2022-2023学年河南省周口市太康县第三高级中学高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

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2022-2023学年河南省周口市太康县第三高级中学高二上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．“”是“直线与直线平行的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当时，，即，解得或.当时，直线的方程为，直线的方程为，此时；当时，直线的方程为，直线的方程为，此时.因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.2．已知向量，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的坐标运算公式求解即可.【详解】因为，所以，又，所以．故选：C.3．在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可判断出答案.【详解】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可得A，B，D不正确，选项C：，所以四点共面，故选：C.4．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（   ）.A．0 B． C．0或 D．0或【答案】C【分析】根据向量夹角的公式代入即可求解.【详解】由题意得，解得或.故选：C5．已知空间三点，，，则到直线的距离为（    ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】首先求出、，再根据夹角公式求出，从而求出，再根据距离公式计算可得.【详解】解：因为，，，所以，，则，，，所以，则，所以到直线的距离为.故选：B6．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】根据点与圆的位置关系求解即可.【详解】因为点在圆的内部，所以，即，解得.故选：A7．已知直线与圆相切，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可.【详解】由，得，所以圆心，半径.因为直线与圆相切，所以，解得，故选:A.8．已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设,则由直线恰好是以为直径的圆的切线,可得，再利用点差的方法可得，即得，从而可得的关系，即可求得椭圆离心率.【详解】依题意，设，直线的斜率一定存在,分别为，直线恰好是以为直径的圆的切线,则,则,则，∴，∵，两式相减得，∴，即，∴，∴，∴，∴椭圆的离心率，故选:D．9．双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（    ）A．1 B． C．1或 D．2【答案】A【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点在轴上，依题意得解得.故选：A10．已知点，在双曲线上，线段的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据中点弦定理求出直线的斜率，然后求出直线的方程，联立后利用弦长公式求解的长.【详解】设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则故选：D11．已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】讨论焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别计算得到答案.【详解】当抛物线焦点在轴上时：直线与轴的交点为，此时抛物线为；当抛物线焦点在轴上时：直线与轴的交点为，此时抛物线为；综上所述：抛物线的标准方程是或故选：【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，漏解是容易发生的错误.12．已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则抛物线的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圆心，代入抛物线，求得，进而得到抛物线得标准方程，进而可求得抛物线的焦点坐标.【详解】由已知得，圆的圆心为：，故把圆心坐标代入抛物线得，，解得，则抛物线：，化简得，可得抛物线的焦点坐标为故选：C二、填空题13．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA=2，则AB与PC的夹角的余弦值为______.【答案】【分析】利用向量夹角公式来计算出与的夹角的余弦值.【详解】∵··()=··=1××cos 45°=1，又||=1，||=，∴cos<，>=.故答案为：14．己知，直线，若，则与之间的距离为______.【答案】【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解即可.【详解】由得，解得，则直线，即与之间的距离为故答案为：15．已知椭圆的左､右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，的延长线交椭圆于点Q，若椭圆的离心率，___________.【答案】##【分析】设，利用已知条件及椭圆的定义求，再利用椭圆的定义及勾股定理，设可解得，进而求得.【详解】设，，因为，所以，，由椭圆的定义，得，即，又，所以，两边同时平方得，即，又，所以，所以，，于是，.设，则，根据，得，解得.故.故答案为：16．抛物线的准线方程是________.【答案】【详解】分析：利用抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线方程.详解：因为抛物线的准线方程为，所以抛物线的准线方程为，故答案为.点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.三、解答题17．如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离．【答案】【分析】建立空间坐标系，求解平面的法向量，结合点到平面的距离公式求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则.设平面的一个法向量为，.由令，则，即.设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．（1）证明：EF∥平面PAC；（2）证明：AF⊥PC．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用三角形中位线可证得，由线面平行判定定理可证得结论；（2）利用线面垂直性质可证得，又，可证得线面垂直，进而得到；利用等腰三角形三线合一证得，得到平面；通过线面垂直的性质可证得结论.【详解】（1）分别为中点    平面，平面    平面（2）平面，平面    又四边形为正方形    ，平面    平面平面    ，为中点    又，平面    平面平面    【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系、线线垂直关系的证明；证明线线垂直的常用方法是利用线面垂直的性质，通过证明线面垂直得到结论.19．求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程．【答案】或【分析】设圆的一般方程是，得出圆心坐标和半径，利用直线与轴相切，令后的二次方程判别式等于0得的一一个等式，求出圆心到直线的距离，用勾股定理得弦长，得的第二个等式，再由圆心在已知直线上第的第三个等式，三式联立解得得圆方程．【详解】设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为. 令，得，由圆与轴相切，得，即①又圆心到直线的距离为.由已知，得，即②又圆心在直线上，则③联立①②③，解得或故所求圆的方程是或.20．已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，求该椭圆的离心率的取值范围．【答案】．【分析】根据椭圆的定义和余弦定理可得，再由基本不等式得出，根据离心率的范围.【详解】解：在中，，由余弦定理，可得，因为，所以．结合基本不等式，得，（当且仅当时等号成立），即，可得．又，所以椭圆离心率的取值范围为．【点睛】方法点睛： 若点是椭圆上的任一点，则易证当点落在短轴端点（或）处时最大．因此本题也可以利用求解，即，即．21．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：y=与抛物线C交于A，B两点.（1）求AB弦长；（2）求△FAB的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用代数方法，根据弦长公式求解；（2）在（1）的基础上，再求出点F到直线AB的距离，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）由消去整理得，其中，设A（，），B（，）.则，.所以，所以=.（2）由题意得点F（1，0），故点F到直线AB的距离，所以.即△FAB的面积为．【点睛】直线和圆锥曲线相交所得的弦长即为两交点间的距离，解题时可根据弦长公式求解，由于涉及到大量的运算，所以解题中要注意“设而不求”和“整体代换”等方法的运用，以减少运算量，提高解题的效率和准确程度．22．已知双曲线的两个焦点为，，并且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）利用，以及列方程组，解方程组求得，由此求得双曲线的方程.（2）当直线斜率不存在时，直线与双曲线没有交点.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，消去得到，根据二次项系数和判别式进行分类讨论，由此求得直线的方程.【详解】（1）由已知可设双曲线的方程为，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）当直线斜率不存在时，显然不合题意所以可设直线方程为，联立，得，①当，即或，方程只有一解，直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时，直线方程为，②当，即，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，则，解得，此时，直线方程为，综上所述，直线的方程为或.【点睛】本小题主要考查双曲线方程的求法，考查根据直线和双曲线交点个数求参数，属于中档题.