2022-2023学年湖北省鄂州市梁子湖区、鄂城区八年级（上）期中数学试卷

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2022-2023学年湖北省鄂州市梁子湖区、鄂城区八年级（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）中国好多汉字有一种对称美，美术字“”，其中可以看作是轴对称图形的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是（　　）A．10 B．11 C．12 D．133．（3分）在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（　　）A． B． C． D．4．（3分）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去5．（3分）九年级2班学生小茗家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和7km，那么他们两家的直线距离不可能是（　　）A．1km B．2km C．3km D．10km6．（3分）如图，小米同学用两把相同的直尺画一个角的平分线：他先将一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小米说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”他这样做的依据是（　　）A．先由“ASA”得到全等，再由全等三角形的对应角相等得出 B．先由“SAS”得到全等，再由全等三角形的对应角相等得出 C．先由“SSS”得到全等，再由全等三角形的对应角相等得出 D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，若S△ADC＝3，则S△ABC＝（　　）A．12 B．9 C．6 D．38．（3分）在如图所示3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，在图中画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．49．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，PA＝PE．下列结论：①∠PAB+∠PEB＝30°；②△PAE为等边三角形；③AC＝CE+DP；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确结论的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如图，△ABC纸片中，AB＝8，BC＝6，沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在边AB上的点E处，折痕为BD．若∠C＝2∠BDE，则CD的长是（　　）A．2 B． C． D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）凸五边形的对角线共有 　 　条．12．（3分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为　 　．13．（3分）如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D，请你添一个直接条件，　 　，使△AFC≌△DEB．14．（3分）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝8，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为 　 　．15．（3分）在等腰直角三角形ABC中，∠BCA＝90°，分别过点A，B向经过点C的直线作垂线，垂足分别为M，N，AM＝3，BN＝2，则MN的长为 　 　．16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD的度数为　 　．三、解答题：本题共8小题，共72分。17．（8分）已知△ABC的三边长分别为10﹣a，5，6，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．18．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．19．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点．20．（8分）如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，试用全等的方法证明AD＝BC．21．（8分）△ABC三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．（1）把△ABC沿直线AC翻折，画出翻折后的△ACB1；（2）找出格点D并画出直线AD，使直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；（3）在y轴上存在点P，使△BPC的面积等于3，直接写出点P的坐标．22．（10分）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接FD，以FD为边在DF的右侧作等边△DEF，ED的延长线交AB于H，连接EC．（1）求证：AB∥EC；（2）求证：∠AHD+∠AFD＝180°；（3）求证：BC+2EC＝2DC．23．（10分）如图：（1）【情景呈现】画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与∠AOB的两边OA，OB相交于点E，F，若PE⊥OA，PF⊥OB（如图1），则PE＝PF；若把三角尺绕点P旋转（如图2），则PE　 　PF．（选填“＜”，“＞”或“＝”）（不用证明）（2）【理解应用】在（1）的条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA，OB于点G，H，如图3．①图中全等三角形共有 　 　对；（不添加辅助线）②直接写出S△OGH与S四边形OFPE之间的数量关系为 　 　．（3）【拓展延伸】如图4，画∠AOB＝α，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠FPE＝β，当α+β＝180°时，∠FPE的两边分别与OA，OB相交于点E，F，PE与PF相等吗？请说明理由．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，a），B（﹣b，0），且a，b满足|a﹣2b+2|＝0．（1）求证∠OAB＝∠OBA；（2）如图1，若BC⊥AC，求∠ACO的度数；（3）如图2，若点D是AO的中点，DE∥OB，点F在AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE与EF的数量关系和位置关系．2022-2023学年湖北省鄂州市梁子湖区、鄂城区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）中国好多汉字有一种对称美，美术字“”，其中可以看作是轴对称图形的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可．【解答】解：“最”字不是轴对称图形；“美”字是轴对称图形；“梁”字不是轴对称图形；“子”字不是轴对称图形；“湖”字不是轴对称图形；∴轴对称图形的字只有1个，故选：A．【点评】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．2．（3分）若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是（　　）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是12边形．故选：C．【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．3．（3分）在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．【解答】解：在△ABC中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是C．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是要注意高的作法．4．（3分）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．5．（3分）九年级2班学生小茗家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和7km，那么他们两家的直线距离不可能是（　　）A．1km B．2km C．3km D．10km【分析】根据三角形三边关系即可求解．【解答】解：依题意，设小茗家和李锐家的直线距离为d，则7﹣5≤d≤7+5，即2≤d≤12．故选：A．【点评】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键，注意此问题三点共线时可以取等于号．6．（3分）如图，小米同学用两把相同的直尺画一个角的平分线：他先将一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小米说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”他这样做的依据是（　　）A．先由“ASA”得到全等，再由全等三角形的对应角相等得出 B．先由“SAS”得到全等，再由全等三角形的对应角相等得出 C．先由“SSS”得到全等，再由全等三角形的对应角相等得出 D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上【分析】如图，过点P作PF⊥OB于点F，PE⊥OA于点E，利用角平分线的判定定理解决问题即可．【解答】解：如图，过点P作PF⊥OB于点F，PE⊥OA于点E．∵直尺的宽度相等，∴PE＝PF，∵PF⊥OB，PE⊥OA，∴OP平分∠AOB．故选：D．【点评】本题考查角平分线的判定，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，若S△ADC＝3，则S△ABC＝（　　）A．12 B．9 C．6 D．3【分析】设CD＝x，根据含30°的直角三角形的性质表示出AD、AB，进而通过三角形的面积即可求出解答．【解答】解：设CD＝x，∵CD是斜边AB上的高且∠B＝30°，∴∠ADC＝90°，∠A＝60°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，在Rt△ADC中，，∴，在Rt△ADB中，∠CDB＝90°，∠B＝30°，∴，∴，根据题意可得，，∴，又∵S△ADC＝3，∴S△ABC＝12，故选：A．【点评】本题考查了含30°的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握上述的性质．8．（3分）在如图所示3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，在图中画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据全等三角形的判定分别求出以AB为公共边的三角形，以CB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可．【解答】解：以AB为公共边的三角形有3个，以BC为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，共3+0+1＝4个，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，PA＝PE．下列结论：①∠PAB+∠PEB＝30°；②△PAE为等边三角形；③AC＝CE+DP；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确结论的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求∠PEA＝∠PAE＝60°，可判断②；作点P关于AB的对称点P'，连接P'A，P'D，根据对称性质即可判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，由三角形的面积的和差关系可判断④．【解答】解：如图，连接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂线，∴AP＝BP，且AP＝PE，∴AP＝PB＝PE，∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAB+∠PEB＝30°．故①正确；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE＝∠PEA＝60°，∴△PAE是等边三角形，故②正确；如图，作点P关于AB的对称点P'，连接P'A，P'D，∴AP＝AP'，∠PAD＝∠P'AD，∵△PAE是等边三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP'，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P'AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P'AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P'AC≌△EAC（SAS），∴CP'＝CE，∵点P、P'关于AB对称，即PP'⊥AB，且PD＝P'D，∵CD⊥AB，∴C、P、D、P'共线，∴CE＝CP'＝CP+PD+DP'＝CP+2PD，∴，若AC＝CE+DP，则DP＝AC﹣CE，因为AC﹣CE与不一定相等，故③错误；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等边三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠GPB＝120°，又∵EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，∴△MCE≌△BGE（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BM，∴，∵，∴S四边形AECP＝S△ABC．故④正确．所以其中正确的结论是①②④．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，线段中垂线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．10．（3分）如图，△ABC纸片中，AB＝8，BC＝6，沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在边AB上的点E处，折痕为BD．若∠C＝2∠BDE，则CD的长是（　　）A．2 B． C． D．【分析】根据折叠的性质得出CD＝DE，∠C＝∠DEB，∠BDE＝∠BDC，根据已知条件得出∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，根据S△ADE：S△BDE＝AE：EB＝2：6＝1：3，设S△ADE＝a，则S△BDE＝3a，得出S△ADB：S△DCB＝4a：3a＝4：3＝AD：DC，即可求解．【解答】解：∵沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在边AB上的点E处，折痕为BD，∴CD＝DE，∠C＝∠DEB，∠BDE＝∠BDC，∵∠C＝2∠BDE，∴∠DEB＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝AB﹣EB＝AB﹣BC＝8﹣6＝2，∵AE＝2，BE＝6，∴S△ADE：S△BDE＝AE：EB＝2：6＝1：3，设S△ADE＝a，则S△BDE＝3a，∵折叠，∴S△DCB＝S△DBE＝3a，∴S△ADB：S△DCB＝4a：3a＝4：3＝AD：DC，∵AD＝2，∴，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）凸五边形的对角线共有 　5　条．【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，从n个顶点出发引出n（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：）（n≥3，且n为整数），根据此公式计算即可．【解答】解：凸五边形的对角线共有；故答案为：5．【点评】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握多边形的对角线的算法公式．12．（3分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为　5：4：3　．【分析】先根据三个内角度数的比设未知数，根据三角形的内角和列一元一次方程求出x的值，再求其对应的三个外角的度数并求比值即可．【解答】解：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x＝180，6x＝180，x＝30，∴三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°，则三个外角的度数比为：150°：120°：90°＝5：4：3，故答案为：5：4：3．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质，比较简单，明确三角形的内角和为180°，并熟知三角形的一个内角与其相邻的外角和为180°．13．（3分）如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D，请你添一个直接条件，　∠ACF＝∠DBE（答案不唯一）　，使△AFC≌△DEB．【分析】证明△AFC≌△DEB，已知AC＝BD，∠A＝∠D，一边一角对应相等，故添加一组角∠ACF＝∠DBE可利用ASA证明全等．【解答】解：在△AFC和△DEB中，，∴△AFC≌△DEB（ASA）．故答案为：∠ACF＝∠DBE（答案不唯一）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14．（3分）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝8，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为 　20　．【分析】根据题中尺规作图可知MN是线段BC的中垂线，从而DB＝DC，则△ABD的周长为AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC即可得到答案．【解答】解：∵在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，∴MN是线段BC的中垂线，∴DB＝DC，∴C△ABD＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC，∵AB＝8，AC＝12，∴△ABD的周长为AB+AC＝8+12＝20．故答案为：20．【点评】本题考查尺规作图﹣中垂线及三角形的周长，熟练掌握中垂线的尺规作图方法和中垂线性质是解决问题的关键．15．（3分）在等腰直角三角形ABC中，∠BCA＝90°，分别过点A，B向经过点C的直线作垂线，垂足分别为M，N，AM＝3，BN＝2，则MN的长为 　1或5　．【分析】分两种情况：①当过点C的直线CD经过△ABC内部时，如图1，求出∠1＝∠3，利用AAS证明△AMC≌△CNB，可得CM＝BN＝2，CN＝AM＝3，根据MN＝CN﹣CM可得答案；②当过点C的直线CD在△ABC的外部时，如图2，同理求出CM＝BN＝2，CN＝AM＝3，根据MN＝CN+CM可得答案．【解答】解：分两种情况：①当过点C的直线CD经过△ABC内部时，如图1，∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵AM⊥CD，∴∠CMA＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵BN⊥CD，∴∠BNC＝90°，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴CM＝BN＝2，CN＝AM＝3，∴MN＝CN﹣CM＝1；②当过点C的直线CD在△ABC的外部时，如图2，同①可证△AMC≌△CNB（AAS），∴CM＝BN＝2，CN＝AM＝3，∴MN＝CN+CM＝5；综上：MN的长为：1或5．故答案为：1或5．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，需要进行分类讨论，作出图形才能求解．16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD的度数为　15°或30°或75°或120°　．【分析】当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．分四种情形分别求解即可．【解答】解：如图，当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．当AP＝AD时，可得∠AP1D＝15°，∠AP3D＝75°．当PA＝PD时，可得∠AP2D＝120°．当DA＝DP时，可得∠AP4D＝30°，综上所述，满足条件的∠APD的值为120°或75°或30°或15°．故答案为：120°或75°或30°或15°．【点评】此题主要考查了轴对称图形以及等边三角形的性质，正确掌握等腰三角形的性质是解题关键．三、解答题：本题共8小题，共72分。17．（8分）已知△ABC的三边长分别为10﹣a，5，6，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系求解即可．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∴当10﹣a＝5时，解得a＝5，∴三边长为5，5，6∵5+5＞6，6﹣5＜5，∴符合三角形三边的条件，当10﹣a＝6时，解得a＝4，∴三边长为5，6，6∵5+6＞6，6﹣5＜6，∴符合三角形三边的条件，∴a的值为4和5．【点评】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．18．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点．【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ADE，等量代换得到∠BAD＝∠ADE，求得AE＝DE，推出∠ABD＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到E为AB的中点．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE，∴E为AB的中点．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，关键是求出DE＝BE＝AE．20．（8分）如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，试用全等的方法证明AD＝BC．【分析】连接BD，根据四边形内角和证明得出∠ADB＝∠CBD再根据AAS证明△ADB≌△CBD即可得出结论．【解答】解：连接BD，如图：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴在四边形ABCD中，∠A+∠C+∠B+∠D＝360°，∴2∠A+2∠B＝360°，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，在△ADB和△CBD中，，∴△ADB≌△CBD（AAS），∴AD＝BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定、平行线的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．21．（8分）△ABC三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．（1）把△ABC沿直线AC翻折，画出翻折后的△ACB1；（2）找出格点D并画出直线AD，使直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；（3）在y轴上存在点P，使△BPC的面积等于3，直接写出点P的坐标．【分析】（1）找到点B关于AC的对称点B1，连接AB1、B1C即可；（2）过点B作AC的平行线，取BD＝AC，作直线AD，由全等三角形的性质可知直线AD经过BC中点，将△ABC分成面积相等的两部分；（3）设BC交y轴于点Q，点P为y轴上一点，则有S△BPC＝S△BPQ+S△CPQ，根据面积公式计算可得PQ＝2，结合点Q坐标确定点P的坐标即可．【解答】（1）解：如图，找到点B关于AC的对称点B1，连接AB1、B1C即可；（2）如图，过点B作AC的平行线，取BD＝AC，作直线AD，则直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；（3）如图，设BC交y轴于点Q，由图可知点Q（0，2），设点B到y轴的距离为h1，点C到y轴的距离为h2，由图可知h1＝2，h2＝1，则S△BPC＝S△BPQ+S△CPQ∵△BPC的面积等于3，即，解得PQ＝2，∴点P的坐标为（0，0）或（0，4）．【点评】本题主要考查了坐标与图形、基本作图、轴对称、三角形面积等知识，熟练掌握基本作图方法及相关知识是解题关键．22．（10分）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接FD，以FD为边在DF的右侧作等边△DEF，ED的延长线交AB于H，连接EC．（1）求证：AB∥EC；（2）求证：∠AHD+∠AFD＝180°；（3）求证：BC+2EC＝2DC．【分析】（1）在线段BD上取一点K，令CF＝CK，先证△CFK为正三角形，再证△FEC≌△FDK得到∠FCE＝∠FKD，进而得出∠FCE＝120°，最后计算即可得到解答；（2）由EC∥AB可得∠AHE+∠CEH＝180°由（1）可得∠FCE+∠FDE＝180°，进而可得∠CFD+∠CED＝180°，通过角度转换可得∠AFD＝∠DEC，最后进行计算即可得到解答；（3）根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得，即可得出BC+2EC＝2DC．【解答】（1）证明：在线段BC上取一点K，令CF＝CK，如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，又∵CF＝CK，∴△CFK是等边三角形，∵△DFE是等边三角形，∴∠DFK+∠KFE＝60°，∠KFE+∠EFC＝60°，∴∠DFK＝∠EFC，在△FEC和△FDK中，∴△FEC≌△FDK（SAS），∴∠FCE＝∠FKD，∵∠FKC＝60°，∴∠FCE＝∠FKD＝180°﹣∠FKC＝180°﹣60°＝120°，∵∠A＝60°，∴∠A+∠FCE＝60°+120°＝180°，∴AB∥EC；（2）证明：∵EC∥AB，∴∠AHE+∠CEH＝180°，由（1）得∠FCE＝120°，∠FDE＝60°，∴∠FCE+∠FDE＝180°，∴∠CFD+∠CED＝180°，∵∠CFD+∠CED＝180°，∠CFD+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝∠DEC，∴∠AHD+∠AFD＝180°；（3）证明：∵△FEC≌△FDK，∴EC＝DK，∵F是AC的中点且△CFK是等边三角形，∴，则DC﹣EC＝DC﹣DK＝CK∴BC+2EC＝2DC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质和三角形外角的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．23．（10分）如图：（1）【情景呈现】画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与∠AOB的两边OA，OB相交于点E，F，若PE⊥OA，PF⊥OB（如图1），则PE＝PF；若把三角尺绕点P旋转（如图2），则PE　＝　PF．（选填“＜”，“＞”或“＝”）（不用证明）（2）【理解应用】在（1）的条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA，OB于点G，H，如图3．①图中全等三角形共有 　3　对；（不添加辅助线）②直接写出S△OGH与S四边形OFPE之间的数量关系为 　S△OGH＝2S四边形OFPE　．（3）【拓展延伸】如图4，画∠AOB＝α，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠FPE＝β，当α+β＝180°时，∠FPE的两边分别与OA，OB相交于点E，F，PE与PF相等吗？请说明理由．【分析】（1）PE＝PF；过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，利用已知条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；（2）①过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，根据等腰直角三角形的性质得到OP＝PG＝PH，证明△GPE≌△OPF，△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH即可，②由全等三角形的性质可知S△GPE＝S△OPF，S△EPO＝S△FPH，再结合S四边形OFPE＝S△EPO+S△OPF，S△OGH＝S△GPE+S△EPO+S△OPF+S△FPH＝2（S△EPO+S△OPF），即可得出S△OGH与S四边形OFPE之间的数量关系；（3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】解：（1）如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，∴∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，∴∠MPN＝90°，∵OC是∠AOB的平分线，∴PM＝PN，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠FPN+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠FPN，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE＝PF．故答案为：＝；（2）①∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∵GH⊥OC，∴∠OGH＝∠OHG＝45°，∴OP＝PG＝PH，∵∠GPO＝90°，∠EPF＝90°，∴∠GPE＝∠OPF，在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），同理可证明△EPO≌△FPH，∵，∴△GPO≌△OPH（SAS），∴全等三角形有3对；②∵△GPE≌△OPF，△EPO≌△FPH，∴S△GPE＝S△OPF，S△EPO＝S△FPH，∵S四边形OFPE＝S△EPO+S△OPF，S△OGH＝S△GPE+S△EPO+S△OPF+S△FPH＝2（S△EPO+S△OPF），∴S△OGH＝2S四边形OFPE．故答案为：①3；②S△OGH＝2S四边形OFPE；（3）如图，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，∵PG⊥OA，PH⊥OB，∴∠PGE＝∠PHF＝90°，∵OC平分∠AOB，∴PG＝PH，∵∠AOB＝α，∠FPE＝β，且α+β＝180°，又∵∠AOB+∠EPF+∠PEO+∠PFO＝360°，∴∠PEO+∠PFO＝180°，∵∠PFO+∠PFH＝180°，∴∠PEO＝∠PFH，在△PGE和△PHF中，，∴△PGE≌△PHF（AAS），∴PE＝PF．【点评】本题主要考查了角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，a），B（﹣b，0），且a，b满足|a﹣2b+2|＝0．（1）求证∠OAB＝∠OBA；（2）如图1，若BC⊥AC，求∠ACO的度数；（3）如图2，若点D是AO的中点，DE∥OB，点F在AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE与EF的数量关系和位置关系．【分析】（1）根据非负数的性质得到，解得，确定A（0，2）、B（﹣2，0），得到OA＝OB，所以△AOB为等腰直角三角形，即可解答；（2）如图1，过点O作OF⊥OC交AC于F，利用已知条件证明△OBC≌△OAF（ASA），得到OC＝OF，即△OCF为等腰直角三角形，即可解答；（3）过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I，利用已知条件证明△HFG≌△BFO（SAS），得到GH＝OB＝OA，再证明△EIG≌△EDO（AAS）得到EG＝EO，进而FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．【解答】（1）证明：∵a、b满足|a﹣2b+2|＝0，∴，∴，∴A（0，2）、B（﹣2，0），∴OA＝OB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°．（2）解：如图1，过点O作OF⊥OC交AC于F，∵∠AOF+∠BOF＝90°，∠BOC+∠BOF＝90°，∴∠AOF＝∠BOC，∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠OBC＝∠OAF，在△OBC和△OAF中，，∴△OBC≌△OAF（ASA），∴OC＝OF，∴△OCF为等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°．（3）解：过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I，∵∠EOF＝45°，∠HBF＝∠ABO＝45°，∴△OFG、△HFB为等腰直角三角形，∵∠HFG+∠GFB＝90°，∠BFO+∠GFB＝90°，∴∠HFG＝∠BFO，在△HFG和△BFO中，，∴△HFG≌△BFO（SAS），∴GH＝OB＝OA，∵∠GHF＝∠OBF＝135°，∴∠GHO＝90°，∴HI＝OD＝IG，在△EIG和△EDO中，，∴△EIG≌△EDO（AAS），∴EG＝EO，∴FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．【点评】本题考查了三角形的综合应用，理解题意作出辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得到相等的线段是解决本题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:52:25；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214