高考数学二轮复习专项分层特训命题点14空间位置关系、空间角与空间距离含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点14空间位置关系、空间角与空间距离含答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．[2022·山东德州二模]已知m，n是两条不重合的直线，α是一个平面，n⊂α，则“m⊥α”是“m⊥n”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．[2022·湖北八市3月联考]设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充要条件可以是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α，β垂直于同一个平面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一条直线
3．[2022·湖南邵阳模拟]已知α、β表示两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n
B．α⊥β，m⊂α⇒m⊥β
C．α⊥β，m⊥β，m⊄α⇒m∥α
D．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
4．[2022·福建龙岩模拟]已知直三棱柱ABC ­ A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的正弦值为( )
A． eq \f(\r(15),3) B． eq \f(\r(5),3)
C． eq \f(\r(6),4) D． eq \f(\r(10),4)
5．[2022·全国乙卷]在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
6．[2022·全国甲卷]在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则( )
A．AB＝2AD
B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC＝CB1
D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
7．如图，已知正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为( )
A．1 B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(\r(6),4) D． eq \f(\r(3),3)
8．[2022·江苏南通模拟]某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)若该同学所画的椭圆的离心率为 eq \f(1,2) ，则“切面”所在平面与底面所成的角为( )
A． eq \f(π,12) B． eq \f(π,6)
C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,3)
二、多项选择题
9．[2022·河北石家庄二模]设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A．若a∥b，b∥α，则a∥α
B．若a∥b，a∥α，b∥β，则a∥β
C．若a⊥b，a⊥α，b∥β，则α⊥β
D．若a⊥α，b∥α，则a⊥b
10．[2022·新高考Ⅰ卷]已知正方体ABCD ­ A1B1C1D1，则( )
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
11．[2022·山东肥城模拟]如图，若ABCDEF ­ A1B1C1D1E1F1为正六棱台，A1B1＝3，AB＝4，AA1＝2，则下列说法正确的是( )
A．AB∥E1C1
B．EC⊥平面ADD1
C．AA1∥平面CED1
D．侧棱与底面所成的角为60°
12．[2022·山东济南一模]在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列结论正确的是( )
A．BO⊥AC
B．BO∥平面ACD1
C．点B到平面ACD1的距离为 eq \f(\r(3),3)
D．直线BO与直线AD1的夹角为 eq \f(π,3)
三、填空题
13．[2022·湖北洪湖模拟]已知四棱锥P ­ ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，则该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是________．
14．[2022·山东济南二模]下列命题：
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行；
③如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线垂直于这个平面；
⑤如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么直线也和斜线垂直．
其中正确命题的序号为________．
15．如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成锐二面角的正弦值为________．
16．如图，由直三棱柱ABC ­ A1B1C1和四棱锥D ­ BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，DC1＝DC＝ eq \r(5) ，平面CC1D⊥平面ACC1A1.P为线段BC上一动点，当BP＝________时，直线DP与平面BB1D所成角的正弦值为 eq \f(\r(3),4) .
命题点14 空间位置关系、空间角与空间距离(小题突破)
1．解析：由线面垂直的性质知，若m⊥α，n⊂α，则m⊥n成立，即充分性成立；
根据线面垂直的定义，m必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m⊥α，即必要性不成立．
故选A.
答案：A
2．解析：对于A，α内有无数条直线与β平行不能得出α∥β，α内的所有直线与β平行才能得出，故A错；
对于B、C，α，β垂直于同一平面或α，β平行于同一条直线，不能确定α，β的位置关系，故B、C错；
对于D，α，β垂直于同一条直线可以得出α∥β，反之当α∥β时，若α垂于某条直线，则β也垂于该条直线．
故选D.
答案：D
3．解析：对于A选项，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m、n的位置关系不确定，A错；
对于B选项，若α⊥β，m⊂α，则m与β的位置关系不确定，B错；
对于C选项，设α∩β＝l，过直线l上的点A在平面α内作n⊥l，如图所示：
因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂α，n⊥l，则n⊥β，
∵m⊥β，则m∥n，又因为m⊄α，n⊂α，所以，m∥α，C对；
对于D选项，α∥β，m⊂α，n⊂β，则m、n平行或异面，D错．
故选C.
答案：C
4．解析：取线段AC的中点O，则BO⊥AC，设直三棱柱ABC ­ A1B1C1的棱长为2，
以点O为原点， eq \(OB,\s\up6(→)) 、 eq \(OC,\s\up6(→)) 、 eq \(OM,\s\up6(→)) 的方向分别为x、y、z的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，M(0，0，2)，B( eq \r(3) ，0，0)，C1(0，1，2)，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝(0，1，2)， eq \(BC1,\s\up6(→)) ＝(－ eq \r(3) ，1，2)，cs 〈 eq \(AM,\s\up6(→)) ， eq \(BC1,\s\up6(→)) 〉＝AM·BC1AM·BC1＝ eq \f(5,\r(5)×2\r(2)) ＝ eq \f(\r(10),4) .
所以sin 〈 eq \(AM,\s\up6(→)) ， eq \(BC1,\s\up6(→)) 〉＝ 1-cs2AM,BC1＝ eq \f(\r(6),4) .
故选C.
答案：C
5.
解析：如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，易知BD⊥AC.又E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF.由正方体的性质，知DD1⊥平面ABCD.又EF⊂平面ABCD，所以DD1⊥EF.因为BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1.因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，A正确．假设平面B1EF⊥平面A1BD.因为平面B1EF⊥平面BDD1，且平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以BD⊥平面B1EF.在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，显然BD与平面B1EF不垂直，B错误．设A1A与B1E的延长线相交于点P，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，C错误．连接AB1，B1C，易证平面ACB1∥平面A1C1D.因为平面ACB1与平面B1EF相交，所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，D错误．故选A.
答案：A
6.
解析：连接BD，则∠B1DB，∠DB1A分别是B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，所以∠B1DB＝∠DB1A＝30°.所以BB1＝ eq \f(1,2) DB1，BD＝ eq \f(\r(3),2) DB1，AD＝ eq \f(1,2) DB1.设BB1＝a，则DB1＝2a，AD＝BC＝a，BD＝ eq \r(3) a，所以AB＝ eq \r(BD2－AD2) ＝ eq \r(2) a，AC＝BD＝ eq \r(3) a，CB1＝ eq \r(BB eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋BC2) ＝ eq \r(2) a.所以AB＝ eq \r(2) AD，AC≠CB1 ，因此A，C项错误．易知∠DB1C是B1D与平面BB1C1C所成的角，且为锐角．因为DC＝ eq \r(2) a，DB1＝2a，CB1＝ eq \r(2) a，所以DC2＋CB eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝DB eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，所以DC⊥CB1.在Rt△DCB1中，sin ∠DB1C＝ eq \f(DC,DB1) ＝ eq \f(\r(2),2) ，所以∠DB1C＝45°，即B1D与平面BB1C1C所成的角为45°，因此D项正确．因为AD⊥平面ABB1A1，AD⊂平面AB1C1D，所以平面AB1C1D⊥平面ABB1A1，所以∠B1AB是AB与平面AB1C1D所成的角．在Rt△ABB1中，AB＝ eq \r(2) a，BB1＝a，所以tan ∠B1AB＝ eq \f(BB1,AB) ＝ eq \f(\r(2),2) ≠ eq \f(\r(3),3) ，所以∠B1AB≠30°，即AB与平面AB1C1D所成的角不是30°，因此B项错误．故选D.
答案：D
7．解析：如图建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
设P(x，0，1－x)，0≤x≤1，则 eq \(A1P ,\s\up6(→)) ＝(x－1，0，－x)， eq \(A1C1,\s\up6(→)) ＝(－1，1，0)，
∴动点P到直线A1C1的距离为
＝ eq \r(（x－1）2＋（－x）2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,\r(2))))\s\up12(2))
＝ eq \r(\f(3,2)x2－x＋\f(1,2)) ＝ eq \r(\f(3,2)（x－\f(1,3)）2＋\f(1,3)) ≥ eq \f(\r(3),3) ，当x＝ eq \f(1,3) 时取等号，
即线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为 eq \f(\r(3),3) .
故选D.
答案：D
8．解析：如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r,
则AM＝2r，AB＝2a，CD＝2b＝2r，
∵ eq \f(c,a) ＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(b,a) ＝ eq \f(\r(3),2) ，∴ eq \f(AM,AB) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
∴cs ∠BAM＝ eq \f(\r(3),2) ，
∴∠BAM＝ eq \f(π,6) ，
故选B.
答案：B
9．解析：A：当a⊂α时，a∥b，b∥α可以成立，本选项结论不正确；
B：当a∩β＝c时，若a∥b，a⊂β，b⊂α，此时a∥α，b∥β成立，因此本选项结论不正确；
C：当α∥β时，若b⊂α，a⊥α，此时a⊥b，b∥β成立，因此本选项结论不正确；
D：因为b∥α，所以∃γ，b⊂γ，γ∩α＝d，所以b∥d，而a⊥α，d⊂α，
所以a⊥d，而b∥d，所以a⊥b，所以本选项结论正确，
故选ABC.
答案：ABC
10．解析：如图(1)，连接B1C.因为DA1∥CB1，BC1⊥CB1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，所以A正确．
如图(2)，连接B1C.因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，CA1⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，所以B正确．
如图(3)，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为直线C1B与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．
如图(4)，因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：对于A选项，因为AB与E1D1平行，与E1C1异面，故A错误；
对于B选项，连接AD，EC，OO1，因为六棱台ABCDEF ­ A1B1C1D1E1F1是正六棱台，
所以OO1⊥ 平面ABCDEF，CE⊂平面ABCDEF，故OO1⊥CE，
又因为底面ABCDEF是正六边形，所以AD⊥CE，AD∩OO1＝O，AD⊂平面ADD1A1，OO1⊂平面ADD1A1，所以EC⊥平面ADD1A1，
即EC⊥平面ADD1，故B正确；
对于C选项，设AD与EC交于点M，因为AB＝4，A1B1＝3，所以AD＝8，A1D1＝6，又DM＝2，所以AM＝6, 即A1D1＝AM，又A1D1∥AM，所以AMD1A1是平行四边形，AA1∥MD1，D1M⊂平面CED1，AA1⊄平面CED1，
所以AA1∥平面CED1，故C正确；
对于D选项，∵A1N∥OO1，OO1⊥ 平面ABCDEF ，∴A1N⊥ 平面ABCDEF，
∠A1AN为侧棱与底面所成的角，在Rt△A1AN中，cs ∠A1AN＝ eq \f(AN,A1A) ＝ eq \f(1,2) ，
所以∠A1AN＝60°，故D正确. 故选BCD.
答案：BCD
12．解析：对于A，如图，连接B1D1，A1C1 ，则B1D1，A1C1交于点O，
正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AC∥A1C1，BB1⊥ 平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1 ，
故A1C1⊥BB1 ，而A1C1⊥B1D1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂ 平面BB1D1 ，
故A1C1⊥平面BB1D1，故AC⊥平面BB1D1，而BO⊂平面BB1D1，
故AC⊥BO，即BO⊥AC，故A正确；
对于B，连接BD，交AC于E，连接D1E ，则BE∥OD1，BE＝OD1 ，
故四边形BOD1E是平行四边形，故BO∥D1E，D1E⊂平面ACD1，BO⊄平面ACD1，
故BO∥平面ACD1，故B正确；
对于C，设点B到平面ACD1的距离为d，因为VD1 ­ ABC＝VB ­ ACD1 ，故 eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×1×1×1＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) × eq \r(2) × eq \r(2) ×sin 60°×d ，解得d＝ eq \f(\r(3),3) ，故C正确；
对于D，连接BC1 ，则AD1∥BC1，∠OBC1即为直线BO与直线AD1的夹角或其补角，
在△BOC1 中，B1O＝ eq \f(\r(2),2) ，BO＝ eq \r(1＋（\f(\r(2),2)）2) ＝ eq \f(\r(6),2) ，BC1＝ eq \r(2) ，
所以cs ∠OBC1＝ eq \f(BO2＋BC eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －OC eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2BO·BC1) ＝ eq \f(\f(3,2)＋2－\f(1,2),2×\f(\r(6),2)×\r(2)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，则∠OBC1＝ eq \f(π,6) ，故D错误，
故选ABC.
答案：ABC
13．解析：由题意，在四棱锥P ­ ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，
可得PA⊥AD，PA⊥AB，
所以△PAD，△PAB为直角三角形；
又由四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC，
结合PA⊥BC，PA∩AB＝A，可得BC⊥平面PAB，
又因为PB⊂平面PAB，
所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，
同理，△PCD也为直角三角形，
该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是4.
答案：4
14．解析：①，平行于同一条直线的两条直线平行，所以①正确．
②，根据线面平行的判定定理可知：如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行，所以②正确．
③，结合面面平行的判定定理可知：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．所以③正确．
④，如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线可能在这个平面内，所以④错误．
⑤，如果一条直线l和平面α的一条斜线a在平面内的射影b垂直，直线l⊥α时，l⊥b，但l与a不垂直．所以⑤错误．
答案：①②③
15．解析：以D为原点， eq \(DA,\s\up6(→)) 的方向为x轴正方向， eq \(DC,\s\up6(→)) 的方向为y轴正方向， eq \(DD1,\s\up6(→)) 的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系．设AB＝2，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，B(2，2，0)， eq \(EF,\s\up6(→)) ＝(－1，0，1)， eq \(EB,\s\up6(→)) ＝(1，2，0).设平面EFC1B的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))＝－x＋z＝0,n·\(EB,\s\up6(→))＝x＋2y＝0)) ，取x＝2，得n＝(2，－1，2).易知平面BCC1的一个法向量为m＝(0，1，0).设平面EFC1B和平面BCC1所成的锐二面角为θ，则cs θ＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m·n)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))) ＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(（2，－1，2）·（0，1，0）)),3) ＝ eq \f(1,3) ，所以sin θ＝ eq \r(1－cs2θ) ＝ eq \f(2\r(2),3) .
答案： eq \f(2\r(2),3)
16．解析：以A为坐标原点， eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(AA1,\s\up6(→)) ， eq \(AB,\s\up6(→)) 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
所以A(0，0，0)，C( eq \r(3) ，0，0)，C1( eq \r(3) ，2，0)，D( eq \r(3) ，1，2)，B(0，0，1)，B1(0，2，1)，
所以 eq \(BB1,\s\up6(→)) ＝(0，2，0)， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝( eq \r(3) ，1，1).
设平面BB1D的法向量n＝(x，y，z)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y＝0,\r(3)x＋y＋z＝0)) ，
所以平面BB1D的一个法向量n＝( eq \r(3) ，0，－3),
设 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ，λ∈[0，1]，
所以 eq \(DP,\s\up6(→)) ＝ eq \(DB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝( eq \r(3) λ－ eq \r(3) ，－1，－1－λ),
所以 eq \f(\r(3),4) ＝ eq \f(|3λ－3＋3＋3λ|,2\r(3)·\r(（\r(3)λ－\r(3)）2＋1＋（λ＋1）2)) ，
解得λ＝ eq \f(1,2) 或λ＝－ eq \f(5,6) (舍)，
所以 eq \f(BP,BC) ＝ eq \f(1,2) .
因为BC＝2，所以BP＝1.
答案：1