2022-2023学年天津市西青区高二上学期期末数学试题（解析版）

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2022-2023学年天津市西青区高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知向量，，若，则k的值为（    ）A． B． C． D．4【答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.【详解】因为，所以解得，故选:D.2．抛物线 的焦点坐标是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】抛物线 的方程化为标准方程为： ，故 ，则焦点坐标为 ，故选：D.3．数列中，若，，则（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】,先求出,再由求,由求即可.【详解】,，，，故选：B.4．圆与恰有三条公切线，则实数a的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据公切线的条数判断两圆的位置关系，进而列出等式求解.【详解】因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，则圆心距，解得，故选:D.5．椭圆与曲线的（    ）A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．曲线是双曲线【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质，曲线，化简为，即可解决.【详解】对于椭圆可得焦点在轴上，，所以焦距为8，离心率为，焦点为，曲线，化简为，因为，所以，且，所以曲线表示焦点在轴上椭圆，所以，焦距为8，离心率为，焦点为，故选：A6．如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.7．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝（    ）A．26 B．52C．78 D．104【答案】B【解析】由等比数列的性质可得，再由等差数列的求和公式和性质，可得答案．【详解】等比数列中，，可得，解得，等差数列中，则．故选：．【点睛】本题考查等比数列的性质以及等差数列的性质与求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8．若直线与圆C：相切，则①；②数列为等差数列；③圆C可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23.以上结论正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用距离公式可求，从而可判断①②的正误，由可判断③的正误，计算出后可判断④的正误.【详解】因为直线与圆 相切，所以圆C的圆心(2，0)到直线的距离 ，故 ，则 ，故①错误；数列是首项为公差为的等差数列，故②正确;当时，，圆C经过坐标原点，故③正确；因为 ，所以的前10项和为 ，故④正确.故选：C.9．如图第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为，…依此类推，第n个图案的总点数记为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得时，从而可得，再利用裂项相消求和法可求得答案.【详解】由题意，，当，时，，又当，时，，∴．故选：A10．设是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先由双曲线定义与题中条件得到，，求出，，再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果.【详解】解：根据双曲线定义：，，∴，∴，，，∴是圆的直径，∴，在中，，得．故选．【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题11．直线与直线垂直，则实数的值为__________.【答案】【分析】直接利用两直线垂直，求出.【详解】直线与直线垂直,所以，解得：故答案为：12．已知双曲线C:一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线C的实轴长为___________.【答案】【分析】先求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出进而可求解.【详解】由题，双曲线的一条渐近线方程为，右焦点的距离为，解得，所以双曲线的实轴长为，故答案为:.13．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是_________.【答案】【分析】由题知，弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直，进而求解直线方程即可.【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直,因为圆，即，圆心为：，所以，所以，所以所求直线方程为：.故答案为：.14．在直三棱柱中， ，，分别是，的中点， ，则与所成角的余弦值是_____________.【答案】##【分析】已知是直三棱柱，取的中点，连接，，可得和所成角即为与所成角．求出边长，利用余弦定理求解角的大小．【详解】，分别是，的中点，取的中点，连接，，则且，所以为平行四边形，,那么和所成角即为与所成角．设，，是直三棱柱，，，故答案为：．三、双空题15．抛物线的焦点到准线的距离是___________；若点在抛物线上且与焦点的距离为6，则点的坐标为___________.【答案】     4     或【分析】根据抛物线几何意义，抛物线定义即可解决.【详解】由题知，抛物线，开口向右，，焦点为，准线为，所以焦点到准线的距离是4，因为点在抛物线上且与焦点的距离为6，所以点到准线的距离为6，所以，即，所以，解得，所以点的坐标为或故答案为：4；或16．数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则__________；=___________.【答案】          【分析】通过，得到，求出的值，则，则求出，利用等比数列求和公式即可得到.【详解】,时，,化为：， 时,,解得.数列是等比数列,首项为1,公比为,,,,故答案为：；.四、解答题17．圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.(1)求圆的标准方程；(2)已知直线l：与圆相交于两点，求弦长的值；(3)过点引圆的切线，求切线的方程.【答案】(1)(2)(3)和【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长.（3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据，求出斜率，写出方程.【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2，则圆的方程为；（2）由（1）可知：圆的半径，设圆心到的距离为，则，所以.（3）当斜率不存在时，为过点的圆C的切线.当斜率存在时，设切线方程为，即，解得综上所述：切线的方程为和.18．在等差数列中，已知公差，且 成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)记 ，求数列的前项和．【答案】(1)an =n(2)【分析】（1）由已知条件可得（d+2）2=2d+7，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公式，（2）由（1）得，然后利用错位相减法求【详解】（1）因为a1，a2+1，a3+6成等比数列，所以又a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以d=1或d= （舍），所以an =n；（2）因为，所以，所以，所以所以19．如图，四棱锥中，平面，底面四边形满足，， 是的中点.(1)求直线到平面距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线到平面距离.（2）求出平面与平面的法向量，利用向量法求出平面与平面夹角的余弦值.【详解】（1）在四棱锥中，平面，，分别以为轴建立空间直角坐标系.,是的中点设平面的法向量为则取，平面平面直线到平面距离为（2）平面的法向量，，设平面的法向量则取设平面与平面夹角为则20．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在直线满足条件，其方程为【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由可得到，，的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为，然后与椭圆方程联立消去得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应得到的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定的值，从而得解．【详解】（1）设椭圆的方程为，，且经过点，，解得，，，故椭圆的方程为．（2）若存在直线满足条件，由题意直线存在斜率，设直线的方程为，由，得．因为直线与椭圆相交于不同的两点，，设，两点的坐标分别为，，，，所以．整理得．解得，又，因为，即，所以．即．所以，解得．因为，所以．于是存在直线满足条件，其方程为．【点睛】直线与圆锥曲线相交于两点时，一般都设，直线方程为，把直线方程代入圆锥曲线方程得的一元二次方程，由韦达定理得，再把其他与有关的条件用表示出来，把刚才的代入，化简整理就可得到要求的结论．这是解析几何中常用的“设而不求”方法，可减少大量的计算，简化推理过程．