备战2023年数学新中考二轮复习热点透析 疑难点拨03将军饮马

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"线段最值"问题是中考的热点问题（每年必考），题型多样，变化灵活，综合性强，考查的知识点众多，涉及多种数学思想、方法和技能技巧，对学生的各种能力要求较高，一般都是各题型的压轴题，拉分题。
深刻理解把握这一问题的基本原理、解决策略，利于我们把握中考方向，在教学实践中才能做到有的放矢，提高教学的针对性、有效性.
考点详解
利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．
将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。
真题再现
一、单选题
1．（2021·四川资阳·八年级期末）已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．
C．D．
2．（2021·广东广州·三模）如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A．B．C．D．36
3．（2021·浙江·杭州锦绣·育才中学附属学校八年级期中）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．4
4．（2021·广东·铁一中学九年级期中）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2021·重庆·西南大学附中九年级开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．B．2C．2D．3
7．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全国·九年级练习）如图，点，都在双曲线上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形ABCD的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·广东·红岭中学八年级期末）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．
11．（2022·甘肃庆阳·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．
12．（2022·广东韶关·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．
13．（2021·湖南·攸县石羊塘镇中学八年级期中）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，，点F是线段AD上的动点，则的最小值为______．
14．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
15．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．
三、解答题
16．（2022·广东广州·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．
(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．
17．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级开学考试）以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P．
（1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP；
（2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，
①求证：△ABG≌△ADC；
②求证：GH＝CH；
（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝2时，请直接写出PK+CK的最小值．
18．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
19．（2022·广东广州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
20．（2022·北京四中九年级开学考试）在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当时，则_______°；
（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．模型
作法
结论
当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。
PA+ PB的最小。
当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。
PA+PB的最小值为AB′。
当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。
连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。
的最大值为AB。
当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。
作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。
的最大值为AB′。
当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。
连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。
的最小值为0。
A、E是两个定点，CD在直线上运动，但是CD的长保持不变，求AC+CD+DE的最小值
将AC平移到BD处，作点B关于直线对称的点B’，连接B’E，即为AC+DE的最小值
AC+CD+DE的最小值为B’E+CD