；
又，
是首项为，公差为的等差数列；
解：
由可得：，
，
联立方程并求解可得：
，
． 

【解析】本题主要考查等差、等比数列的判定与证明以及其定义和通项公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．
利用定义法分别先构造再证明即可；
由结合等差、等比的通项公式，然后连立方程组求解可得．
 

22.【答案】解：因为是定义域为的奇函数，
所以，即，
解得，故，
又，
所以，解得，所以，，
经检验，时，是奇函数，
由，
因为，所以，
故函数的值域为，
由知，
则函数在上为减函数，
又因为为奇函数，
所以不等式等价于
，即，
由在上是减函数，所以，
解得，
故的取值范围为 

【解析】由奇函数的定义可得所以，，解得，，进而得，因为，所以，推出函数的值域．
为奇函数，推出不等式等价于，再由在上是减函数，所以，进而解得的取值范围．
本题考查函数的性质，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．