2023高考数学二轮专题 微专题3 三角中的最值、范围问题

微专题3　三角中的最值、范围问题

高考定位　以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.

1.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)

A.  B. 

C.  D.π

答案　A

解析　法一　f(x)＝cos x－sin x＝cos，

且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，

得－≤x≤.

因为f(x)在[－a，a]上是减函数，

所以

解得a≤，

所以0<a≤，

所以a的最大值是，故选A.

法二　因为f(x)＝cos x－sin x，

所以f′(x)＝－sin x－cos x，

则由题意，知f′(x)＝－sin x－cos x≤0在[－a，a]上恒成立，

即sin x＋cos x≥0，

即sin≥0在[－a，a]上恒成立，

结合函数y＝sin的图象可知有

解得a≤，

所以0<a≤，

所以a的最大值是，故选A.

2.(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin

在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　C

解析　由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈.

根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<πω＋≤，

得<ω≤.

根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋≤3π，得<ω≤.

综上，ω的取值范围为.

3.(2018·北京卷)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；的取值范围是________.

答案　60°　(2，＋∞)

解析　△ABC的面积S＝acsin B＝(a2＋c2－b2)＝×2accos B，

所以tan B＝，因为0°<∠B<90°，

所以∠B＝60°.

因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，

所以0<tan A<，

所以＝＝

＝

＝＋>2，

故的取值范围为(2，＋∞).

4.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.

(1)若C＝，求B；

(2)求的最小值.

解　(1)因为＝，

所以＝，

所以＝，

所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，

所以cos(A＋B)＝sin B，

所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.

因为B∈，所以B＝.

(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B，

所以sin＝sin B，

且0<A＋B<，

所以0<B<，0<－(A＋B)<，

所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B，

由正弦定理得＝

＝＝

＝＝

＝＝4cos2B＋－5

≥2－5＝4－5，当且仅当cos2B＝时取等号，

所以的最小值为4－5.

热点一　三角函数式的最值或范围

求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解.

例1 (2022·宁波调研)已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋.

(1)求f的值；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解　(1)因为f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin，

所以f＝2sin＝2sin ＝1.

(2)因为x∈，

所以2x－∈，

所以sin∈，

所以，当2x－＝，即x＝时，f(x)取到最大值2；

当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取到最小值－.

易错提醒　求三角函数式的最值范围问题要注意：

(1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；

(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求范围.

训练1 (2022·潍坊质检)在①函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，②函数y＝f(x) 的图象关于点P对称，③函数y＝f(x)的图象经过点Q，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ的最小正周期为π，且________，判断函数f(x)在区间上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x值；若不存在，说明理由.

解　f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)，

由已知函数f(x)的周期T＝＝π，

得ω＝2，

所以f(x)＝sin(2x＋φ).

若选①，则有2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

解得φ＝kπ－(k∈Z).

又因为|φ|<，所以φ＝－，

所以f(x)＝sin.

当x∈时，则2x－∈，

所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为1.

若选②，则有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，

解得φ＝kπ－(k∈Z).

又因为|φ|<，所以φ＝－，

所以f(x)＝sin.

当x∈时，则2x－∈，

所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为1.

若选③，则有2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，

解得φ＝2kπ－(k∈Z).

又因为|φ|<，

所以φ＝，所以f(x)＝sin.

当x∈时，则2x＋∈，

显然，函数f(x)在该区间上没有最大值.

热点二　与三角函数性质有关的参数范围

与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质进行求解.

考向1　由最值(或值域)求参数的范围

例2 若函数f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是，则ω的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

解析　因为ω>0，所以当x∈时，

ωx－∈.

又因为函数f(x)＝sin(ω>0)在x∈上的值域是，

所以≤－≤，

解得≤ω≤3.故选B.

考向2　由单调性求参数的范围

例3 已知f(x)＝sin(2x－φ)在上是增函数，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

解析　由x∈，

得2x－φ∈，

又由0<φ<，

且f(x)在上是增函数，

可得－φ≤，所以≤φ<.

当x∈时，2x－φ∈，

由f(x)在上有最小值，

可得－φ>，则φ<.

综上，≤φ<.故选B.

考向3　由函数的零点求参数的范围

例4 已知a＝，b＝，其中ω>0，若函数f(x)＝a·b－在区间(π，2π)上没有零点，则ω的取值范围是(　　)

A.  B.

C.∪  D.∪

答案　D

解析　f(x)＝sin2x＋sin ωx－

＝＋sin ωx－

＝(sin ωx－cos ωx)＝sin.

由函数f(x)在区间(π，2π)上没有零点，知其最小正周期T≥2π，

即≥2π，所以ω≤1.

当x∈(π，2π)时，

ωx－∈，

所以(k∈Z)，

解得k＋≤ω≤＋(k∈Z).

因为0<ω≤1，

当k＝0时，≤ω≤，

当k＝－1时，0<ω≤，

所以ω∈∪.

故选D.

规律方法　由三角函数的性质求解参数，首先将解析式化简，利用对称性、奇偶性或单调性得到含有参数的表达式，进而求出参数的值或范围.

训练2 (1)(2022·广州调研)若函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.(0，1]

(2)(2022·金华质检)将函数f(x)＝sin4x＋cos4x的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)的图象，若函数y＝g(ωx)在上单调递减，则正数ω的最大值为(　　)

A.  B.1 

C.  D.

答案　(1)A　(2)A

解析　(1)f(x)＝cos ωx－sin ωx＝cos(ω>0)，

当x∈[0，π]时，≤ωx＋≤ωπ＋.

又f(x)∈，

所以π≤ωπ＋≤，解得≤ω≤，

故ω的取值范围为.

(2)依题意，f(x)＝＋＝＝，

其图象向左平移个单位长度得到

g(x)＝＋cos＝＋cos

＝－sin 4x的图象，

故g(ωx)＝－sin(4ωx).

令－＋2kπ≤4ωx≤＋2kπ，k∈Z，

由于ω>0，得≤x≤，k∈Z.

由于函数g(ωx)在上单调递减，

故

解得

所以当k＝0时，ω＝为正数ω的最大值.

热点三　三角形中有关量的最值或范围

三角形中的最值、范围问题的解题策略

(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.

(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.

(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.

例5 (2022·滨州二模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6cos2＋cos A＝5.

(1)求A的大小；

(2)若a＝2，求b2＋c2的取值范围.

解　(1)由已知得6sin2A＋cos A＝5，

整理得6cos2A－cos A－1＝0，

解得cos A＝或cos A＝－.

又A∈，

所以cos A＝，即A＝.

(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A及a＝2，A＝得4＝b2＋c2－bc，

即b2＋c2＝4＋bc，

由正弦定理得＝＝＝＝，

即b＝sin B，c＝sin C，

又C＝－B，

所以bc＝sin Bsin C＝sin Bsin

＝sin B·cos B＋sin2B

＝sin 2B－cos 2B＋

＝sin＋，

又由

解得<B<，

所以<2B－<π，

所以sin∈，

所以bc∈，

所以b2＋c2＝4＋bc∈.

易错提醒　求解三角形中的最值、范围问题的注意点

(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化.

(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A<π，|b－c|<a<b＋c，三角形中大边对大角等.

训练3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知S＝(b2＋c2－a2)，a＝4.

(1)求角A的大小.

(2)求△ABC周长的取值范围.

解　(1)由S＝(b2＋c2－a2)，

得bcsin A＝(b2＋c2－a2)＝×2bccos A，

整理得tan A＝，因为A∈(0，π),

所以A＝.

(2)设△ABC的周长为L，

因为a＝4，A＝，

由余弦定理得：42＝b2＋c2－2bccos，

即42＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3＝(b＋c)2，

所以b＋c≤8，

又b＋c>a＝4，

所以L＝a＋b＋c∈(8，12].

一、基本技能练

1.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　　)

A.2  B.4 

C.6  D.8

答案　A

解析　函数f(x)的周期T≤4＝π，则≤π，解得ω≥2，

故ω的最小值为2.

2.将函数y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　将函数y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度，得到图象的函数解析式为y＝cos＝cos，此函数为奇函数，所以－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z)，

则当k＝－1时，|φ|取得最小值.

3.(2022·海南模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，则角A的最大值为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　A

解析　因为asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，

由正弦定理可得，a2＋2c2＝2bccos A，①

由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，②

①＋②得2a2＝b2－c2，

所以cos A＝

＝＝≥＝(当且仅当b＝c时取等号)，

所以角A的最大值为.

4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为(　　)

A.4  B.2 

C.2  D.

答案　A

解析　∵在△ABC中，＝，

∴(2a－c)cos B＝bcos C，

由正弦定理，得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

整理得sin(B＋C)＝2sin Acos B，

∵A∈(0，π)，∴sin A≠0.

∴cos B＝，即B＝，

由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，

∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，

∴△ABC的面积S＝acsin B＝ac≤4.

即△ABC的面积的最大值为4.

5.(2022·苏北四市模拟)若函数f(x)＝cos 2x＋sin在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

解析　由题意，函数f(x)＝cos 2x＋sin＝sin，

因为0<x<α，所以<2x＋<2α＋，

又由f(x)在(0，α)上恰有2个零点，

所以2π<2α＋≤3π，

解得<α≤，

所以α的取值范围为.故选B.

6.已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，且对x∈R，f(x)≥f恒成立，若函数y＝f(x)在[0，a]上单调递减，则a的最大值是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，

所以ω＝＝2，

又对x∈R，都有f(x)≥f，

所以函数f(x)在x＝时取得最小值，

则＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，

即φ＝＋2kπ，k∈Z，

所以f(x)＝cos，

令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

则函数y＝f(x)在上单调递减，

故a的最大值是，故选B.

7.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.

答案　

解析　x∈，

因为ω>0，－ω≤ωx≤ω，

由题意知－ω≤－，即ω≥，

故ω取值范围是.

8.已知函数f(x)＝cos ωx＋sin(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________.

答案　

解析　函数f(x)＝cos ωx＋sin＝sin(ω>0)，

由x∈[0，π]，得ωx＋∈.

又f(x)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，

则2π≤ωπ＋<π，

解得≤ω<.

9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.

答案　9

解析　因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，

所以∠ABD＝∠CBD＝60°，

由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1·sin 60°＋c·1·sin 60°，

化简得ac＝a＋c，

又a>0，c>0，所以＋＝1，

则4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当c＝2a时取等号，

故4a＋c的最小值为9.

10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≠，c＋bcos A－acos B＝acos A，则＝________；内角B的取值范围是________.

答案　　

解析　由c＋bcos A－acos B＝acos A结合正弦定理得sin C＋sin Bcos A－

sin Acos B＝sin Acos A，

即sin(A＋B)＋sinBcos A－sin Acos B＝sin Acos A，

化简得2sin Bcos A＝sin Acos A.

因为A≠，所以cos A≠0，

则2sin B＝sin A，

所以＝＝，

则由余弦定理得cos B＝＝＝≥＝，

当且仅当b＝c时等号成立，

解得0＜B≤.

11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角.

(1)证明：B－A＝；

(2)求sin A＋sin C的取值范围.

(1)证明　由a＝btan A及正弦定理，

得＝＝，

所以sin B＝cos A，

即sin B＝sin.

又B为钝角，

因此＋A∈，

故B＝＋A，

即B－A＝.

(2)解　由(1)知，C＝π－(A＋B)

＝π－＝－2A>0，

所以A∈，

于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1

＝－2＋.

因为0<A<，

所以0<sin A<，

因此<－2＋≤.

由此可知sin A＋sin C的取值范围是.

12.已知向量a＝，b＝(－sin x，sin x)，f(x)＝a·b.

(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；

(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.

解　(1)由已知得a＝(－sin x，cos x)，

又b＝(－sin x，sin x)，

则f(x)＝a·b＝sin2x＋sin xcos x

＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π，

当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，

即x＝＋kπ(k∈Z)时，

f(x)取得最大值.

(2)在锐角△ABC中，

因为f＝sin＋＝1，

所以sin＝，所以A＝.

因为a2＝b2＋c2－2bccos A，

所以12＝b2＋c2－bc，

所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，

所以bc≤12(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，此时△ABC为等边三角形，

S△ABC＝bcsin A＝bc≤3.

所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3.

二、创新拓展练

13.设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为(　　)

A.(，)  B.(1，)

C.(，2)  D.(0，2)

答案　A

解析　∵B＝2A，

∴sin B＝sin 2A＝2sin Acos A.

∵a＝1，∴b＝2acos A＝2cos A.

又△ABC为锐角三角形，∴

∴<A<，

∴<cos A<，

即<2cos A<，故选A.

14.(多选)(2022·台州质检)设函数f(x)＝cos(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则(　　)

A.f(x)在(0，2π)上有且仅有5个零点

B.f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极大值点

C.f(x)在上单调递减

D.ω的取值范围是

答案　CD

解析　因为x∈[0，2π]，

所以ωx＋∈.

设t＝ωx＋∈，

画出y＝cos t的图象如图所示.

由图象可知，若f(x)在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，

则5π≤ 2πω＋<7π，

 解得≤ω<， 故D正确；

故f(x)在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A错误；

f(x)在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B错误；

当x∈时，ωx＋∈.

因为≤ω<，

所以≤ω＋<，

故f(x)在上单调递减，故C正确.

15.(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝6，记S为△ABC的面积，则下列说法正确的是(　　)

A.若C＝，则S有最大值9

B.若A＝，a＝2，则S有最小值3

C.若a＝2b，则cos C有最小值0

D.若a＋b＝10，则sin C有最大值

答案　ABD

解析　对于选项A，对角C由余弦定理得36＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，

因此，S＝absin C＝ab≤9，

当且仅当a＝b＝6时取等号，故A正确；

对于选项B，对角A用余弦定理得

12＝a2＝c2＋b2－bc＝36＋b2－6b，

解得b＝2或b＝4，

因此，S＝bcsin A＝b≥3，

当且仅当b＝2时取等号，故B正确.

对于选项C，若a＝2b，

由三边关系可得a－b＝b<c＝6<a＋b＝3b⇒2<b<6，

此时，由余弦定理，得cos C＝＝＝－∈(－1，1)，故C错误.

对于选项D，若a＋b＝10，则cos C＝＝＝－1，

又ab≤＝25，

当且仅当a＝b＝5时取等号，

∴cos C＝－1≥⇒sin C＝≤，故D正确，故选ABD.

16.(2022·南京师大附中模拟)法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在△ABC中，A＝60°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3，则∠O1AO3＝________；若△O1O2O3的面积为，则三角形中AB＋AC的最大值为________.

答案　120°　4

解析　由于O1，O3是正△ABC′，△AB′C的外接圆圆心，故也是它们的中心，

所以在△O1AB中，∠O1AB＝30°，同理∠O3AC＝30°，

又∠BAC＝60°，所以∠O1AO3＝120°；

由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，

则S△O1O2O3＝m2sin 60°＝m2＝，

解得O1O3＝m＝2.

设BC＝a，AC＝b，AB＝c，

在等腰△BO1A中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，∠AO1B＝120°，

则＝，

解得O1A＝，同理得O3A＝，

在△O1AO3中，由余弦定理得O1O＝O1A2＋O3A2－2O1A·O3A·cos 120°，

即4＝＋－2··，

即b2＋c2＋bc＝12，即(b＋c)2－bc＝12，

故(b＋c)2－12＝bc≤，

解得b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号，故三角形中AB＋AC的最大值为4.

17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c＝a(b2＋c2－a2).

(1)若A＝，求B的大小；

(2)若a≠c，求的最小值.

解　(1)因为b2c＝a(b2＋c2－a2)，

所以由余弦定理得cos A＝＝.

因为A＝，所以＝，即a＝b，

所以B＝A＝.

(2)由(1)及正弦定理得cos A＝，

即sin B＝2sin Acos A＝sin 2A，

所以B＝2A或B＋2A＝π.

当B＋2A＝π时，A＝C，与a≠c矛盾，故舍去，

所以B＝2A.

＝＝

＝

＝cos B＋

＝cos 2A＋2(cos A－3)·cos A

＝4cos2 A－6cos A－1

＝4－.

因为C＝π－A－B＝π－3A>0，

即A<，

所以cos A>，

所以当cos A＝时，

有最小值－.