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2022-2023学年广东省深圳市中考数学专项提升仿真模拟试题（二模三模）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市中考数学专项提升仿真模拟试题（二模三模）含解析，共56页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. 0.010010001 B. C. 3.14 D.
2. 下面中，适合采用普查的是（ ）
A. 全国中学生心理健康现状 B. 你所在的班级同学的身高情况
C. 50枚的伤半径 D. 扬州电视台《今日生活》收视率
3. 下列各式计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
4. 下列函数中，自变量的取值范围是x＞3的是（ ）
A. y=x﹣3 B. C. D.
5. 如图，下列选项中没有是正六棱柱的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
8. 一种包装盒设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C．D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积，则x应取（ ）
A. 30cm B. 25cm C. 20cm D. 15cm
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 南海资源丰富，其面积约为3 500 000，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的3倍．该面积可用科学记数法表示为____________．
10. 正方形面积为18，则该正方形的边长为_____．
11. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________．
12. 若双曲线与直线无交点，则k的取值范围是_____．
13. 口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是_____．
14. 一个矩形周长为16，面积为14，则该矩形的对角线长为_____．
15. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．
16. 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是_______．（只添加一个条件）
17. 如图，正五边形形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为__．（结果保留）
18. 如图，△ABC三个顶点分别在反比例函数，的图像上，若∠C＝90°，AC∥y 轴，BC∥x 轴，S△ABC＝8，则k的值为_____．
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：； （2）解方程：．
20. 先化简再求值：
，其中x是没有等式组的一个整数解．
21. 中考体育测试前，某区为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅没有完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）写出扇形图中______，并补全条形图；
（2）样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______；
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
22. 现有4张奖券，其中有2张是有奖，甲、乙先后各抽一张．
（1）甲中奖的概率是__________；
（2）试用画树状图法或列表法求甲、乙都中奖的概率．
23. 如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形．
24. 扬州市某土特产商店购进960盒绿叶牌牛皮糖，由于进入旅游旺季，实际每天的盒数比原计划每天多20%，结果提前2天卖完．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
25. 同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（min）的关系如图所示．
（1）求点P的坐标，并说明其实际意义；
（2）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
26. 如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O直径．
27. 如图1，反比例函数（x＞0）的图象点A（，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的值．
28. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20．动点P在线段CB上，以1cm/s的速度从点C向B运动，连接AP，作CE⊥AB分别交AP、AB于点F、E，过点P作PD⊥AP交AB于点D．
（1）线段CE= ；
（2）若t=5时，求证：△BPD≌△ACF；
（3）t为何值时，△PDB是等腰三角形；
（4）求D点的路径长．
2022-2023学年广东省深圳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. 0.010010001 B. C. 3.14 D.
【正确答案】B
【详解】解：A．0.010010001是有理数，故错误；
B． 是无理数，故正确；
C．3.14是有理数，故错误；
D．是有理数，故错误．
故选B．
2. 下面中，适合采用普查的是（ ）
A. 全国中学生心理健康现状 B. 你所在的班级同学的身高情况
C. 50枚的伤半径 D. 扬州电视台《今日生活》收视率
【正确答案】B
【详解】解：A．人数众多，应用抽样，故此选项错误；
B．人数没有多，应用全面，故此选项正确；
C．破坏性较强，使用抽样，故此选项错误；
D．范围太大，应用抽样，故此选项错误．
故选B．
3. 下列各式计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据幂的运算性质可知，A．没有能合并，故错误；B．，故错误；C．，故错误；D．，故正确．
故选D．
考点：幂的运算性质．
4. 下列函数中，自变量的取值范围是x＞3的是（ ）
A. y=x﹣3 B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、x为全体实数，故本选项错误；
B、x-3≠0，解得x≠3，故本选项错误；
C、x-3≥0，解得x≥3，故本选项错误；
D、x-3＞0，解得x＞3，故本选项正确．
故选D.
考点：函数自变量取值范围．
5. 如图，下列选项中没有是正六棱柱的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．
故选A．
本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
6. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'．
【详解】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选B．
本题主要考查了尺规作图—作已知角相等的角，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
7. 如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【正确答案】C
【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．
【详解】解：连接OA，OB．
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°．
∵OA=OB=2，
∴AB==2．
故选：C．
8. 一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C．D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积，则x应取（ ）
A. 30cm B. 25cm C. 20cm D. 15cm
【正确答案】C
【详解】试题解析：解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（40﹣x），0＜x＜40．S=4ah=8x（40﹣x）=﹣8（x﹣20）2+3200，∴当x=20cm时，S取值．故选C．
点睛：考查函二次函数的最值、等腰直角三角形及正方形的性质，同时还考查了考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 南海资源丰富，其面积约为3 500 000，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的3倍．该面积可用科学记数法表示为____________．
【正确答案】
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值≥1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
详解：3500000用科学记数法表示3.5×106．
故答案为3.5×106．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 正方形的面积为18，则该正方形的边长为_____．
【正确答案】
【详解】解：．故答案为3．
11. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________．
【正确答案】a（b﹣2）2．
【详解】ab2﹣4ab+4a
=a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）
=a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为a（b﹣2）2．
12. 若双曲线与直线无交点，则k的取值范围是_____．
【正确答案】
【详解】解：∵双曲线y=与直线无交点，∴2﹣k与异号，∴2﹣k＜0，∴k＞2．故答案为k＞2．
13. 口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是_____．
【正确答案】0.3.
【详解】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-0.2-0.5=0.3．
考点：概率公式．
14. 一个矩形的周长为16，面积为14，则该矩形的对角线长为_____．
【正确答案】6
【详解】解：设矩形长为a，宽为b，∴ab=14，2（a+b）=16，∴a+b=8，∴它的对角线的长为=．故答案为6．
15. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．
【正确答案】．
详解】解：如图，连接AC，由题意可得：
AB2=12+32=10，BC2=22+12=5，AC2=12+22=5，
∴BC2+AC2=AB2，AB=，AC=，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC=
故．
16. 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是_______．（只添加一个条件）
【正确答案】BF=DE（答案没有）．
【详解】添加的条件为BF=DE，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO、BO=DO，
∵BF=DE，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
故答案为BF=DE．
17. 如图，正五边形形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为__．（结果保留）
【正确答案】
【分析】连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，求出∠BCF，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接CF，DF，
则△CFD是等边三角形，
∴∠FCD=60°，
∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，
∴∠BCF=48°，
∴的长=．
故答案为．
本题考查了弧长公式，正五边形性质，等边三角形性质，熟知相关公式、定理是解题关键．．
18. 如图，△ABC三个顶点分别在反比例函数，的图像上，若∠C＝90°，AC∥y 轴，BC∥x 轴，S△ABC＝8，则k的值为_____．
【正确答案】5
【详解】解：设点C坐标为（m，），则点A的坐标为（m，），点B的坐标为（km，），∴AC=﹣=，BC=km﹣m=（k﹣1）m．∵S△ABC=AC•BC=（k﹣1）2=8，∴k=5或k=﹣3．
∵反比例函数y=在象限有图象，∴k=5．故答案为5．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点C的坐标，表示出点A、B的坐标是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：； （2）解方程：．
【正确答案】（1）；（2），
【详解】试题分析：（1）先化二次根式为最简二次根式、负整数指数幂以及角的函数值；然后根据实数运算法则进行计算；
（2）把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上项系数﹣4的一半的平方．
试题解析：解：（1）原式==；
（2）移项，得：x2﹣4x=1
配方，得：x2﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）2=5，
开方，得：x﹣2=±，解得：．
20. 先化简再求值：
，其中x是没有等式组的一个整数解．
【正确答案】，当x=0时，原式=2
【详解】试题分析：先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分后得到原式=﹣x2﹣x+2，然后解没有等式组得到整数解，再把满足条件的一个整数代﹣x2﹣x+2进行计算即可．
试题解析：解：原式=•
=•
=﹣（x+2）（x﹣1）
=﹣x2﹣x+2
解没有等式组，由①得：x≤2，由②得：x＞﹣1，所以没有等式组的解集为﹣1＜x≤2，其整数解为0，1，2．
由于x没有能取1和2，所以当x=0时，原式=﹣0﹣0+2=2．
点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了解一元没有等式组．
21. 中考体育测试前，某区为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅没有完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）写出扇形图中______，并补全条形图；
（2）样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______；
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
【正确答案】（1）25%，图形见解析；（2）5.3，5，5；（3）540名.
【分析】（1）用1减去其他人数所占的百分比即可得到a的值，再计算出样本总数，用样本总数×a的值即可得出“引体向上达6个”的人数；
（2）根据平均数、众数与中位数的定义求解即可；
（3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1200即可．
【详解】解：（1）由题意可得，
，
样本总数：，
做6个的学生数是，
故答案是：25％，
条形统计图补充如下：
（2）由补全的条形图可知，
样本数据的平均数，
∵引体向上5个的学生有60人，人数至多，
∴众数是5，
∵共200名同学,排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，
∴中位数为，
故答案是：5.3，5，5；
（3）该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有：
（名），
即该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有540名．
本题主要考查了众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，平均数，掌握众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，平均数是解题的关键.
22. 现有4张奖券，其中有2张是有奖的，甲、乙先后各抽一张．
（1）甲中奖的概率是__________；
（2）试用画树状图法或列表法求甲、乙都中奖的概率．
【正确答案】（1）；（2）．
【详解】（1）∵4张奖券中有2张是有奖的，∴甲中奖的概率是：；
故答案为；
（2）设四张奖券分别为奖1、奖2、空1、空2，
画树状图得：
∵共有12种等可能结果，其中甲、乙都中奖的有2种情况．
∴P（甲、乙都中奖）=．
23. 如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）欲证明四边形EFGH是菱形，只需推知四边形EFGH是平行四边形，然后证得该平行四边形的邻边相等即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△AEH与△CGF中，
∵，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．
∵AE=CG，AH=CF，
∴EB=DG，HD=BF，
∴△BEF≌△DGH，
∴EF=HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH=GF，
∴四边形HEFG为平行四边形，
∴EH∥FG，
∴∠HEG=∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
∴四边形EFGH是菱形．
本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意：本题菱形HEFG的判定是在平行四边形HEFG的基础上推知的．
24. 扬州市某土特产商店购进960盒绿叶牌牛皮糖，由于进入旅游旺季，实际每天的盒数比原计划每天多20%，结果提前2天卖完．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
【正确答案】问题：求原计划每天多少盒？原计划每天80盒．
【分析】首先根据题意提出一个问题，然后根据题干条件列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：本题答案没有，下列解法供参考．
问题：求原计划每天多少盒？（其它问题和解法参照本例）
解：设原计划每天x盒，由题意得：
，
解得： x=80，
经检验x=80是原分式方程的解．
答：原计划每天80盒．
25. 同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（min）的关系如图所示．
（1）求点P的坐标，并说明其实际意义；
（2）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
【正确答案】（1）点燃20分钟时甲乙两根蜡烛剩下的长度都是24 cm；（2）点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
【详解】试题分析：（1）根据函数图象中的数据可以求得乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点P的坐标，以及写出点P表示的实际意义；
（3）根据题意可以得到甲蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式，从而可以求得点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
试题解析：解：（1）设乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式为y=kx+b，，解得：，即乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式为y=﹣0.8x+40；
（2）将x=20代入y=﹣0.8x+40，得：y=24，即点P的坐标为（20，24），实际意义是：点燃20分钟，甲乙两根蜡烛剩下的长度都是24 cm；
（3）设甲蜡烛剩下的长度y甲与x之间的函数表达式为y甲=mx+n，得：，解得：，∴y甲与x之间的函数表达式为y甲=﹣1.2x+48．∵甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍，∴﹣1.2x+48=1.1（﹣0.8x+40），解得：x=12.5．
答：点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
点睛：本题考查了函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用函数的性质解答问题．
26. 如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．
【详解】解：（1）∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF=AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC==，
设DF=4x，DC=5x，
∴CF==3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴，即，解得AE=，
即⊙O的直径为．
27. 如图1，反比例函数（x＞0）的图象点A（，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的值．
【正确答案】（1）；（2），；（3）
【详解】试题分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2），则AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=x﹣1；
（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t， t﹣1），则MN=﹣t+1，根据三角形面积公式得到S△CMN=•t•（﹣t+1），再进行配方得到S=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），根据二次函数的最值问题求解．
试题解析：（1）把A（2，1）代入y=，得k=2×1=2；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y=，得a=2，
∴B点坐标为（1，2），
∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，
∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°=；
∵AD⊥y轴，∴OD=1，AD=2，∵tan∠DAC==，
∴CD=2，∴OC=1，
∴C点坐标为（0，﹣1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（2，1）、C（0，﹣1）代入得 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=x﹣1；
（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），
∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为（t， t﹣1），
∴MN=﹣（t﹣1）=﹣t+1，
∴S△CMN=•t•（﹣t+1）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），
∵a=﹣＜0，∴当t=时，S有值，值为．
28. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20．动点P在线段CB上，以1cm/s的速度从点C向B运动，连接AP，作CE⊥AB分别交AP、AB于点F、E，过点P作PD⊥AP交AB于点D．
（1）线段CE= ；
（2）若t=5时，求证：△BPD≌△ACF；
（3）t为何值时，△PDB是等腰三角形；
（4）求D点的路径长．
【正确答案】（1）12；（2）答案见解析；（3）；（4）12.5
【详解】试题分析：（1）由勾股定理求出AB的长，再由面积法即可得到结论；
（2）用ASA证明即可；
（3）作DG⊥BC，垂足为G，由（2）得∠CAP=∠GPD，可得△ACP∽△PGD．分三种情况讨论：①DP=DB，②PD=PB，③PB=DB；
（4）当AP平分∠CAB时，D′B最长，点CB上运动时，D在D′B之间往返运动．故点D运动路径的长=2BD′，求出BD′的长即可．
试题解析：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=15，BC=20，∴AB==25．∵AB•CE=AC•BC，，∴25CE=15×20，解得：CE=12．
（2）∵ t=5，∴BF=15，∴AC=BF
∵∠APC+∠BPD=∠APC+∠CAP=90° ，∴∠BPD=∠CAP．
∵∠ACE+∠BCE=∠BCE+∠B=90° ，∴∠ACE=∠B，∴△BPD≌△ACF．
（3）作DG⊥BC，垂足为G，由（2）得：∠CAP=∠GPD．∵∠ACP=∠PGD=90°，∴△ACP∽△PGD．分三种情况讨论：
①若DP=DB，则∠GPD=∠B ∴tan∠GPD=tan∠B=，∴ ，∴；
②若PD=PB，则∠PDB=∠B．∵△ACP∽△PGD，∴∠APC=∠PDG．∵∠PDC＞∠B，∴∠PDG＞∠B=∠PDB，则点G在PB的延长线上，矛盾，故PD=PB没有成立；
③若PB=DB，则BD=20－t．∵DG∥AC，∴DG：DB=AC：AB，GB：DB=CB：AB，∴DG：(20-t)=15：25，GB：(20-t)=20：25，解得：DG=，GB=，∴PG=PB－GB=(20-t)- =．∵△ACP∽△PGD，∴AC：CP=PG：DG，∴15：t=：，解得：t=45＞20，故PB=DB没有成立．
综上所述：t=．
（4）方法一：当AP平分∠CAB时，D′B最长，点CB上运动时，D在D′B之间往返运动．故点D运动路径的长=2BD′．
∵AP平分∠CAB，∴AC：CP=AB：PB，∴15：CP=25：(20-CP)，解得：CP=7.5．∵DG∥AC，∴，设DG=3x，则BG=4x，BD=5x．∵△D′PG∽△PAG，∴D′G：PG=CP：AC=1：2，∴PG=6x，∴6x+4x=PB=20－7.5，解得：x=1.25．∴2 BD′=2×1.25×5=12.5．
方法二：P点是在CB上运动的，而∠APD是直角，∴P可以看作是斜边AB上以AD为直径的圆O与线段CB的交点，当CB与⊙O相切的时候，此时的D是运动到最远的时候．设半径为OA=OP=r，则OB=25－r．∵OP∥AC，∴OP：AC=OB：AB，∴，r=，∴BD=25－=，∴运动路程为2BD==12.5．
点睛：本题是相似形综合题．考查了三角形相似的判定与性质，解答（3）的关键是分三中情况讨论，解答（4）的关键是找出BD取值的条件．
2022-2023学年广东省深圳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一、选一选（每小题3分，共24分）
1. 在数-6，-2，-3，-1.2中，的负整数的是（ ）
A. 0 B. -2 C. -3 D. -1.2
2. 没有等式组的解集在数轴上表示为
A B. C. D.
3. 将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是 （ ）
A. a（a﹣1） B. a（a﹣2） C. （a﹣2）（a﹣1） D. （a﹣2）（a+1）
4. 如图，直线AB∥CD，一个含60°角直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 50°
5. 如图，在⊙O中，已知∠OAB=25°，则∠C的度数为（ ）
A. 50° B. 100° C. 115° D. 125°
6. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
7. 某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A. 94分，96分 B. 96分，96分
C. 94分，96.4分 D. 96分，96.4分
8. 如图，以Rt△ABC斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的为O，连接AO，如果AB=3，AO=，那么AC的长等于（ ）
A. 7 B. 8 C. D.
二、填 空 题（每小题3分，共21分）
9. 2015年阿里巴巴全天交易额突破912.17亿元，请用科学记数学表示912.17亿元＝_____元．
10. 某商品连续两次降价，单价由原来125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____．
11. 如图，是抛物线y=-x2+bx+3的部分图象，由图象可知，若y＜0，x的取值范围是______________．
12. 从-1、−3、1这三个数中任取两个没有同的数分别作为点A的横、纵坐标，则点A在第二象限的概率是____________．
13. 如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线（x＞0）斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若=3，则的值为_______．
14. 如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=4cm，C为弧AB的中点，D是OA的中点，则图中阴影部分的面积为________cm2．
15. 如图，在矩形ABCO中，AO=3， OC=4，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动（没有包含A、C两个端点）．当t=___________时，△ODE为直角三角形．
三、解 答 题（75分）
16. （1）计算：－2sin60°
（2）先化简，再求值：÷，其中
17. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF、DF
（1）求证：BF是⊙A的切线．（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
18. 2016年的母亲节，某校学生实际，计划开展了形式多样的感恩教育．下面图1，图2分别是该校部分学生是否知道母亲生日情况的扇形统计图和频数分布直方图．
根据上图信息，解答下列问题：
（1）本次被的学生总人数有多少？
（2）补全频数分布直方图2；
（3）若这所学校共有学生3000人，已知被的学生中，知道母亲生日的女生人数是男生人数的2倍，请你通过计算估计该校知道母亲生日的女生有多少人？
19. 已知关于x的一元二次方程（x－2）(x－3)＝m2，m为实数．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个没有相等的实数根．
（2）m为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，没有需说明理由）
20. 如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈， cos27°≈， tan27°≈， sin53°≈， cos53°≈， tan53°≈）
21. 在某书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款没有高于2224元，两种图书的进价、售价如下表所示：
甲种图书
乙种图书
进价（元/本）
16
28
售价（元/本）
26
40
请解答下列问题：
(1)在这批图书全部售出的条件下，书店如何进货利润？利润是多少？
(2)书店计划用(1)中的利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，至多可以购买排球和篮球共多少个？
22. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO，交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E．
（1）如图1，当O为边AC中点，时，求值.小明这样想的，过O点作OH∥AB交BC于点H，可证△AOF∽△HOE，于是求出答案，请你直接写出答案 ；
（2）如图2，当O为边AC中点，时，请求出的值,并说明理由；
（3）如图3，当,时，请直接写出的值．
23. 如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．
（1）求B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）若点P为线段FG上一个动点（与F、G没有重合），当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请求出此时点P的坐标；
（3）若点P为直线FG上一个动点，Q为抛物线上任一点，抛物线的顶点为N，探究以P、Q、M、N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若没有能，请说明理由．
2022-2023学年广东省深圳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一、选一选（每小题3分，共24分）
1. 在数-6，-2，-3，-1.2中，的负整数的是（ ）
A. 0 B. -2 C. -3 D. -1.2
【正确答案】B
【详解】分析：先把各数按大小顺序排列，可得答案．
详解：∵-6<-3<-2<-1.2
∴的负整数是-2.
故选B．
点睛：本题考查了有理数大小，小于零的整数是负整数．
2. 没有等式组的解集在数轴上表示为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】解一元没有等式组，先求出没有等式组中每一个没有等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小解没有了（无解）．
【详解】．
没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．因此，在数轴上表示为A．故选A．
3. 将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是 （ ）
A. a（a﹣1） B. a（a﹣2） C. （a﹣2）（a﹣1） D. （a﹣2）（a+1）
【正确答案】B
【详解】试题分析：原式利用平方差公式分解即可．
解：原式=（a﹣1+1）（a﹣1﹣1）
=a（a﹣2）．
故选B．
点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
4. 如图，直线AB∥CD，一个含60°角直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 50°
【正确答案】B
【分析】先根据平行线的性质求出∠CKG的度数，再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵直线AB∥CD，∠AHG=50°，
∴∠CKG=∠XKG=50°．
∵∠E=60°，∠EFG=90°，
∴∠G=30°，
∵∠CKG是△KMG的外角，
∴∠KMG=∠CKG-∠G=50°-30°=20°．
∵∠KMG与∠FMD是对顶角，
∴∠FMD=∠KMG=20°．
故选B．
本题考查了平行线的性质\对顶角的性质，三角形外角的性质等知识，熟记性质并理清图中各角之间的关系是解题的关键．
5. 如图，在⊙O中，已知∠OAB=25°，则∠C的度数为（ ）
A. 50° B. 100° C. 115° D. 125°
【正确答案】C
【详解】分析：作AB弧所对的圆周角∠APB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得∠AOB=135°，则根据圆周角定理得到∠P=∠AOB=67.5°，然后根据圆周角定理可计算出∠ACB的度数．
详解：作AB弧所对的圆周角∠APB，如图，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=25°，
∴∠AOB=180°-2×25°=130°，
∴∠P=∠AOB=65°，
∴∠ACB=180°-65°=115°．
故选C．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【详解】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示，
故选：C．
本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
7. 某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A. 94分，96分 B. 96分，96分
C. 94分，96.4分 D. 96分，96.4分
【正确答案】D
【详解】解：总人数为6÷10%=60（人），
则94分的有60×20%=12（人），
98分的有60-6-12-15-9=18（人），
第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷2=96；
这些职工成绩的平均数是（92×6+94×12+96×15+98×18+100×9）÷60
=（552+1128+1440+1764+900）÷60
=5784÷60
=96.4．
故选D．
本题考查1.中位数；2.扇形统计图；3.条形统计图；4.算术平均数，掌握概念正确计算关键．
8. 如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的为O，连接AO，如果AB=3，AO=，那么AC的长等于（ ）
A. 7 B. 8 C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：在AC上截取CG=AB=2，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=2，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．
详解：在AC上截取CG=AB=2，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，
∴B、A、O、C四点共圆，
∴∠ABO=∠ACO，
在△BAO和△CGO中
,
∴△BAO≌△CGO（SAS），
∴OA=OG=2，∠AOB=∠COG，CG=AB=3
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG==4，
即AC=4+3=7，
故选A．
点睛：本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共21分）
9. 2015年阿里巴巴全天交易额突破912.17亿元，请用科学记数学表示912.17亿元＝_____元．
【正确答案】．
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
详解：将912.17亿用科学记数法表示为9.1217×1010．
故答案为9.1217×1010．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 某商品连续两次降价，单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____．
【正确答案】20%
【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
【详解】设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
125(1−x)2=80
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(没有合题意，舍去)
故答案为20%．
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键．
11. 如图，是抛物线y=-x2+bx+3的部分图象，由图象可知，若y＜0，x的取值范围是______________．
【正确答案】 或
【详解】分析：根据抛物线的对称轴为x=-1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（-3，0），图象求出y<0时，x的范围．
详解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=-1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（-3，0），
所以y<0时，x的取值范围是 或．
故答案为 或．
点睛：考查了抛物线与x轴的交点．此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=-x2+bx+c的完整图象．
12. 从-1、−3、1这三个数中任取两个没有同的数分别作为点A的横、纵坐标，则点A在第二象限的概率是____________．
【正确答案】
【详解】分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能结果与该点在第二象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
详解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，该点在第二象限的有2种情况，
∴该点在第二象限的概率是：．
故答案为．
点睛：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线（x＞0）斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若=3，则的值为_______．
【正确答案】2
【详解】分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
详解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴．
∵双曲线的解析式是y=，即xy=k
∴S△BOD=S△COE=|k|，
∴S△AOB=4S△COE=2|k|，
由S△AOB-S△BOD=S△AOD=2S△DOC=6，得2k-k=6，
∴k=4，
∴S△BOD=S△COE=k=2，
故答案2．
点睛：本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形的思想．
14. 如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=4cm，C为弧AB的中点，D是OA的中点，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【正确答案】
【详解】分析：连接OC、EC，由△OCD≌△OCE、OC⊥DE可得DE=，分别求出S扇形OBC、S△OCD、S△ODE面积，根据S扇形OBC+S△OCD-S△ODE=S阴影部分可得．
详解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，
∵半径OA=4，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD=OE=2，OC=4，∠AOC=45°，
∴CF=2，
∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积-三角形OCD的面积
=
=2π-2，
三角形ODE的面积=OD×OE=2，
∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积-空白图形ACD的面积-三角形ODE的面积
=．
故答案为．
点睛：考查了扇形面积的计算，本题难点是得到空白图形ACD的面积，关键是理解图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积-空白图形ACD的面积-三角形ODE的面积．
15. 如图，在矩形ABCO中，AO=3， OC=4，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动（没有包含A、C两个端点）．当t=___________时，△ODE为直角三角形．
【正确答案】或1
【详解】分析：可分二种情况（①，∠ODE=90°，②∠DEO=90°）讨论，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题．
详解：过点D作DH⊥OC于点H，如图1，
由题可知：AD=3t，CE=t，
∵OC=4，∴OE=OC-EC=4-t，
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=90°，OA=3，OC=4，
∴AC==5．
∵∠DHC=∠AOC=90°，∠HCD=∠OCA，
∴△HCD∽△OCA，
∴，
∴，
∴DH=，CH=，
∴OH=OC-CH=4-=，
①若∠ODE=90°，如图1．
∵DH⊥OC，
∴∠DHO=∠DHE=90°，
∴∠ODH=90°-∠HDE=∠HED，
∴△DHO∽△EHD，
∴，
∴DH2=OH•EH，
∴（）2=•（-t），
整理得：19t2-34t+15=0，
解得：t1=1，t2=．
②若∠DEO=90°，如图2，
则∠DEC=∠AOC=90°，
∵∠ECD=∠OCA，
∴△DEC∽△AOC，
∴，
∴，
解得：t=．
综上所述：当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，t的值为1、、．
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
三、解 答 题（75分）
16. （1）计算：－2sin60°
（2）先化简，再求值：÷，其中
【正确答案】(1)1-;(2) ,1.
【详解】分析：（1）直接利用算术平方根的定义以及负指数幂的性质、零指数幂的性质、值的性质分别化简得出答案；
（2）首先利用分式的混合运算法则化简分式，进而代入已知数据求出答案．
详解：（1）原式=
（2）先化简，再求值：，其中．
原式=
=
=
又∵， ∴，
∴ ， （舍去）
故当时，原式=1．
点睛：此题主要考查了实数运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF、DF
（1）求证：BF是⊙A的切线．（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；证明见解析；
【详解】分析（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．
详解：（1）证明：∵EF∥AB
∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E
∵AE=AF
∴∠EFA =∠E
∴∠FAB=∠CAB
∵AC=AF，AB=AB
∴△ABC≌△ABF
∴∠AFB=∠ACB=90°， ∴BF是⊙A的切线.
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形.
理由：∵EF∥AB
∴∠E=∠CAB=60°
∵AE=AF
∴△AEF是等边三角形
∴AE=EF，
∵AE=AD
∴EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE=EF
∴平行四边形ADFE为菱形.
点睛：本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度没有大．
18. 2016年的母亲节，某校学生实际，计划开展了形式多样的感恩教育．下面图1，图2分别是该校部分学生是否知道母亲生日情况的扇形统计图和频数分布直方图．
根据上图信息，解答下列问题：
（1）本次被的学生总人数有多少？
（2）补全频数分布直方图2；
（3）若这所学校共有学生3000人，已知被的学生中，知道母亲生日的女生人数是男生人数的2倍，请你通过计算估计该校知道母亲生日的女生有多少人？
【正确答案】(1)100;(2)见解析;(3)120人.
【详解】分析：（1）用记没有清母亲生日的同学人数除以其圆周角所占的百分比即可求得人数；
（2）求出数据，即可补全条形统计图；
（3）用总人乘以其圆心角所占的百分比乘以男生活女生所占的百分比即可求得男生和女生的人数．
详解：（1）30÷=100，
（2）没有知道母亲生日的有100×=10人，
知道母亲生日的有100﹣10﹣30=60人，
故统计图为：
（3）女生知道生日人数是：3000××=120人．
点睛：本题考查了频数分布表和频数分布直方图的知识，解题的关键是仔细的读图并从中找到进一步解题的有关信息．
19. 已知关于x的一元二次方程（x－2）(x－3)＝m2，m为实数．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个没有相等的实数根．
（2）m为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，没有需说明理由）
【正确答案】(1)见解析;(2) 0，，.
【详解】分析：（1）要证明方程总有两个没有相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；
（2）要使方程有整数解，那么x=为整数即可，于是p可取0，，-时，方程有整数解．
详（1）证明：原方程可化为x2-5x+6-m2=0，
∵△=（-5）2-4×（6-m2）=4m2+1＞0，
∴没有论m为任何实数，方程总有两个没有相等的实数根；
（2）原方程可化为x2-5x+6-m2=0，
∵方程有整数解，
∴x=为整数即可，
∴p可取0，，-时，方程有整数解．
点睛：此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个没有相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
20. 如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈， cos27°≈， tan27°≈， sin53°≈， cos53°≈， tan53°≈）
【正确答案】27.5海里/时
【详解】分析：先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=（99-x）海里，在Rt△BCD中，根据tan53°=，求出CD，再根据x=（121-x），求出BD，在Rt△BCD中，根据cos53°=，求出BC，从而得出答案．
解：如图，根据题意可得，在△ABC中，AB=121海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，点C作CD⊥AB，垂足为点D．
设BD=x海里，则AD=（121﹣x）海里，
在Rt△BCD中，tan53°=，则tan27°=，
CD=x•tan53°≈（海里）．
在Rt△ACD中，则CD=AD•tan27°≈（121﹣x），
则=（121﹣x），
解得，x=33， 即BD=33．
在Rt△BCD中，cos53°=，
则BC==55，
55÷2=27.5（海里/时），
则该可疑船只的航行速度约为27.5海里/时．
点睛：此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
21. 在某书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款没有高于2224元，两种图书的进价、售价如下表所示：
甲种图书
乙种图书
进价（元/本）
16
28
售价（元/本）
26
40
请解答下列问题：
(1)在这批图书全部售出的条件下，书店如何进货利润？利润是多少？
(2)书店计划用(1)中的利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，至多可以购买排球和篮球共多少个？
【正确答案】(1) x=48时，总利润为1104 元；(2) 15个．
【分析】（1）由于购买甲种图书x本，则购买乙种图书（100-x）本，根据：总利润=甲种图书的总利润+乙种图书的总利润可列函数关系式；
（2）设购买a个排球，b个篮球．根据题意得出：72a+96b=1104，尽可能多买排球才能购买数量至多，故当买一个篮球时，求出可以购买排球个数，正好是整数．
【详解】解：（1）∵总利润为w=(26-16)x+(40-28)(100-x)=-2x+1200，
∵16x+28×（100-x）≤2224
∴x≥48
∵W随着x的增大而减小
∴当x=48时，总利润，利润为w=-2×48+1200=1104（元）．
（2）设买排球m个，篮球n个，由题意得
72m+96n=1104，即3m+4n=46，∴n=，
∴，或，或，或．
∴m+n=15、14、13、12．
∴至多可以购买排球和篮球共15个．
本题考查了函数的应用和二元方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解应用题的关键．
22. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO，交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E．
（1）如图1，当O为边AC中点，时，求的值.小明这样想的，过O点作OH∥AB交BC于点H，可证△AOF∽△HOE，于是求出答案，请你直接写出答案 ；
（2）如图2，当O为边AC中点，时，请求出的值,并说明理由；
（3）如图3，当,时，请直接写出的值．
【正确答案】(1)2;(2) ;(3) .
【详解】分析：（1）先证明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．作OH⊥AC，交BC于H，易证：△OEH和△OFA相似，进而证明△ABF∽△HOE，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值；
（2）同（1）的方法得出，代换即可得出结论．
（3）同（1）的方法得出，代换即可得出结论．
详解：（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，
∵∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴
又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=AB，OA=OC=AC，
而＝2，
∴，
即；
（2）同（1）方法得：，
∵又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=AB，OA=OC=AC，
∵，
∴，
∴．
（3）同（1）方法得：，
∵OH∥AB，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
点睛：此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，互余的性质，相似三角形的性质和判定，比例的性质，解本题的关键是得出，难点是用类比的方法作出后面两问．
23. 如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．
（1）求B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）若点P为线段FG上一个动点（与F、G没有重合），当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请求出此时点P的坐标；
（3）若点P为直线FG上一个动点，Q为抛物线上任一点，抛物线的顶点为N，探究以P、Q、M、N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若没有能，请说明理由．
【正确答案】(1) y=﹣x2+3x+4；(2) P坐标是（2，4）；(3)见解析.
【详解】分析：（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据等腰三角形的定义，分OP=OC，PC=OC，OP=PC三种情况即可求得P的坐标；
（3）设点P为（x，x+2）Q（x，-x2+3x+4），则PQ=-x2+2x+2，根据PQNM是平行四边形，则PQ=MN，即可求得PM的长，判断是否成立，从而确定P的坐标．
详解：（1）∵B（-1，0）E（0，4）C（4，0）
设解析式是y=ax2+bx+c
可得，解得
∴y=-x2+3x+4；
（2）∵点A坐标是（-2，0），点D坐标是（0，2）
直线AD的解析式是y=x+2，
设点P坐标是（x，x+2），
当OP=OC时，x2+（x+2）2=16 解得x＝1±（x＝1−没有符合，舍去）此时点P（1+，3+），
当PC=OC时，（x+2）2+（4-x）2=16方程无解，
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，
∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4），
∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（1+，3+）或（2，4）；
（3） ，，，
点睛：本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键利用等腰三角形的定义得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏；解（3）的关键是利用平行四边形的判定．
2022-2023学年广东省深圳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. 0.010010001 B. C. 3.14 D.
2. 下面中，适合采用普查的是（ ）
A. 全国中学生心理健康现状 B. 你所在的班级同学的身高情况
C. 50枚的伤半径 D. 扬州电视台《今日生活》收视率
3. 下列各式计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
4. 下列函数中，自变量的取值范围是x＞3的是（ ）
A. y=x﹣3 B. C. D.
5. 如图，下列选项中没有是正六棱柱的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
8. 一种包装盒设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C．D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积，则x应取（ ）
A. 30cm B. 25cm C. 20cm D. 15cm
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 南海资源丰富，其面积约为3 500 000，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的3倍．该面积可用科学记数法表示为____________．
10. 正方形面积为18，则该正方形的边长为_____．
11. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________．
12. 若双曲线与直线无交点，则k的取值范围是_____．
13. 口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是_____．
14. 一个矩形周长为16，面积为14，则该矩形的对角线长为_____．
15. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．
16. 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是_______．（只添加一个条件）
17. 如图，正五边形形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为__．（结果保留）
18. 如图，△ABC三个顶点分别在反比例函数，的图像上，若∠C＝90°，AC∥y 轴，BC∥x 轴，S△ABC＝8，则k的值为_____．
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：； （2）解方程：．
20. 先化简再求值：
，其中x是没有等式组的一个整数解．
21. 中考体育测试前，某区为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅没有完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）写出扇形图中______，并补全条形图；
（2）样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______；
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
22. 现有4张奖券，其中有2张是有奖，甲、乙先后各抽一张．
（1）甲中奖的概率是__________；
（2）试用画树状图法或列表法求甲、乙都中奖的概率．
23. 如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形．
24. 扬州市某土特产商店购进960盒绿叶牌牛皮糖，由于进入旅游旺季，实际每天的盒数比原计划每天多20%，结果提前2天卖完．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
25. 同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（min）的关系如图所示．
（1）求点P的坐标，并说明其实际意义；
（2）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
26. 如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O直径．
27. 如图1，反比例函数（x＞0）的图象点A（，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的值．
28. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20．动点P在线段CB上，以1cm/s的速度从点C向B运动，连接AP，作CE⊥AB分别交AP、AB于点F、E，过点P作PD⊥AP交AB于点D．
（1）线段CE= ；
（2）若t=5时，求证：△BPD≌△ACF；
（3）t为何值时，△PDB是等腰三角形；
（4）求D点的路径长．
2022-2023学年广东省深圳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. 0.010010001 B. C. 3.14 D.
【正确答案】B
【详解】解：A．0.010010001是有理数，故错误；
B． 是无理数，故正确；
C．3.14是有理数，故错误；
D．是有理数，故错误．
故选B．
2. 下面中，适合采用普查的是（ ）
A. 全国中学生心理健康现状 B. 你所在的班级同学的身高情况
C. 50枚的伤半径 D. 扬州电视台《今日生活》收视率
【正确答案】B
【详解】解：A．人数众多，应用抽样，故此选项错误；
B．人数没有多，应用全面，故此选项正确；
C．破坏性较强，使用抽样，故此选项错误；
D．范围太大，应用抽样，故此选项错误．
故选B．
3. 下列各式计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据幂的运算性质可知，A．没有能合并，故错误；B．，故错误；C．，故错误；D．，故正确．
故选D．
考点：幂的运算性质．
4. 下列函数中，自变量的取值范围是x＞3的是（ ）
A. y=x﹣3 B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、x为全体实数，故本选项错误；
B、x-3≠0，解得x≠3，故本选项错误；
C、x-3≥0，解得x≥3，故本选项错误；
D、x-3＞0，解得x＞3，故本选项正确．
故选D.
考点：函数自变量取值范围．
5. 如图，下列选项中没有是正六棱柱的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．
故选A．
本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
6. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'．
【详解】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选B．
本题主要考查了尺规作图—作已知角相等的角，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
7. 如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【正确答案】C
【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．
【详解】解：连接OA，OB．
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°．
∵OA=OB=2，
∴AB==2．
故选：C．
8. 一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C．D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积，则x应取（ ）
A. 30cm B. 25cm C. 20cm D. 15cm
【正确答案】C
【详解】试题解析：解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（40﹣x），0＜x＜40．S=4ah=8x（40﹣x）=﹣8（x﹣20）2+3200，∴当x=20cm时，S取值．故选C．
点睛：考查函二次函数的最值、等腰直角三角形及正方形的性质，同时还考查了考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 南海资源丰富，其面积约为3 500 000，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的3倍．该面积可用科学记数法表示为____________．
【正确答案】
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值≥1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
详解：3500000用科学记数法表示3.5×106．
故答案为3.5×106．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 正方形的面积为18，则该正方形的边长为_____．
【正确答案】
【详解】解：．故答案为3．
11. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________．
【正确答案】a（b﹣2）2．
【详解】ab2﹣4ab+4a
=a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）
=a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为a（b﹣2）2．
12. 若双曲线与直线无交点，则k的取值范围是_____．
【正确答案】
【详解】解：∵双曲线y=与直线无交点，∴2﹣k与异号，∴2﹣k＜0，∴k＞2．故答案为k＞2．
13. 口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是_____．
【正确答案】0.3.
【详解】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-0.2-0.5=0.3．
考点：概率公式．
14. 一个矩形的周长为16，面积为14，则该矩形的对角线长为_____．
【正确答案】6
【详解】解：设矩形长为a，宽为b，∴ab=14，2（a+b）=16，∴a+b=8，∴它的对角线的长为=．故答案为6．
15. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．
【正确答案】．
详解】解：如图，连接AC，由题意可得：
AB2=12+32=10，BC2=22+12=5，AC2=12+22=5，
∴BC2+AC2=AB2，AB=，AC=，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC=
故．
16. 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是_______．（只添加一个条件）
【正确答案】BF=DE（答案没有）．
【详解】添加的条件为BF=DE，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO、BO=DO，
∵BF=DE，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
故答案为BF=DE．
17. 如图，正五边形形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为__．（结果保留）
【正确答案】
【分析】连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，求出∠BCF，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接CF，DF，
则△CFD是等边三角形，
∴∠FCD=60°，
∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，
∴∠BCF=48°，
∴的长=．
故答案为．
本题考查了弧长公式，正五边形性质，等边三角形性质，熟知相关公式、定理是解题关键．．
18. 如图，△ABC三个顶点分别在反比例函数，的图像上，若∠C＝90°，AC∥y 轴，BC∥x 轴，S△ABC＝8，则k的值为_____．
【正确答案】5
【详解】解：设点C坐标为（m，），则点A的坐标为（m，），点B的坐标为（km，），∴AC=﹣=，BC=km﹣m=（k﹣1）m．∵S△ABC=AC•BC=（k﹣1）2=8，∴k=5或k=﹣3．
∵反比例函数y=在象限有图象，∴k=5．故答案为5．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点C的坐标，表示出点A、B的坐标是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：； （2）解方程：．
【正确答案】（1）；（2），
【详解】试题分析：（1）先化二次根式为最简二次根式、负整数指数幂以及角的函数值；然后根据实数运算法则进行计算；
（2）把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上项系数﹣4的一半的平方．
试题解析：解：（1）原式==；
（2）移项，得：x2﹣4x=1
配方，得：x2﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）2=5，
开方，得：x﹣2=±，解得：．
20. 先化简再求值：
，其中x是没有等式组的一个整数解．
【正确答案】，当x=0时，原式=2
【详解】试题分析：先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分后得到原式=﹣x2﹣x+2，然后解没有等式组得到整数解，再把满足条件的一个整数代﹣x2﹣x+2进行计算即可．
试题解析：解：原式=•
=•
=﹣（x+2）（x﹣1）
=﹣x2﹣x+2
解没有等式组，由①得：x≤2，由②得：x＞﹣1，所以没有等式组的解集为﹣1＜x≤2，其整数解为0，1，2．
由于x没有能取1和2，所以当x=0时，原式=﹣0﹣0+2=2．
点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了解一元没有等式组．
21. 中考体育测试前，某区为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅没有完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）写出扇形图中______，并补全条形图；
（2）样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______；
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
【正确答案】（1）25%，图形见解析；（2）5.3，5，5；（3）540名.
【分析】（1）用1减去其他人数所占的百分比即可得到a的值，再计算出样本总数，用样本总数×a的值即可得出“引体向上达6个”的人数；
（2）根据平均数、众数与中位数的定义求解即可；
（3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1200即可．
【详解】解：（1）由题意可得，
，
样本总数：，
做6个的学生数是，
故答案是：25％，
条形统计图补充如下：
（2）由补全的条形图可知，
样本数据的平均数，
∵引体向上5个的学生有60人，人数至多，
∴众数是5，
∵共200名同学,排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，
∴中位数为，
故答案是：5.3，5，5；
（3）该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有：
（名），
即该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有540名．
本题主要考查了众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，平均数，掌握众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，平均数是解题的关键.
22. 现有4张奖券，其中有2张是有奖的，甲、乙先后各抽一张．
（1）甲中奖的概率是__________；
（2）试用画树状图法或列表法求甲、乙都中奖的概率．
【正确答案】（1）；（2）．
【详解】（1）∵4张奖券中有2张是有奖的，∴甲中奖的概率是：；
故答案为；
（2）设四张奖券分别为奖1、奖2、空1、空2，
画树状图得：
∵共有12种等可能结果，其中甲、乙都中奖的有2种情况．
∴P（甲、乙都中奖）=．
23. 如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）欲证明四边形EFGH是菱形，只需推知四边形EFGH是平行四边形，然后证得该平行四边形的邻边相等即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△AEH与△CGF中，
∵，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．
∵AE=CG，AH=CF，
∴EB=DG，HD=BF，
∴△BEF≌△DGH，
∴EF=HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH=GF，
∴四边形HEFG为平行四边形，
∴EH∥FG，
∴∠HEG=∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
∴四边形EFGH是菱形．
本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意：本题菱形HEFG的判定是在平行四边形HEFG的基础上推知的．
24. 扬州市某土特产商店购进960盒绿叶牌牛皮糖，由于进入旅游旺季，实际每天的盒数比原计划每天多20%，结果提前2天卖完．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
【正确答案】问题：求原计划每天多少盒？原计划每天80盒．
【分析】首先根据题意提出一个问题，然后根据题干条件列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：本题答案没有，下列解法供参考．
问题：求原计划每天多少盒？（其它问题和解法参照本例）
解：设原计划每天x盒，由题意得：
，
解得： x=80，
经检验x=80是原分式方程的解．
答：原计划每天80盒．
25. 同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（min）的关系如图所示．
（1）求点P的坐标，并说明其实际意义；
（2）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
【正确答案】（1）点燃20分钟时甲乙两根蜡烛剩下的长度都是24 cm；（2）点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
【详解】试题分析：（1）根据函数图象中的数据可以求得乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点P的坐标，以及写出点P表示的实际意义；
（3）根据题意可以得到甲蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式，从而可以求得点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
试题解析：解：（1）设乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式为y=kx+b，，解得：，即乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式为y=﹣0.8x+40；
（2）将x=20代入y=﹣0.8x+40，得：y=24，即点P的坐标为（20，24），实际意义是：点燃20分钟，甲乙两根蜡烛剩下的长度都是24 cm；
（3）设甲蜡烛剩下的长度y甲与x之间的函数表达式为y甲=mx+n，得：，解得：，∴y甲与x之间的函数表达式为y甲=﹣1.2x+48．∵甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍，∴﹣1.2x+48=1.1（﹣0.8x+40），解得：x=12.5．
答：点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
点睛：本题考查了函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用函数的性质解答问题．
26. 如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．
【详解】解：（1）∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF=AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC==，
设DF=4x，DC=5x，
∴CF==3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴，即，解得AE=，
即⊙O的直径为．
27. 如图1，反比例函数（x＞0）的图象点A（，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的值．
【正确答案】（1）；（2），；（3）
【详解】试题分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2），则AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=x﹣1；
（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t， t﹣1），则MN=﹣t+1，根据三角形面积公式得到S△CMN=•t•（﹣t+1），再进行配方得到S=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），根据二次函数的最值问题求解．
试题解析：（1）把A（2，1）代入y=，得k=2×1=2；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y=，得a=2，
∴B点坐标为（1，2），
∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，
∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°=；
∵AD⊥y轴，∴OD=1，AD=2，∵tan∠DAC==，
∴CD=2，∴OC=1，
∴C点坐标为（0，﹣1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（2，1）、C（0，﹣1）代入得 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=x﹣1；
（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），
∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为（t， t﹣1），
∴MN=﹣（t﹣1）=﹣t+1，
∴S△CMN=•t•（﹣t+1）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），
∵a=﹣＜0，∴当t=时，S有值，值为．
28. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20．动点P在线段CB上，以1cm/s的速度从点C向B运动，连接AP，作CE⊥AB分别交AP、AB于点F、E，过点P作PD⊥AP交AB于点D．
（1）线段CE= ；
（2）若t=5时，求证：△BPD≌△ACF；
（3）t为何值时，△PDB是等腰三角形；
（4）求D点的路径长．
【正确答案】（1）12；（2）答案见解析；（3）；（4）12.5
【详解】试题分析：（1）由勾股定理求出AB的长，再由面积法即可得到结论；
（2）用ASA证明即可；
（3）作DG⊥BC，垂足为G，由（2）得∠CAP=∠GPD，可得△ACP∽△PGD．分三种情况讨论：①DP=DB，②PD=PB，③PB=DB；
（4）当AP平分∠CAB时，D′B最长，点CB上运动时，D在D′B之间往返运动．故点D运动路径的长=2BD′，求出BD′的长即可．
试题解析：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=15，BC=20，∴AB==25．∵AB•CE=AC•BC，，∴25CE=15×20，解得：CE=12．
（2）∵ t=5，∴BF=15，∴AC=BF
∵∠APC+∠BPD=∠APC+∠CAP=90° ，∴∠BPD=∠CAP．
∵∠ACE+∠BCE=∠BCE+∠B=90° ，∴∠ACE=∠B，∴△BPD≌△ACF．
（3）作DG⊥BC，垂足为G，由（2）得：∠CAP=∠GPD．∵∠ACP=∠PGD=90°，∴△ACP∽△PGD．分三种情况讨论：
①若DP=DB，则∠GPD=∠B ∴tan∠GPD=tan∠B=，∴ ，∴；
②若PD=PB，则∠PDB=∠B．∵△ACP∽△PGD，∴∠APC=∠PDG．∵∠PDC＞∠B，∴∠PDG＞∠B=∠PDB，则点G在PB的延长线上，矛盾，故PD=PB没有成立；
③若PB=DB，则BD=20－t．∵DG∥AC，∴DG：DB=AC：AB，GB：DB=CB：AB，∴DG：(20-t)=15：25，GB：(20-t)=20：25，解得：DG=，GB=，∴PG=PB－GB=(20-t)- =．∵△ACP∽△PGD，∴AC：CP=PG：DG，∴15：t=：，解得：t=45＞20，故PB=DB没有成立．
综上所述：t=．
（4）方法一：当AP平分∠CAB时，D′B最长，点CB上运动时，D在D′B之间往返运动．故点D运动路径的长=2BD′．
∵AP平分∠CAB，∴AC：CP=AB：PB，∴15：CP=25：(20-CP)，解得：CP=7.5．∵DG∥AC，∴，设DG=3x，则BG=4x，BD=5x．∵△D′PG∽△PAG，∴D′G：PG=CP：AC=1：2，∴PG=6x，∴6x+4x=PB=20－7.5，解得：x=1.25．∴2 BD′=2×1.25×5=12.5．
方法二：P点是在CB上运动的，而∠APD是直角，∴P可以看作是斜边AB上以AD为直径的圆O与线段CB的交点，当CB与⊙O相切的时候，此时的D是运动到最远的时候．设半径为OA=OP=r，则OB=25－r．∵OP∥AC，∴OP：AC=OB：AB，∴，r=，∴BD=25－=，∴运动路程为2BD==12.5．
点睛：本题是相似形综合题．考查了三角形相似的判定与性质，解答（3）的关键是分三中情况讨论，解答（4）的关键是找出BD取值的条件．
2022-2023学年广东省深圳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一、选一选（每小题3分，共24分）
1. 在数-6，-2，-3，-1.2中，的负整数的是（ ）
A. 0 B. -2 C. -3 D. -1.2
2. 没有等式组的解集在数轴上表示为
A B. C. D.
3. 将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是 （ ）
A. a（a﹣1） B. a（a﹣2） C. （a﹣2）（a﹣1） D. （a﹣2）（a+1）
4. 如图，直线AB∥CD，一个含60°角直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 50°
5. 如图，在⊙O中，已知∠OAB=25°，则∠C的度数为（ ）
A. 50° B. 100° C. 115° D. 125°
6. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
7. 某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A. 94分，96分 B. 96分，96分
C. 94分，96.4分 D. 96分，96.4分
8. 如图，以Rt△ABC斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的为O，连接AO，如果AB=3，AO=，那么AC的长等于（ ）
A. 7 B. 8 C. D.
二、填 空 题（每小题3分，共21分）
9. 2015年阿里巴巴全天交易额突破912.17亿元，请用科学记数学表示912.17亿元＝_____元．
10. 某商品连续两次降价，单价由原来125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____．
11. 如图，是抛物线y=-x2+bx+3的部分图象，由图象可知，若y＜0，x的取值范围是______________．
12. 从-1、−3、1这三个数中任取两个没有同的数分别作为点A的横、纵坐标，则点A在第二象限的概率是____________．
13. 如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线（x＞0）斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若=3，则的值为_______．
14. 如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=4cm，C为弧AB的中点，D是OA的中点，则图中阴影部分的面积为________cm2．
15. 如图，在矩形ABCO中，AO=3， OC=4，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动（没有包含A、C两个端点）．当t=___________时，△ODE为直角三角形．
三、解 答 题（75分）
16. （1）计算：－2sin60°
（2）先化简，再求值：÷，其中
17. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF、DF
（1）求证：BF是⊙A的切线．（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
18. 2016年的母亲节，某校学生实际，计划开展了形式多样的感恩教育．下面图1，图2分别是该校部分学生是否知道母亲生日情况的扇形统计图和频数分布直方图．
根据上图信息，解答下列问题：
（1）本次被的学生总人数有多少？
（2）补全频数分布直方图2；
（3）若这所学校共有学生3000人，已知被的学生中，知道母亲生日的女生人数是男生人数的2倍，请你通过计算估计该校知道母亲生日的女生有多少人？
19. 已知关于x的一元二次方程（x－2）(x－3)＝m2，m为实数．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个没有相等的实数根．
（2）m为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，没有需说明理由）
20. 如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈， cos27°≈， tan27°≈， sin53°≈， cos53°≈， tan53°≈）
21. 在某书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款没有高于2224元，两种图书的进价、售价如下表所示：
甲种图书
乙种图书
进价（元/本）
16
28
售价（元/本）
26
40
请解答下列问题：
(1)在这批图书全部售出的条件下，书店如何进货利润？利润是多少？
(2)书店计划用(1)中的利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，至多可以购买排球和篮球共多少个？
22. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO，交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E．
（1）如图1，当O为边AC中点，时，求值.小明这样想的，过O点作OH∥AB交BC于点H，可证△AOF∽△HOE，于是求出答案，请你直接写出答案 ；
（2）如图2，当O为边AC中点，时，请求出的值,并说明理由；
（3）如图3，当,时，请直接写出的值．
23. 如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．
（1）求B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）若点P为线段FG上一个动点（与F、G没有重合），当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请求出此时点P的坐标；
（3）若点P为直线FG上一个动点，Q为抛物线上任一点，抛物线的顶点为N，探究以P、Q、M、N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若没有能，请说明理由．
2022-2023学年广东省深圳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一、选一选（每小题3分，共24分）
1. 在数-6，-2，-3，-1.2中，的负整数的是（ ）
A. 0 B. -2 C. -3 D. -1.2
【正确答案】B
【详解】分析：先把各数按大小顺序排列，可得答案．
详解：∵-6<-3<-2<-1.2
∴的负整数是-2.
故选B．
点睛：本题考查了有理数大小，小于零的整数是负整数．
2. 没有等式组的解集在数轴上表示为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】解一元没有等式组，先求出没有等式组中每一个没有等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小解没有了（无解）．
【详解】．
没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．因此，在数轴上表示为A．故选A．
3. 将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是 （ ）
A. a（a﹣1） B. a（a﹣2） C. （a﹣2）（a﹣1） D. （a﹣2）（a+1）
【正确答案】B
【详解】试题分析：原式利用平方差公式分解即可．
解：原式=（a﹣1+1）（a﹣1﹣1）
=a（a﹣2）．
故选B．
点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
4. 如图，直线AB∥CD，一个含60°角直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 50°
【正确答案】B
【分析】先根据平行线的性质求出∠CKG的度数，再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵直线AB∥CD，∠AHG=50°，
∴∠CKG=∠XKG=50°．
∵∠E=60°，∠EFG=90°，
∴∠G=30°，
∵∠CKG是△KMG的外角，
∴∠KMG=∠CKG-∠G=50°-30°=20°．
∵∠KMG与∠FMD是对顶角，
∴∠FMD=∠KMG=20°．
故选B．
本题考查了平行线的性质\对顶角的性质，三角形外角的性质等知识，熟记性质并理清图中各角之间的关系是解题的关键．
5. 如图，在⊙O中，已知∠OAB=25°，则∠C的度数为（ ）
A. 50° B. 100° C. 115° D. 125°
【正确答案】C
【详解】分析：作AB弧所对的圆周角∠APB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得∠AOB=135°，则根据圆周角定理得到∠P=∠AOB=67.5°，然后根据圆周角定理可计算出∠ACB的度数．
详解：作AB弧所对的圆周角∠APB，如图，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=25°，
∴∠AOB=180°-2×25°=130°，
∴∠P=∠AOB=65°，
∴∠ACB=180°-65°=115°．
故选C．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【详解】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示，
故选：C．
本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
7. 某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A. 94分，96分 B. 96分，96分
C. 94分，96.4分 D. 96分，96.4分
【正确答案】D
【详解】解：总人数为6÷10%=60（人），
则94分的有60×20%=12（人），
98分的有60-6-12-15-9=18（人），
第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷2=96；
这些职工成绩的平均数是（92×6+94×12+96×15+98×18+100×9）÷60
=（552+1128+1440+1764+900）÷60
=5784÷60
=96.4．
故选D．
本题考查1.中位数；2.扇形统计图；3.条形统计图；4.算术平均数，掌握概念正确计算关键．
8. 如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的为O，连接AO，如果AB=3，AO=，那么AC的长等于（ ）
A. 7 B. 8 C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：在AC上截取CG=AB=2，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=2，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．
详解：在AC上截取CG=AB=2，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，
∴B、A、O、C四点共圆，
∴∠ABO=∠ACO，
在△BAO和△CGO中
,
∴△BAO≌△CGO（SAS），
∴OA=OG=2，∠AOB=∠COG，CG=AB=3
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG==4，
即AC=4+3=7，
故选A．
点睛：本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共21分）
9. 2015年阿里巴巴全天交易额突破912.17亿元，请用科学记数学表示912.17亿元＝_____元．
【正确答案】．
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
详解：将912.17亿用科学记数法表示为9.1217×1010．
故答案为9.1217×1010．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 某商品连续两次降价，单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____．
【正确答案】20%
【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
【详解】设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
125(1−x)2=80
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(没有合题意，舍去)
故答案为20%．
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键．
11. 如图，是抛物线y=-x2+bx+3的部分图象，由图象可知，若y＜0，x的取值范围是______________．
【正确答案】 或
【详解】分析：根据抛物线的对称轴为x=-1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（-3，0），图象求出y<0时，x的范围．
详解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=-1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（-3，0），
所以y<0时，x的取值范围是 或．
故答案为 或．
点睛：考查了抛物线与x轴的交点．此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=-x2+bx+c的完整图象．
12. 从-1、−3、1这三个数中任取两个没有同的数分别作为点A的横、纵坐标，则点A在第二象限的概率是____________．
【正确答案】
【详解】分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能结果与该点在第二象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
详解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，该点在第二象限的有2种情况，
∴该点在第二象限的概率是：．
故答案为．
点睛：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线（x＞0）斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若=3，则的值为_______．
【正确答案】2
【详解】分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
详解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴．
∵双曲线的解析式是y=，即xy=k
∴S△BOD=S△COE=|k|，
∴S△AOB=4S△COE=2|k|，
由S△AOB-S△BOD=S△AOD=2S△DOC=6，得2k-k=6，
∴k=4，
∴S△BOD=S△COE=k=2，
故答案2．
点睛：本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形的思想．
14. 如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=4cm，C为弧AB的中点，D是OA的中点，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【正确答案】
【详解】分析：连接OC、EC，由△OCD≌△OCE、OC⊥DE可得DE=，分别求出S扇形OBC、S△OCD、S△ODE面积，根据S扇形OBC+S△OCD-S△ODE=S阴影部分可得．
详解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，
∵半径OA=4，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD=OE=2，OC=4，∠AOC=45°，
∴CF=2，
∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积-三角形OCD的面积
=
=2π-2，
三角形ODE的面积=OD×OE=2，
∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积-空白图形ACD的面积-三角形ODE的面积
=．
故答案为．
点睛：考查了扇形面积的计算，本题难点是得到空白图形ACD的面积，关键是理解图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积-空白图形ACD的面积-三角形ODE的面积．
15. 如图，在矩形ABCO中，AO=3， OC=4，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动（没有包含A、C两个端点）．当t=___________时，△ODE为直角三角形．
【正确答案】或1
【详解】分析：可分二种情况（①，∠ODE=90°，②∠DEO=90°）讨论，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题．
详解：过点D作DH⊥OC于点H，如图1，
由题可知：AD=3t，CE=t，
∵OC=4，∴OE=OC-EC=4-t，
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=90°，OA=3，OC=4，
∴AC==5．
∵∠DHC=∠AOC=90°，∠HCD=∠OCA，
∴△HCD∽△OCA，
∴，
∴，
∴DH=，CH=，
∴OH=OC-CH=4-=，
①若∠ODE=90°，如图1．
∵DH⊥OC，
∴∠DHO=∠DHE=90°，
∴∠ODH=90°-∠HDE=∠HED，
∴△DHO∽△EHD，
∴，
∴DH2=OH•EH，
∴（）2=•（-t），
整理得：19t2-34t+15=0，
解得：t1=1，t2=．
②若∠DEO=90°，如图2，
则∠DEC=∠AOC=90°，
∵∠ECD=∠OCA，
∴△DEC∽△AOC，
∴，
∴，
解得：t=．
综上所述：当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，t的值为1、、．
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
三、解 答 题（75分）
16. （1）计算：－2sin60°
（2）先化简，再求值：÷，其中
【正确答案】(1)1-;(2) ,1.
【详解】分析：（1）直接利用算术平方根的定义以及负指数幂的性质、零指数幂的性质、值的性质分别化简得出答案；
（2）首先利用分式的混合运算法则化简分式，进而代入已知数据求出答案．
详解：（1）原式=
（2）先化简，再求值：，其中．
原式=
=
=
又∵， ∴，
∴ ， （舍去）
故当时，原式=1．
点睛：此题主要考查了实数运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF、DF
（1）求证：BF是⊙A的切线．（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；证明见解析；
【详解】分析（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．
详解：（1）证明：∵EF∥AB
∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E
∵AE=AF
∴∠EFA =∠E
∴∠FAB=∠CAB
∵AC=AF，AB=AB
∴△ABC≌△ABF
∴∠AFB=∠ACB=90°， ∴BF是⊙A的切线.
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形.
理由：∵EF∥AB
∴∠E=∠CAB=60°
∵AE=AF
∴△AEF是等边三角形
∴AE=EF，
∵AE=AD
∴EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE=EF
∴平行四边形ADFE为菱形.
点睛：本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度没有大．
18. 2016年的母亲节，某校学生实际，计划开展了形式多样的感恩教育．下面图1，图2分别是该校部分学生是否知道母亲生日情况的扇形统计图和频数分布直方图．
根据上图信息，解答下列问题：
（1）本次被的学生总人数有多少？
（2）补全频数分布直方图2；
（3）若这所学校共有学生3000人，已知被的学生中，知道母亲生日的女生人数是男生人数的2倍，请你通过计算估计该校知道母亲生日的女生有多少人？
【正确答案】(1)100;(2)见解析;(3)120人.
【详解】分析：（1）用记没有清母亲生日的同学人数除以其圆周角所占的百分比即可求得人数；
（2）求出数据，即可补全条形统计图；
（3）用总人乘以其圆心角所占的百分比乘以男生活女生所占的百分比即可求得男生和女生的人数．
详解：（1）30÷=100，
（2）没有知道母亲生日的有100×=10人，
知道母亲生日的有100﹣10﹣30=60人，
故统计图为：
（3）女生知道生日人数是：3000××=120人．
点睛：本题考查了频数分布表和频数分布直方图的知识，解题的关键是仔细的读图并从中找到进一步解题的有关信息．
19. 已知关于x的一元二次方程（x－2）(x－3)＝m2，m为实数．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个没有相等的实数根．
（2）m为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，没有需说明理由）
【正确答案】(1)见解析;(2) 0，，.
【详解】分析：（1）要证明方程总有两个没有相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；
（2）要使方程有整数解，那么x=为整数即可，于是p可取0，，-时，方程有整数解．
详（1）证明：原方程可化为x2-5x+6-m2=0，
∵△=（-5）2-4×（6-m2）=4m2+1＞0，
∴没有论m为任何实数，方程总有两个没有相等的实数根；
（2）原方程可化为x2-5x+6-m2=0，
∵方程有整数解，
∴x=为整数即可，
∴p可取0，，-时，方程有整数解．
点睛：此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个没有相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
20. 如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈， cos27°≈， tan27°≈， sin53°≈， cos53°≈， tan53°≈）
【正确答案】27.5海里/时
【详解】分析：先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=（99-x）海里，在Rt△BCD中，根据tan53°=，求出CD，再根据x=（121-x），求出BD，在Rt△BCD中，根据cos53°=，求出BC，从而得出答案．
解：如图，根据题意可得，在△ABC中，AB=121海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，点C作CD⊥AB，垂足为点D．
设BD=x海里，则AD=（121﹣x）海里，
在Rt△BCD中，tan53°=，则tan27°=，
CD=x•tan53°≈（海里）．
在Rt△ACD中，则CD=AD•tan27°≈（121﹣x），
则=（121﹣x），
解得，x=33， 即BD=33．
在Rt△BCD中，cos53°=，
则BC==55，
55÷2=27.5（海里/时），
则该可疑船只的航行速度约为27.5海里/时．
点睛：此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
21. 在某书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款没有高于2224元，两种图书的进价、售价如下表所示：
甲种图书
乙种图书
进价（元/本）
16
28
售价（元/本）
26
40
请解答下列问题：
(1)在这批图书全部售出的条件下，书店如何进货利润？利润是多少？
(2)书店计划用(1)中的利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，至多可以购买排球和篮球共多少个？
【正确答案】(1) x=48时，总利润为1104 元；(2) 15个．
【分析】（1）由于购买甲种图书x本，则购买乙种图书（100-x）本，根据：总利润=甲种图书的总利润+乙种图书的总利润可列函数关系式；
（2）设购买a个排球，b个篮球．根据题意得出：72a+96b=1104，尽可能多买排球才能购买数量至多，故当买一个篮球时，求出可以购买排球个数，正好是整数．
【详解】解：（1）∵总利润为w=(26-16)x+(40-28)(100-x)=-2x+1200，
∵16x+28×（100-x）≤2224
∴x≥48
∵W随着x的增大而减小
∴当x=48时，总利润，利润为w=-2×48+1200=1104（元）．
（2）设买排球m个，篮球n个，由题意得
72m+96n=1104，即3m+4n=46，∴n=，
∴，或，或，或．
∴m+n=15、14、13、12．
∴至多可以购买排球和篮球共15个．
本题考查了函数的应用和二元方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解应用题的关键．
22. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO，交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E．
（1）如图1，当O为边AC中点，时，求的值.小明这样想的，过O点作OH∥AB交BC于点H，可证△AOF∽△HOE，于是求出答案，请你直接写出答案 ；
（2）如图2，当O为边AC中点，时，请求出的值,并说明理由；
（3）如图3，当,时，请直接写出的值．
【正确答案】(1)2;(2) ;(3) .
【详解】分析：（1）先证明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．作OH⊥AC，交BC于H，易证：△OEH和△OFA相似，进而证明△ABF∽△HOE，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值；
（2）同（1）的方法得出，代换即可得出结论．
（3）同（1）的方法得出，代换即可得出结论．
详解：（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，
∵∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴
又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=AB，OA=OC=AC，
而＝2，
∴，
即；
（2）同（1）方法得：，
∵又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=AB，OA=OC=AC，
∵，
∴，
∴．
（3）同（1）方法得：，
∵OH∥AB，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
点睛：此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，互余的性质，相似三角形的性质和判定，比例的性质，解本题的关键是得出，难点是用类比的方法作出后面两问．
23. 如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．
（1）求B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）若点P为线段FG上一个动点（与F、G没有重合），当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请求出此时点P的坐标；
（3）若点P为直线FG上一个动点，Q为抛物线上任一点，抛物线的顶点为N，探究以P、Q、M、N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若没有能，请说明理由．
【正确答案】(1) y=﹣x2+3x+4；(2) P坐标是（2，4）；(3)见解析.
【详解】分析：（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据等腰三角形的定义，分OP=OC，PC=OC，OP=PC三种情况即可求得P的坐标；
（3）设点P为（x，x+2）Q（x，-x2+3x+4），则PQ=-x2+2x+2，根据PQNM是平行四边形，则PQ=MN，即可求得PM的长，判断是否成立，从而确定P的坐标．
详解：（1）∵B（-1，0）E（0，4）C（4，0）
设解析式是y=ax2+bx+c
可得，解得
∴y=-x2+3x+4；
（2）∵点A坐标是（-2，0），点D坐标是（0，2）
直线AD的解析式是y=x+2，
设点P坐标是（x，x+2），
当OP=OC时，x2+（x+2）2=16 解得x＝1±（x＝1−没有符合，舍去）此时点P（1+，3+），
当PC=OC时，（x+2）2+（4-x）2=16方程无解，
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，
∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4），
∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（1+，3+）或（2，4）；
（3） ，，，
点睛：本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键利用等腰三角形的定义得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏；解（3）的关键是利用平行四边形的判定．
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