七年级数学下册考点精练专题11 内外角平分线综合问题

这是一份七年级数学下册考点精练专题11 内外角平分线综合问题，共37页。

专题11 内外角平分线综合问题
【例题讲解】
如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

解：（1）∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣50°=130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣；
（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣=，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则＝2（90°﹣），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．

【综合演练】
1．，点，分别在、上运动不与点重合．

(1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ；
(2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．






2．已如在四边形中，．

（1）如图1，若，则________．
（2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由．
（3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______．
3．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G.
(1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °
(2)若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °；
(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=”，其它条件不变，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
(4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=(30°<<90°) ，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)






4．探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

(1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；
②如图3，平分，平分，若，，则______°；
③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数．
5．已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．

(1)如图，连接CE．
①若CEAB，求∠BEC的度数；
②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
(2)若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．
6．图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．

【课本问题】（1）如图1，中，点D在边上，直线交于点G，E在边上，F在边上，与互补，与平行吗？为什么？
【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，是的角平分线，延长与，交于点H，直线与的延长线交于点K，相等吗？为什么？
7．如图，分别过Rt△ABC(∠A=90°)的顶点B、C作射线BD、CD，两射线交于点D．BF、CG分别是∠ABD、∠ACD的邻补角的角平分线，BF与CG的反向延长线交于点F．

(1)如图1，若∠D=90°，求证：∠ABD=∠ACD：
(2)如图2，请说出∠D与∠F的数量关系？并说明理由．
8．操作：如图1，将沿射线BF平移到，使原B点与C点重合，这时，所以，，请回答：

(1)的值为___________°；
(2)若，，则_____°；若，，则____°；我们把、、称为的内角；把称为的外角，为的外角，每个三角形都有六个外角．
(3)运用（1）（2）结论，解决问题：如图2，已知中，，BP、CP分别平分、，CQ平分外角交BP与点Q，求，．
9．如图1，在中，平分，平分．

(1)若，则的度数为_________；
(2)若，直线经过点．
①如图2，若MNAB，求的度数（用含的代数式表示）；
②如图3，若绕点旋转，分别交线段于点，试问旋转过程中的度数是否会发生改变？若不变，求出的度数（用含的代数式表示），若改变，请说明理由；
③如图4，继续旋转直线，与线段交于点，与的延长线交于点，请直接写出与的关系（用含的代数式表示）．
10．在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．

(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE＝______°；
②若∠A＝70°，则∠BGE＝______；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．
11．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动．

（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s时，点A、点B的运动路程之和为12个单位长度，则x=____，y=____；
（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．
①试说明∠PBQ=∠ACQ；
②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAO的度数．
12．现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°），如图(1)所示，其中一块三角板的直角边AC垂直于数轴，AC的中点过数轴原点O，AC＝8，斜边AB交数轴于点G，点G对应数轴上的数是4；另一块三角板的直角边AE交数轴于点F，斜边AD交数轴于点H．
（1）如果△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，则点F对应的数轴上的数是 ，点H对应的数轴上的数是 ；
（2）如图(2)，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，若∠HAO＝a，试用a来表示∠M的大小：（写出推理过程）
（3）如图(2)，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，设∠EFH的平分线和
∠FOC的平分线交于点N，求∠N＋∠M的值．

13．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动,A、B不与点O重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小.
（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝________,
如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO＝________
（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其反向延长线交于E、F，则∠EAF＝ ；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数.

14．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．
（1）直接写出△BCD的面积．
（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，则∠CEF与∠CFE有何数量关系？请说明理由．
（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，直接写出变化范围．




专题11 内外角平分线综合问题
【例题讲解】
如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

解：（1）∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣50°=130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣；
（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣=，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则＝2（90°﹣），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．

【综合演练】
1．，点，分别在、上运动不与点重合．

(1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ；
(2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
【答案】(1)135°
(2)∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，值为45°
(3)60°或45°

【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．
（1）
解：∵、分别是和的平分线，
∴∠EBA=∠OBA，∠BAE=∠BAO，
∵，
∴∠EAB+EBA=90°，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，
∴，
，
，
，
；
（2）
解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；
（3）
解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE=135°，
∴，
，
，
，

∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°；
②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，
此时∠ABO=120°＞90°，舍去；
③当∠F=3∠E时，得，
此时∠ABO=45°；．
④当∠E=3∠F时，得，
此时∠ABO=135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．
【点睛】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键．
2．已如在四边形中，．

（1）如图1，若，则________．
（2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由．
（3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______．
【答案】（1）70°；（2）DE∥BF，证明见解析；（3）54°
【分析】（1）根据四边形内角和计算即可；
（2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC+∠CDN=180°，再根据角平分线的定义得到∠CBF+∠CDE=90°，从而推出∠EDB+∠FBD=180°，可得结论；
（3）根据五等分得到∠CDP+∠CBP=36°，连接PC并延长，证明∠DCB=∠DPB+∠CBP+∠CDP，即可计算．
【详解】解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=70°，
∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠NDC=180°-110°=70°；
（2）DE∥BF，如图，连接BD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°，
∴∠MBC+∠CDN=180°，
∵∠CBF=∠MBC，∠CDE=∠CDN，
∴∠CBF+∠CDE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°，
∴DE∥BF；

（3）∵∠MBC+∠CDN=180°，
∴∠CDP+∠CBP=（∠MBC+∠CDN）=36°，
连接PC并延长，
∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP，
∴∠DPB=90°-36°=54°．

【点睛】本题考查多边形内角和与外角，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
3．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G.
(1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °
(2)若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °；
(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=”，其它条件不变，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
(4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=(30°<<90°) ，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)

【答案】（1）21°；（2）14°；（3）α；（4）∠OGA的度数为α+15°或α﹣15°
【分析】（1）由于∠BAD=∠OBA+∠BOA=α+90°，由AF平分∠BAD得到∠FAD=∠BAD，而∠FAD=∠EOD+∠OGA，，则∠OGA=α，然后把∠OBA=α=42°代入计算即可；
（2）由于∠GOA=∠BOA=30°，∠GAD=∠BAD，∠OBA=α，根据∠GAD=∠EOD+∠OGA得到，则∠OGA=α，然后把∠OBA=α=42°代入计算即可；
（3）由（2）得到∠OGA=α；
（4）讨论：当∠EOD：∠COE=1：2时，则∠EOD=30°，利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，∠FAD=∠EOD+∠OGA得到，则∠OGA=α+15°；
当∠EOD：∠COE=2：1时，则∠EOD=60°，同理得∠OGA=α﹣15°．
【详解】（1）21°；
（2）14°；
（3）；
（4）当∠EOD：∠COE=1：2时，则∠EOD=30°，
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，
而AF平分∠BAD，
∴∠FAD=∠BAD，
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，
∴2×30°+2∠OGA=α+90°，
∴∠OGA=α+15°；
当∠EOD：∠COE=2：1时，则∠EOD=60°，
同理得到∠OGA=α﹣15°，
即∠OGA的度数为α+15°或α﹣15°．
考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质．
4．探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

(1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；
②如图3，平分，平分，若，，则______°；
③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)①40，②90，③70°

【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证明；
（2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值；②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案．③由②方法，进而可得答案．
【详解】（1），理由如下：
连接并延长至点F，

由外角定理可得，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①由（1）的结论易得：，
∵，，
∴，
故答案是：40；
②由（1）的结论易得，，
∵，，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴；
③由②知，，
∵，
∴设为，
∵，
∴，
∴，
∴为70°．
故答案是：70°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
5．已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．

(1)如图，连接CE．
①若CEAB，求∠BEC的度数；
②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
(2)若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．
【答案】(1)① 42°；② 30°；
(2)∠BEC的度数为48°或132°或12°．

【分析】（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC=84°，由角平分线的定义得到∠ABE=∠ABC=42°，根据平行线的性质即可得到结论；
②根据邻补角的定义得到∠ACD=180°-∠ACB=144°，根据角平分线的定义得到∠CBE=∠ABC=42°，∠ECD=∠ACD=72°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）①如图1，当CE⊥BC时，②如图2，当CE⊥AB于F时，③如图3，当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．
（1）
）①∵∠A=60°，∠ACB=36°，
∴∠ABC=84°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC=42°，
∵CEAB，
∴∠BEC=∠ABE=42°；
②∵∠A=60°，∠ACB=36°，
∴∠ABC=84°，∠ACD=180°-∠ACB=144°，
∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBE=∠ABC=42°，∠ECD=∠ACD=72°，
∴∠BEC=∠ECD-∠CBE=30°；
（2）
①如图1，当CE⊥BC时，
∵∠CBE=42°，
∴∠BEC=48°；
②如图2，当CE⊥AB于F时，
∵∠ABE=42°，
∴∠BEC=90°+42°=132°，
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE=42°，∠ACB=36°，
∴∠BEC=180°-42°-36°-90°=12°．

综上可得：∠BEC的度数为48°或132°或12°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形辅助解决问题是解题的关键．
6．图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．

【课本问题】（1）如图1，中，点D在边上，直线交于点G，E在边上，F在边上，与互补，与平行吗？为什么？
【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，是的角平分线，延长与，交于点H，直线与的延长线交于点K，相等吗？为什么？
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADG=∠BAD，结合与互补可得∠BAD+∠AEF=180°，然后根据平行线的判定即可得出；
（2）根据角平分线定义可得∠BAD=∠CAD，根据可得∠DAC=∠H，∠BAD=∠ADG，进而得出∠H=∠ADG，再根据得出∠K=∠ADG，从而得出∠K=∠H．
【详解】解：（1）．
理由：∵，
∴∠ADG=∠BAD，
∵与互补，
∴∠ADG+∠AEF=180°，
∴∠BAD+∠AEF=180°，
∴；
（2）∠K=∠H．
理由：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵，
∴∠DAC=∠H，∠BAD=∠ADG，
∴∠H=∠ADG，
∵，
∴∠K=∠ADG，
∴∠K=∠H．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
7．如图，分别过Rt△ABC(∠A=90°)的顶点B、C作射线BD、CD，两射线交于点D．BF、CG分别是∠ABD、∠ACD的邻补角的角平分线，BF与CG的反向延长线交于点F．

(1)如图1，若∠D=90°，求证：∠ABD=∠ACD：
(2)如图2，请说出∠D与∠F的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠D+2∠F=270°，理由见解析

【分析】（1）如图所示，设AC与BD交于点O，根据∠A=∠D=90°，∠AOB=∠COD，∠A+∠ABD+∠AOB=∠D+∠ACD+∠DOC=180°，即可证明结论；
（2）如图所示，延长DC到N，设AC与BD交于点O，∠FBD=x，∠ACF=y，分别求出∠D=90°-2x+2y，∠F=90°+x-y，即可得到答案．
（1）
解：如图所示，设AC与BD交于点O，
∵∠A=∠D=90°，∠AOB=∠COD，∠A+∠ABD+∠AOB=∠D+∠ACD+∠DOC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；

（2）
解：∠D+2∠F=270°，理由如下：
如图所示，延长DC到N，设AC与BD交于点O，∠FBD=x，∠ACF=y，
∵BF平分∠DBE，CG平分∠DCH，
∴∠DBE=2∠FBD=2x，∠DCH=2∠GCH=2∠ACF=2y，
∴∠ACN=∠DCH=2y，
∴∠ABD=180°-∠DBE=180°-2x，∠ACD=180°-∠CAN=180°-2y，
∵∠A+∠ABD+∠AOB=∠D+∠ACD+∠DOC=180°，∠AOB=∠DOC，
∴∠A+∠ABD=∠D+∠ACD，
∴90°+180°-2x=∠D+180°-2y，
∴∠D=90°-2x+2y，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠F+∠FBC+∠FCB=180°，
∴∠A+∠ABF+∠F+∠ACF=360°，
又∵∠ABF=∠ABD+∠DBF=180°-x．
∴∠F=360°-∠ABF-∠A-∠ACF=90°+x-y，
∴2∠F=180°+2x-2y，
∴∠D+2∠F=270°．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
8．操作：如图1，将沿射线BF平移到，使原B点与C点重合，这时，所以，，请回答：

(1)的值为___________°；
(2)若，，则_____°；若，，则____°；我们把、、称为的内角；把称为的外角，为的外角，每个三角形都有六个外角．
(3)运用（1）（2）结论，解决问题：如图2，已知中，，BP、CP分别平分、，CQ平分外角交BP与点Q，求，．
【答案】(1)180°
(2)96°、
(3)118°、28°

【分析】（1）根据平角的定义，可得，求解即可；
（2）将已知条件代入求解即可；
（3）根据三角形的内角和可知，根据角平分线的性质以及三角形的内角和即可求出；根据角平分线的性质以及外角的性质即可求出.
（1）




（2）





（3）
∵，，
∴，
∵、分别平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，∴，
∵平分，
∴，
∵是外角，
∴，
即,
.
【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的性质，涉及平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形的内角和和外角的性质是解题的关键.
9．如图1，在中，平分，平分．

(1)若，则的度数为_________；
(2)若，直线经过点．
①如图2，若MNAB，求的度数（用含的代数式表示）；
②如图3，若绕点旋转，分别交线段于点，试问旋转过程中的度数是否会发生改变？若不变，求出的度数（用含的代数式表示），若改变，请说明理由；
③如图4，继续旋转直线，与线段交于点，与的延长线交于点，请直接写出与的关系（用含的代数式表示）．
【答案】(1)120°
(2)①90°- ②不变，90°- ③与的关系是+=．

【分析】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，分步计算即可．
（2）①利用平角的定义，变形代入计算，注意与第（1）的结合．
②与 ①结合起来求解即可．
③根据平角的定义，变形后结合前面的计算，求解即可．
（1）
∵ 平分，平分，
∴∠CBD=，∠BCD=，
∴∠CBD+∠BCD=+=，
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴180°-∠BDC=，
∴∠BDC=，
∵∠A=60°，
∴∠BDC==120°，
故答案为：120°．
（2）
①∵∠NDC=180°-∠MDC，

∴=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（）
=．
②保持不变，恒等于90°-．理由如下：
∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（）
=．
故保持不变，且为．
③与的关系是+=．理由如下：

∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，
∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，
∵∠BDC=，
∴∠NDC+∠MDB=180°-（）=．
【点睛】本题考查了角的平分线的定义，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握三角形内角和定理，平角的定义是解题的关键．
10．在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．

(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE＝______°；
②若∠A＝70°，则∠BGE＝______；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①50°；②55°；③∠BGE=90°-∠A，理由见解析；
(2)不同，当点E在线段CD上，∠BGE=∠A；当点E在DC的延长线上，∠BGE=90°+∠A，理由见解析．

【分析】（1）①先求出∠FBC=20°，再求出∠EFB=∠CBF=20°，∠C=∠CEF=60°，进而求出∠FEG=30°，即可求出∠BGE=50°；
②如图，根据角平分线的定义得到∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，结合平行线的性质进一步得到∠2=∠C，∠3=∠ABC，即可得到∠BGE=∠2+∠3= ∠C+∠ABC =（∠180°-∠A）=55°；
③如图，根据角平分线的定义得到∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，结合平行线的性质进一步得到∠2=∠C，∠3=∠ABC，即可得到∠BGE=∠2+∠3= ∠C+∠ABC =（∠180°-∠A）=90°-∠A；
（2）当点E在线段CD上，画出图形，类比（1）即可求出∠BGE=∠A；当点E在DC的延长线上，画出图形，∠BGE=90°+∠A．
【详解】（1）解：（1）①∵BG平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABC=20°，
∵EF//BC，
∴∠EFB=∠CBF=20°，∠C=∠CEF=60°，
∵EG平分∠FEC，
∴∠FEG=∠FEC=30°，
∴∠BGE=∠EFG+∠FEG=50°．
故答案为：50；                               
②如图，∵BD、EG分别平分∠ABC和∠CEF，
∴∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，
∵EF//BC
∴∠C＝∠CEF，∠3=∠1，
∴∠2=∠C，∠3=∠ABC，
∴∠BGE=∠2+∠3
= ∠C+∠ABC
=（∠C+∠ABC）
=（∠180°-∠A）
=（∠180°-70°）
=55°．

故答案为：55° ；
③∠BGE=90°-∠A
理由：∵BD、EG分别平分∠ABC和∠CEF，
∴∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，
∵EF//BC
∴∠C＝∠CEF，∠3=∠1，
∴∠2=∠C，∠3=∠ABC，
∴∠BGE=∠2+∠3
= ∠C+∠ABC
=（∠C+∠ABC）
=（∠180°-∠A）
=90°-∠A ；

（2）解：①当点E在线段CD上，如图，若GE交BC于点H，
由（1）知：∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，
∵EF//BC
∴∠CEF=180°-∠C
∴∠2=∠3=（180°-∠C）
∵∠1+∠A+∠BDA＝180°
∠3+∠BGE+∠EDG＝180°
且∠BDA＝∠EDG
∴∠3+∠BGE=∠1+∠A
∠BGE=∠1+∠A-∠3
即∠BGE= ∠ABC+∠A-（∠180°-∠C）
=∠ABC+∠A- 90°+∠C
=（∠ABC+∠C）+∠A- 90°
=（180°-∠A）+∠A- 90°
=90°-∠A+∠A- 90°
=∠A；

②当点E在DC的延长线上，如图，若GE交BC于点H，
∵EF//BC
∴∠3=∠2=∠CEF=∠ACB
∵∠1+∠3+∠BGE＝180°
∴∠BGE=180°-(∠1+∠3)
=180°- （∠ABC+∠ACB）
=180°- （180°-∠A）
=180°-90°+∠A
=90°+∠A．

【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，解第（2）步时要注意分类讨论．
11．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动．

（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s时，点A、点B的运动路程之和为12个单位长度，则x=____，y=____；
（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．
①试说明∠PBQ=∠ACQ；
②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAO的度数．
【答案】（1）3，1；（2）的度数不发生变化，；（3）①说明见解析；②．
【分析】（1）根据“路程速度时间”建立一个关于x、y的二元一次方程组，求解即可得；
（2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得；
（3）①先根据三角形的外角性质可得，再根据角平行线的定义即可得；
②先根据角平分线的定义、平角的定义得出，再根据三角形的外角性质得出，从而得出，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据角的和差、角平分线的定义即可得．
【详解】（1）由题意得：
化简得
解得
故答案为：3，1；
（2）的度数不发生变化，其值求解如下：
由三角形的内角和定理得
点C为三条内角平分线交点，即AC平分，BC平分


由三角形的内角和定理得；
（3）①由三角形的外角性质得：
点C为三条内角平分线交点，即AC平分，OC平分


又是的角平分线

；
②是的角平分线，BC平分


由三角形的外角性质得：
则在中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是




．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义、三角形的内角和定理是解题的关键．
12．现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°），如图(1)所示，其中一块三角板的直角边AC垂直于数轴，AC的中点过数轴原点O，AC＝8，斜边AB交数轴于点G，点G对应数轴上的数是4；另一块三角板的直角边AE交数轴于点F，斜边AD交数轴于点H．
（1）如果△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，则点F对应的数轴上的数是 ，点H对应的数轴上的数是 ；
（2）如图(2)，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，若∠HAO＝a，试用a来表示∠M的大小：（写出推理过程）
（3）如图(2)，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，设∠EFH的平分线和
∠FOC的平分线交于点N，求∠N＋∠M的值．

【答案】（1）-5，-1（2）ɑ+22.5°（3）∠M+∠N=97.5°．
【详解】（1）-5，-1
（2） ∵∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，
∴∠FHM=∠FHA，∠HGM=∠HGA，
∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，
∴∠M=∠HAG=（∠HAO+∠OAG）=ɑ+22.5°
（3） ∵∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，
∴∠N=90°-∠FAO=90°-∠FAH-∠OAH  （可以直接利用∠N=90°-∠FAO）
=90°-15°-∠OAH
=75°-∠OAH，
∵∠M=∠OAH+22.5°，
∴∠M+∠N=97.5°．
13．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动,A、B不与点O重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小.
（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝________,
如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO＝________
（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其反向延长线交于E、F，则∠EAF＝ ；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数.

【答案】（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．
【分析】（1）由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM＝270°，根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠PAB，∠ABC＝∠ABM，于是得到结论；
（2）由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB＝∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC＝∠CAB，即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC＝∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC＝∠MBC，于是得到结论；
（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可得出∠E与∠ABO的关系，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分情况进行分类讨论即可．
【详解】解：（1）∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB+∠ABM＝270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC＝∠PAB，∠ABC＝∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，
∴∠ACB＝45°；
（2）∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB＝∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC＝∠CAB，
∴∠PAC＝∠CAB＝∠BAO＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC＝∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC＝∠MBC，
∴∠MBC＝∠ABC＝∠ABN，
∴∠ABO＝60°，
故答案为：30°，60°；
（3）∵AE、AF分别是∠BAO与∠GAO的平分线，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠GAO，
∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF＝∠EAO+∠FAO＝（∠BAO+∠GAO）＝90°．
在△AEF中，∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E,
∴∠EAO= ∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF＝∠F，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
②∠F＝∠E，∠E＝36°，∠ABO＝72°；
③∠EAF＝∠E，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；
④∠E＝∠F，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）；
∴∠ABO为60°或72°．
【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.另外需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想．
14．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．
（1）直接写出△BCD的面积．
（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，则∠CEF与∠CFE有何数量关系？请说明理由．
（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，直接写出变化范围．

【答案】（1）3；（2）∠CEF=∠CFE；（3）
【详解】试题分析：(1)、根据三角形的面积计算公式求出三角形的面积；(2)、根据垂直得出∠BCO=∠BAC，根据角平分线得出∠ABF=∠CBF，则∠ABF+∠BAC=∠CBF+∠BCO，根据△ABF和△BCE的内角和定理得出∠AFB=∠CEB，从而得出答案；(3)、根据题意求出的大小.
试题解析：(1)、S△BCD=3
(2)、∠CEF=∠CFE
理由：∵AC⊥BC，MN⊥AB   ∴∠BAC+∠ABC=90°，∠BCO+∠ABC=90°， ∴∠BCO+∠ABC=∠BAC+∠ABC，
∴∠BCO =∠BAC， ∵BF平分∠CBA  ∴∠ABF=∠CBF  ∴∠ABF+∠BAC =∠CBF+∠BCO
在△ABF与△BCE中 ∠ABF+∠BAC +∠AFB =∠CBF+∠BCA+∠CEB=1800
∴∠AFB=∠CEB   ∴∠CEF=∠CFE
(3)、
考点：角度计算.